数学系 毕业论文：求一元函数极限的若干方法

绪论
极限研究的是函数的变化趋势, 在自变量的某个变化过程中, 对应的函数值能无限接近某个确定的数，那这个数就是函数的极限.函数的极限概念在高等数学中是一个很重要的概念.极限概念是微分概念的基础,因此加深理解函数极限的概念是十分必要的.在近代数学许多分支中,一些重要的概念与理论都是极限和连续函数概念的推广、延拓和深化.只有深刻地理解极限概念并熟练掌握求极限的方法,才能真正地学好微积分.极限是初等数学和高等数学接壤部分,极限概念是高等数学最基本的概念.导数,微分,积分都是建立在极限概念的基础上的,高等数学就是以极限方法为主要工具来研究变量与变量之间关系的科学.
在有了极限的定义之后，为了判断具体某一函数是否有极限，人们必须不断地对极限存在的充分条件和必要条件进行探讨.在经过了许多数学家的不断努力之后，法国数学家柯西获得了完善的结果，即柯西收敛原理.到了近代，在数学家们的努力下给了极限一个专业的定义.有了极限的定义自然就有了许多求极限的方法.
求函数极限的方法有很多，其中有利用定义求函数极限、利用夹逼定理求函数极限、利用函数的连续性求极限、利用极限的四则运算、利用变量替换、利用等价无穷小替换、利用定积分、利用导数定义、利用泰勒公式、利用罗必达法则求极限等一些方法，对不是同一类型的函数求极限的方法不一样，有的可以用同一种方法求解，有的不可以，因此研究函数求极限的方法显得尤为重要.
第一章 函数极限的概念
1.1 函数极限的概念
1.1.1 x →∞时函数的极限
设函数f 定义在[),a +∞上，类似于数列情形，我们研究当自变量x 趋于+∞
图象上可见，当x 无限增大时，函数值无限地接近于0；而对于函数
x 趋于+∞时有极限.一般地，当x 趋于+∞时函数极限的精确定义如下： 定义1 设f 为定义在[),a +∞上的函数，A 为定数.若对任何给的()0,M a ε>≥存在正数，
使得当x M >时有
则称函数f 当x 趋于+∞时以A 为极限，记作
lim ()x f x A →+∞
= 或 ()f x A → ()x →+∞
定义 2 设f 为定义在](,a -∞上的函数，A 为定数.若对任何给的()0,M a ε>≥存在正数，
使得当x M <-时有
则称函数f 当x 趋于-∞时以A 为极限，记作
()lim x f x A →-∞
= 或 ()f x A → ()x →-∞
则称常数A 为函数()x f 当∞→x 时的极限，记作
()()()lim x f x A f x A x →∞
=→→∞或当
若f 为定义在()U x 上的函数，则
+lim ()lim ()lim ()x x x f x A f x f x A →∞
→-∞
→∞
=⇔==.
定理1 +lim ()lim ()lim ()x x x f x A f x f x A →∞
→-∞
→∞
=⇔==.
1.1.2 x →0x 时函数的极限
设f 为定义在0x 的某个空心邻域()00U x 内的函数.现在讨论当x 趋于
00()x x x ≠时，对应的函数值能否趋于某个定数A .这类函数极限的精确定义如
下：
定义4（函数极限的εδ-定义） 设函数f 在点0x 的某个空心邻域()
'
00;δx U
时有
则称函数f 当x 趋于0x 时以A 为极限，记作
lim ()x x
f x A →= 或 0()()f x A x x →→.
注：1.0ε>是可以任意给的，在确定δ的过程中又看成是个定数； 2.δ与ε有关，但与x 无关，并且不唯一；
3.极限()0
lim x x f x →是否存在，与()f x 在点0x 是否有定义以及()0f x 的值为
多少无关；
4.0
lim ()x x f x A →=的前提：()f x 在某()
'00;δx U 内有定义.
定义5 设函数f 在()()()
'0'00;;U x U x δδ+-或内有定义，A 为定数.若对任给
的0ε>，存在正数()'δδ<，使得当()0000x x x x x x δδ<<+-<<或时有
则称A 为函数f 当()00x x x +
-趋于时的右（左）极限，记作
()()00lim lim x x x x f x A f x A +-→→⎛⎫== ⎪⎝⎭
或()()0f x A x x +→→ ()()()
0f x A x x -→→. 右极限与左极限统称为单侧极限.f 在点0x 的右极限与左极限又分别记为：
()()()()0
000lim 0lim x x x x f x f x f x f x +-
→→+=-=与 极限存在的充要条件：()()()0
lim lim lim x x x x x x f x A f x f x A +-
→→→=⇔== 关于函数极限()0
lim x x f x →与相应的左、右极限之间的关系，有下述定理：
定理2 ()()()0
lim lim lim x x x x x x f x A f x f x A +-
→→→=⇔==.
第二章 函数极限的求解方法
2.1 利用函数极限的定义求极限
分析:利用函数极限的定义来证明,首先要任取0ε>；其次是写出不等式
lim ()x x f x A →=.
由函数极限的εδ-定义得：
分析：根据前面所学的函数极限的定义证明，要证明这道题就要找出M 的值.
分析：要验证这道题不仅要找到M 的值，还要利用函数的左、右极限的定义.
证 ： 任给ε>0,由于
而此不等式的左半部分对任何
x 都成立，所以只要考察其右半部分x 的变化范围.
这就证明了1）.类似地可证2）.
注： +lim ()lim ()lim ()x x x f x A f x f x A →∞
→-∞
→∞
=⇔==（f 为定义在()U ∞上的函数）
所以当
x →∞时arctan x 不存在极限.
一般来说应尽可能将()f x 的表达式简化.值得注意的是，有时()f x 不能简化，反倒是可以把A 变复杂，写成与()f x 相类似的形式.
以要用单侧极限的定义进行求解.
()221x
ε-<时，就是
小结:利用极限定义求函数极限是熟悉和掌握求极限方法的基础.
2.2 利用函数极限的性质求极限
定理3 （1）若()f x 在0x x =处连续，则()()0
0lim x x f x f x →=
（2）若()f x ϕ⎡⎤⎣⎦是复合函数，又()0
lim x x x a ϕ→=且()f u 在u a =处连续，则()()()()0
0lim lim x x x x f x f x f a ϕϕ→→⎡⎤
==⎢⎥⎣⎦
.
分析：利用函数极限的性质及定理3，并且要看清该函数是否连续，最后在进行计算.
在u e =处连续，所以由定理3（2）知 ：
2.3 利用函数极限的四则运算求极限
定理4（四则运算法则） 若极限()()0
lim lim x x x x
f x
g x →→与都存在，则函数,f g f g ±⋅当0x x →时极限也存在，且
1）()()()()0
lim lim lim x x x x x x f x g x f x g x →→→±=±⎡⎤⎣⎦；
2）()()()()0
lim lim lim x x x x x x f x g x f x g x →→→=⋅⎡⎤⎣⎦；
又若()0
lim 0x x g x →≠，则0/f g x x →当时极限存在，且有
4）()()0
lim lim x x x x
c f x c f x →→⋅=⋅ (
C 为常数） 上述的性质对于0,,,x x x x x ±
→∞→+∞→-∞→时也同样成立.
计算.
解： 当10x +≠时有
故所求的极限等于
分析：利用函数极限的四则运算法则，把所求函数的极限化为一些已知的简单函数的极限来计算.像（2）中的类型就是1→x 时，分子、分母的极限都是零
注：使用极限的四则运算法则的前提是各部分极限都存在.
2.4 利用迫敛性定理求极限
定理5 设()()0
lim lim ,x x x x f x g x A →→==且在某()0'0;U x δ内有
(
)()()f x h x g x ≤≤ 则有()0
lim x x h x A →=.
分析：应用迫敛性的定理进行计算.
解：因为1cos 1≤≤-x ，所以当0x <时
分析：要求出这道题，必须应用到前面所学的知识点，即关于函数[]y x =有
所以应用这个可以进行计算.
故由迫敛性得
小结：利用函数极限的迫敛性与四则运算，我们可以从一些简单的函数极限出发，计算较复杂的函数极限.
2.5 利用两个重要极限求极限
（1
我们经常使用的是它们的变形：
（1）的特点：（01）分子、分母的极限值为0；（02）分子是分母的正弦函数. （2）的特点：（01）幂指函数的底趋于1，指数趋于无穷时，其极限值是e ； （02）底是常数1与一个无穷小量之和，指数是底中无穷小量的倒数.
例12 求下列函数极限
1)0sin 2lim x x x →; 2)0tan lim x x
→; 3)1lim sin x x →+∞; 4)()1
0lim 1(x x x αα→+为给定实数）. 解：1）0sin 2lim x x x →=02lim
2122x x →=⨯= 2）0tan lim x x x →=0sin 1
lim
1cos x x x x
→⋅= 3）令1y x =
，于是当x →∞时，0y →,从而1
lim sin x x x →+∞=0sin lim
1y y y
→=. 4） ()
()1
1
lim 1lim 1x
x x x x x e α
αααα→→⎡⎤+=+=⎢⎥⎣⎦
. 例13 求下列函数极限
x a x x 1lim )1(0-→、 bx
ax
x cos ln cos ln lim )2(0→、. 分析：首先要看题目的类型，看看是否符合两个重要的极限及特点.
)
1ln(ln 1 ln )1ln( ,11 u a
u x a a u x u a x x
+=-+==-于是则）令解：（
a u a
u u a u a u x
a u x u
u u u x x ln )1ln(ln lim )1ln(ln lim )1ln(ln lim 1lim 0
10000=+=+=+=-→→→→→→故有：时，又当
)]
1(cos 1ln[)]
1(cos 1ln[(lim
)2(0-+-+=→bx ax x 、原式
1
cos 1
cos 1cos )]
1(cos 1ln[1cos )]1(cos 1ln[(lim
0--⋅--+--+=→ax bx bx bx ax ax x
1
cos 1
cos lim 0--=→ax bx x
=2022sin 2lim
2sin 2x a x
b x
→-- 2
22
2022
sin 222lim sin 222x a x a b x x b
a x x
b x →⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
=⋅⎛⎫
⎪⎝⎭⎛⎫ ⎪⎝⎭
2
2b a
=.
2.6 利用无穷小量的性质求极限
2.6.1利用无穷小量与有界变量之乘积仍为无穷小量求极限
与无穷小数列的概念相类似，我们给出关于函数为无穷小量的定义.
定义6 设f 在某()00U x 内有定义，若 ()0
lim 0x x f x →=，
则称f 为当0x x →时的无穷小量.
若函数g 在某()00U x 内有界，则称g 为当0x x →时的有界量. 由无穷小量的定义可立刻推得如下性质：
1.两个(相同类型的）无穷小量之和、差、积仍为无穷小量.
2.无穷小量与有界量的乘积为无穷小量. 定理6 设函数()f x 、()g x 满足：
()()0
lim 0x x g x f x →=.
2.6.2 利用无穷小量与无穷大量的关系求极限
定义7 设函数f 在某()00U x 内有定义.若对任给的0G >，存在0δ>，使得当()()()0000;x U x U x δ∈⊂时有
则称函数f 当0x x →时有非正常极限∞，记作 ()0
lim x x f x →=∞.
若（1.2）式换成“()f x G >”或“()f x G <-”，则分别称f 当0x x →时有非正常极限+∞或-∞，记作
()0
lim x x f x →=+∞ 或 ()0
lim x x f x →=-∞.
定义8 对于自变量x 的某种趋向（或n →∞时），所有以∞，+∞或-∞为非正常极限的函数（包括数列），都称为无穷大量.
定理7 （I ）若：∞=)(lim x f ，则 0)
(1
lim
=x f . (II) 若: 0)(lim =x f 且 ()0f x ≠ 则 ∞=)
(1
lim x f . 例15 求下列极限
(1) 51lim
+∞→x x (1)1
1
lim 1-→x x .
解:(1)由∞=+∞
→)5(lim x x ,故 051
lim
=+∞→x x . (2)由0)1(lim 1
=-→x x ,故 11
lim 1-→x x =∞.
注：无穷大量不是很大的数，而是具有非正常极限的函数；若f 为0x x →时的无穷大量，则易见f 为()00U x 上的无界函数.但无界函数却不一定是无穷大量.
2.6.3 利用等价无穷小替换求极限
定理8 设函数()00,,f g h U x 在内有定义，且有
()
f x ()
g x ()0x x →.
(1）若()()()()0
lim ,lim x x x x f x h x A g x h x A →→==则；
注：设'',,,ββαα 都是同一极限过程中的无穷小量，且有：
'
'
~,~ββαα， ''
lim β
α 存在，
则 βαlim 也存在，且有βα
lim
= ''lim βα.
解：由于()arctan 0x
x x →，()sin 440x x x →.故有定理8得
例17 求极限2
22
0sin cos 1lim
x x x x -→ .
分析：本题切忌将2
cos x
和2sin x 用2x 等价替换.
解: ,~sin 2
2
x x 2
)(~cos 12
22
x x -
∴ 2220sin cos 1lim x x x x -→=0lim x →2
12)(222
2=x x x 注：1、在利用等价无穷小量替换求极限时，应注意：只有对所求极限式中相乘或相除的因式才能用等价无穷小量来替换，而对极限式中的相加或相减部分则不能随意替换.
2、常用的等价无穷小量. 当0x →时，有x
sin x ，tan x x ，2
11cos 2
x
x -，()ln 1x x +，arcsin x x ，
1ln x a x a -，arctan x
x ，e x
x ，()11a
x ax +-()0a ≠.
2.7 用左右极限与极限关系求极限
适用于分段函数求分段点处的极限,以及用定义求极限等情形.
定理9 函数极限)(lim 0
x f x x →存在且等于A 的充分必要条件是左极限)
(lim 0
x f x x -→及右极限)(lim 0
x f x x +→都存在且都等于A .即有
⇔=→A x f x x )(lim 0
)(lim 0
x f x x -→=)(lim 0
x f x x +→=A.
例18 设)(x f =⎪⎪
⎩
⎪⎪
⎨⎧≥<<-≤--1,10,0,212x x x x x
x x e x 求)(lim 0x f x →及)(lim 1
x f x →.
分析：此题一看就知道是分段函数，要分多步来计算，最后再综合起来. 解：
()()0
lim lim 12x x x f x e --
-→→=-1=
(
)00lim lim x x f x +
+→→⎛⎫
=
)
0lim 1x +→=1=
由1)(lim )(lim 0
-==+-→→x f x f x x
1)(lim 0
-=∴→x f x
不存在
由（又)(lim )01()01(1lim )(lim 0)1lim lim )(lim 1
21
11
1
1
x f f f x x f x x
x x x f x x x
x x x →→→→→→∴+≠-===-=-=++-
-
-
注：此方法一般适用于分段函数.
2.8 利用函数的数学公式、定理求极限
2.8.1利用罗比塔法则求极限（适用于不定式极限） 定理10 若
A x g x f x g x f A A x g x f iii x g x u x g f ii x g x f i x x x x x x x x x x ==∞∞±=≠==→→→→→)
()(lim )()(lim ()
()(lim )(0
)()()(0
)(lim ,0)(lim )(''''
'0000000
），则或可为实数，也可为内可导，且的某空心邻域在与 此定理是对0x x →时而言，对于函数极限的其它类型，均有类似的法则，该
定理对00型或∞
∞
型均成立.
注：运用罗比塔法则求极限应注意以下几点：
1、要注意条件，也就是说，在没有化为∞
∞
,00时不可求导.
2、应用罗比塔法则，要分别的求分子、分母的导数，而不是求整个分式的导数.
3、要及时化简极限符号后面的分式，在化简以后检查是否仍是未定式，若遇到不是未定式，应立即停止使用罗比塔法则，否则会引起错误.
4、当)()
(lim ''x g x f a x → 不存在时，本方法则失效，但并不是说极限不存在，此时求极
限须用另外方法.
例19 求下列函数的极限
①)
1ln()21(lim 22
10x x e x x ++-→ ②)0,0(ln lim
>>+∞→x a x x
a
x
解：①令()f x = 21
)21(x e x +-, ()g x = l )1n(2x + 2
1')
21()(-+-=x e x f x , 2
'12)(x
x
x g +=
2
22"
2
3
"
)
1()
1(2)(,)
21()(x x x g x e x f x
+-=++=- 由于0)0()0(,0)0()0(''====g g f f 但2)0(,2)0(""==g f
从而运用罗比塔法则两次后得到
12
2
)1()
1(2)21(lim 12)
21(lim )
1ln()
21(lim
2
222
3
02
2
1
022
10==
+-++=++-=++--→-→→x x x e x x
x e x x e x
x x
x x
x . ② 由∞=∞=+∞
→+∞
→a x x x x lim ,ln lim ，故此例属于
∞
∞
型，由罗比塔法则有： )0,0(01
lim 1
lim ln lim 1>>===+∞→-+∞→+∞→x a ax ax x x x a
x a x a x .
2.8.2 利用泰勒公式求极限
对于求某些不定式的极限来说，应用泰勒公式比使用罗比塔法则更为方便，下列为常用的泰勒展开式：
1、)(!
!212n n
x
x o n x x x e +++++= 2、)()!
12()1(!5!3sin 212153n n n x o n x x x x x +--+++-
=--
3、)()!
2()1(!4!21cos 12242++-+++-
=n n
n x o n x x x x 4、)()1(2)1ln(12n n
n x o n
x x x x +-++-=+- 5、)(!
)
1()1(!
2)
1(1)1(2n n x o x n n x x x ++--+
+-++=+ααααααα
6、
)(x x 1 11
2n n x o x x
+++++=- 上述展开式中的符号)(n x o 都有:
0)
(lim 0=→n n x x
x o 例20 求)0(2lim
>+-+→a x
x
a x a x
解:利用泰勒公式，当0→x 有
)(2
11x o x
x ++
=+ 于是 x
x
a x a x +-+→2lim
=x
a
x a x a x )121(lim 0+-+
→
=x x o a x x o a x a x ⎥
⎦
⎤
⎢⎣⎡-⋅--++→)(211)()2(211lim
=a
x x o x a x x o a x a x x 21)(21lim )
(2lim
00
=+=+⋅
→→
2.8.3 利用拉格朗日中值定理求极限 定理11 若函数f 满足如下条件：
(I) f 在闭区间[],a b 上连续 (II)f 在(),a b 内可导 则在(),a b 内至少存在一点ξ,使得
a
b a f b f f --=
)()()('ξ
此式变形可为:
)10( ))(()
()('<<-+=--θθa b a f a
b a f b f .
例21 求 x
x e e x
x x sin lim sin 0--→.
分析：对于这个题目，好多同学看到题目之后，发现所求极限的函数是“0
”
型不定式，马上想到用罗比塔法则法，但是此题用拉格朗日中值定理更容易，更简单.
解:令x e x f =)( 对它应用拉格朗日中值定理得
)1(0 ))sin ((sin )sin ()(sin )('sin <<-+-=-=-θθx x x f x x x f x f e e x x 即
1)(0 ))sin ((sin sin 'sin <<-+=--θθx x x f x
x e e x
x x e x f =)(' 连续
1)0())sin ((sin lim '
'
==-+∴→f x x x f x θ，从而有 1sin lim
sin 0=--→x x e e x
x x .
2.9利用分子或分母有理化求极限
若分子或分母的极限为0，不能运用四则运算中商的极限运算法则时，采
用通过分子或分母有理化，消去分母中的趋于0的因子，再运用极限的运算法则.
2.9.1.约去零因式（此法适用于型时0
,0x x →）
例22 求1216720
16lim 23
232+++----→x x x x x x x
解:原式=()
()
)
12102(65)
2062(103lim
2
23223
2
+++++--+---→x x x x x x x x x x
x =)
65)(2()
103)(2(lim 222+++--+-→x x x x x x x
=)
65()
103(lim 222++---→x x x x x =)3)(2()2)(5(lim 2+++--→x x x x x =2
lim -→x 73
5
-=+-x x .
2.9.2通分法（适用于∞-∞型） 例23 求 )21
44(
lim 2
2
x x
x ---→. 解:原式=)2()2()
2(4lim
2x x x x -⋅++-→
=)
2)(2()
2(lim
2x x x x -+-→
=4
1
21lim
2=+→x x .
例24
求极限20
x →.
解：20
x →
=
2
1
x x
→
=)2
2
1lim
x x x →
=)
lim
1x →
=2.
2.10 利用定积分求极限
定义9 设函数()f x 在闭区间[],a b 上有定义，在闭区间[],a b 内任意插入1
n -个分点将[],a b 分成n 个区间[],x i i x x -，记i x ∆1i i x x -=-()1,2,3,,i n =⋅⋅⋅，
[]1,i i x x ξ-∀∈，作乘积()i f ξi x ∆ ，若这些乘积相加得到和式()1
n
i i f ξ=∑i x ∆ ，设
max λ={}:1i x i n ∆≤≤，
若0
lim λ→()1
n
i
i f ξ=∑i x ∆极限存在唯一且该极限与区间[],a b 的
分法及分点i ξ的取法无关，则称这个唯一的极限值为函数()f x 在[],a b 上的定积分，记作
()b
a
f x dx ⎰，即 ()b
a
f x dx ⎰=0
lim
λ→()1
n
i
i f ξ=∑i x ∆
否则称()f x 在[],a b 上不可积.
注：（1）由牛顿莱布尼兹公式知，计算定积分与原函数有关，故这里借助了不定积分的符号.
（2）若()b
a f x dx ⎰存在，区间[],a
b 进行特殊分割，分点i ξ进行特殊的取
法得到的和式极限存在且与定积分的值相等，但反之不成立，这种思想在思考题中经常出现，我们要好好理解.
（3）定积分是否存在或者值是多少只与被积函数式和积分区间有关，与积分变量用什么字母表示无关，即()()()b
b
b
a
a
a
f x dx f t dt f u du ==⎰⎰⎰.
定积分的极限有两个特性：第一，定积分是无穷项和式的极限，容易知道一般项在项数趋近于无穷大时极限值必然趋近于零，否则和式极限不存在.第二，定积分与某一连续函数有紧密的关系，它的一般项受到这一连续函数的约束，它是连续函数在某个区间上进行了无穷的分割，各小区间上任意的函数值与区间长度的乘积的累积.
例25 利用定积分求极限：
1
111lim 1232n J n n n n →∞⎛⎫+++⋅⋅⋅+=
⎪+++⎝
⎭ 分析：此极限的求解，不容易直接用极限的定义解决，因为该法往往是用来一边计算一边证明某个极限结果已经比较明显的问题，因此这里不合适，重要极限的结论显然也在这里没有用处，因为形式上根本不同；在考虑洛必达法则，它
不是无穷比无穷型的极限也非零比零型的极限，也不可能用到此法；那么泰勒公式呢？泰勒公式往往是用来解决连续函数的极限问题，通过泰勒展式往往能把非多项式形式的表达式转化成多项式形式，以简化形式从而求解，看来这里也不适用.再看用迫敛性：
1111221221
n n
n n n n n =≤++⋅⋅⋅+≤
+++，又lim
11
n n
n →∞=+所以
迫敛性失效.那是不是就没有什么合适的办法了呢？答案当然是否定的，事实上，它从形式上与定积分的定义还是有一些相像的，那么就让我们尝试用定积分的办法来解决这道题.
解：把此极限式化为某个积分和的极限式，并转化为计算定积分.为此作如下变形：
1
1
1
lim 11n
n i J n i
→∞
==⋅+∑
. 不难看出，其中的和式是函数()1
1f x x
=
+在区间[]0,1上的一个积分和（这里所取的是等分分割，11,,,1,2,i i i i i x i n n n n ξ-⎡⎤
∆==∈=⎢⎥⎣⎦
···，n ），所以
()1
100ln 1ln 21dx
J x x
==+=+⎰ . 当然，也可把J 看作()1
1f x x
=+在[]1,2上的定积分，同样有
2
31
2ln 21
dx dx J x x ===⋅⋅⋅=-⎰⎰ .
2.11 利用单调有界原理求极限
定理12 若数列{}n a 收敛，则{}n a 为有界数列，即存在正数M ，使得对一切正
整数n ，有 M a n ≤.
定理13（单调有界定理） 在实数系中，有界的单调数列必有极限. 例26 设21=a ，n n a a 21=+，n =1,2,⋅⋅⋅,求lim n n a →∞
.
分析：用单调有界原理求极限首先要证明是有界的单调数列. 解：（1）先证{}n a 是有界数列.事实上，n +∀∈N 由
12n a <<
现用数学归纳法证明如下：当1k =
时，1a =
12<<成立. 设n k =时结论成立，即12k a <<，则当1n k =+时，
112
22k a +<=<= 故12,n a <<∀n +∈N
（2）再证{}n a 严格单调递增.由于
12n a <
<，故11n n n a a +==>，因此{}n a 严格单调递增.由单调有界定理知lim n x a →∞
存在.
（3）设lim n n a →∞
=a ，则对n
n a a 21=+两边取极限得
1lim n
n n a +→∞
= a =解之得
2a = 或 0a =（不合题意，舍去），故lim n n a →∞
=2.
注：（唯一性定理）数列收敛，极限唯一.
2.12 多种方法的综合运用
上述介绍了求函数极限的基本方法，然而，每一道题目并非只有一种方法。

因此我们在解题中要注意各种方法的运用技巧，使得计算大为简化.
例27 求 2
22
0sin cos 1lim x x x x -→.
分析：一般我们做题时会想到的是这题该用什么方法解决，并且我们喜欢选择最简单的方法解决，现在我们来看看这道题的解法.
[解法一]:
22
2
0sin cos 1lim x x x x -→2
222
sin 2cos 2sin 2lim
x
x x x x x x x +⋅=→ 2
222
0sin cos sin lim x x x x x +=→
22222
0sin cos sin lim x x
x x x x +
=→=21 . 注:此法采用罗比塔法则和重要极限. [解法二]:
21sin 42lim 4sin 2lim cos 1lim sin cos 1lim 22032022202220=⋅==⋅-=-→→→→x
x x x x x x x x x x x x x x x x 注:此解法利用了重要极限和等价无穷小替换. [解法三]:
21sin 2)(lim sin cos 1lim sin cos 1lim 2242
20224202220=⋅=⋅-=-→→→x
x x x x x x x x x x x x x 注:此解法利用了等价无穷小替换和重要极限. [解法四]： 令2x u =
21
sin cos cos cos lim cos sin sin lim sin cos 1lim sin cos 1lim 0002220=-+=+=-=-→→→→u u u u u u
u u u u u u x x x u u u x
注：此解法利用变量代换法和罗比塔法则.
[解法五]:
21
11lim sin cos sin lim sin cos 1lim 2
2
222202220=+=+=-→→→tgx x
x x x x x x x x x x . 注:此解法利用了罗比塔法则和两个重要极限.
小结
求函数极限的方法有很多，其中有利用定义求函数极限、利用夹逼定理求函数极限、利用函数的连续性求极限、利用极限的四则运算、利用变量替换、利用等价无穷小替换、利用定积分、利用导数定义、利用泰勒公式、利用罗必达法则求极限等一些方法，对不是同一类型的函数求极限的方法不一样，有的可以用同一种方法求解，有的不可以，因此研究函数求极限的方法显得尤为重要.例如,利用拉格朗日中值定理求函数极限关键在于拉格朗日中值定理的合理运用.函数极限不仅仅是数分中的重点难点，更是近代微积分学的基础，因此了解和熟练的掌握一个函数极限的求法对于整个高等数学来说都是十分重要的.以上只是列举了大部分的函数极限的求解方法，但方法并不只限于以上几种，或许还有未知的方法等着我们去发掘.
参考文献
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在数学教学中，函数极限是重中之重，学好它可以对以后的数学教育做出更多的贡献.极限知识是微积分的基础，导数和积分都是建立在极限的概念之上的，若极限学得不扎实，必然会影响到整个高等数学的学习，所以学好它可以给你在后面的学习带来方便.本文主要是在考虑函数极限存在的前提下撰写的，求函数极限的方法并不是一成不变的，每一个题目适用于它的解决方法也不是唯一的，函数极限不仅仅是数分中的重点难点，更是近代微积分学的基础，因此了解和熟练的掌握一个函数极限的求法对于整个高等数学来说都是十分重要的.函数极限奠定了微积分的基础，而微积分在物理、化学、经济学等领域中有着重要的应用.
本人的本科毕业论文是在何秀梅老师的指导和同学帮助下完成的，论文撰写结束了，在此期间我遇到了许多困难，同样得到了老师和同学们的热心帮助，使我得以按时完成我的任务，没有辜负大家的一片苦心.首先我要诚挚的感谢我的论文指导老师何秀梅老师，感谢她在我不断的学习新知识的过程中给我的帮助和支持.在完成毕业设计的过程中，我不仅获得了丰富的理论知识，这对我今后进一步学习数学教学方面的知识有极大的帮助.在此就要感谢我周围的同学，在撰写论文时他们给我很大的帮助，在整个毕业设计的过程中，也得到了多位老师的帮助，无论在理论还是实践中都给我提出了许多宝贵的意见和建议，并指出了许多不足之处，正因为有了这些帮助和支持，我的毕业设计才得以顺利完成，因此，我衷心的对他们说一声“谢谢”.谢谢何秀梅老师提醒我快点写，以至于她可以给我更多的建议，让我取得更好的成绩.我还要感谢曾经为我授课的各位老师，您们不仅教授了我数学专业知识，更用自己的言行向我展示了为人师的高尚品德.谢谢所有陪我走过四年大学生活的同学，室友及所有老师.在以后的日子里，我会感谢学校的一切！谨此向所有的人表示我最诚挚的谢意！。