第二章 射影映射

第二章 射影映射

本章将阐明一维射影变换、射影映射和二维射影变换的几何意义；研究它们各有哪些类型；并对其中比较重要的几种特殊类型进行较深入的讨论。

§1透视

透视是一个很简单但又最基本的射影映射。一般非透视的射影变换、射影映射可以用透视来表示。

定义 如果一个点列与一个线束的元素之间建立了一一对应且对应元素是结合的,则这个对应叫做透视对应,点列与线束叫做透视的,或配景。如图2.1记成

(,,,)(,,,,)y z u v a ξηζϕψ⋅⋅⋅∧⋅⋅⋅

定义 点ξ和ξ’的对应点的连线交于一点s,也就是这两个点列与同一线束s 成透视,则这两个点列叫做透视点列,点s 叫做透视中心，记作

(,,)(,,,)S

a b c a b c ξξ∧

''''⋅⋅⋅⋅⋅⋅=或()()a a ξξ''∧，如图2.2

对偶定义：

线束s 和s ’的对应直线的交点在一直线α上,也就是这两个线束与同一点列透视,则这两个线束叫做透视线束。直线α叫做透视轴。记作

(,,,)(,,,)s s αηζϕηζϕ∧

''''⋅⋅⋅⋅⋅⋅=或()()s s α

ηη∧

''=，如图2.3.

两个点列射影的,记作()()a a ξξ''∧；两个线束射影的,记作()()s s ηη''∧

看图2.2,如果,,,ηζϕψ是线束s 的四条直线,分别与ξ和ξ’交于a,b,c,d 和a ’,b ’,c ’, d ’,则有

R(a,b ；c,d)=R(,;,ηζϕψ)=R(a ’,b ’；c ’,d ’)

图2.1 图2.2 图2.3

所以透视对应保持交比不变,又因透视是一一对应,所以透视是射影对应(斯丹纳定义)。显然,透视对应把点ξξ'⨯映射为自身。

定理1 直线ξ到ξ’的透视是射影对应,它把公共点ξξ'⨯映射为自身。反过来,又有 定理2 直线ξ到ξ’的一个射影对应,如果把公共点ξξ'⨯映射为自身,那么这个射影对应是透视。(图2.4)

证明：设ξ到ξ'的射影对应Ф由三对对应点唯一确定：

:(,,)(,,)a b y a b y φξξ'''∧且()c c φ'=

令00

()(),(),(,,)

(,,)s

a a

b b s s

c c a b c a b c ξξξ∧

''''''⨯⨯⨯=⨯⨯=∴=记作ψ。

0(,;,)(,;,)(,;,)R a b y c R a b y c R a b y c '''''==

0,c c '∴≡φ与ψ有三对点相同，φψ∴≡φ∴是透视。

'ξ

定理1和定理2的对偶定理请读者自行叙述。由上述定理得结论：

定理3 两个射影点列(线束)成透视的充要条件是它们的公共点(直线)自身对应。 定理4如果(,,)(,,)(,,)a b c a b c a b c ξξξ''''''''''''⋅⋅⋅∧⋅⋅⋅∧⋅⋅⋅ 那么(,,)(,,,)a b c a b c ξξ''''''''⋅⋅⋅∧⋅⋅⋅

定理5 两条不同的直线之间的非透视的射影对应,是两个透视变换的积, 证明：设Ф是直线ξ到'ξ的射影对应, (图 2.5)但不是透视,

(,,)(,,)a b c a b c ξξ''''∧

(其中三对对应点中没有任何一点是ξξ'⨯),在直线a ×a ’上任取二点s 和s ’,作点(s ×b)×(s ’×b ’)～b 0,(s ×c)×(s ’×c ’)～c 0,再作直线ξ0～b 0×c 0, ξ0×(a ×a ’)～a 0,于是有

'

'00(,,)(,,)s

s a b c a b c ξξξ∧

∧

'''=00

（,,）=a b c

图2.4

推论：一直线ξ到它自身上的射影变换,可分解为不多于三次透视的乘积。 例1 设直线ξ和ξ’上各有三个不相同的点x,y,z 和x ’,y ’,z ’,这些点都与ξ×ξ’不同,那么三点：a=(y ×z ’)×(y ’×z),b=(z ×x ’)×(z ’×x),c=(x ×y ’)×(x ’×y)共线(pappus 定理)

证明 如图2.6置ω=ξ×ξ’, u=(x ×z ’)×(x ’×y) v=(y ×z ’)×(x ’×z),

,x y y z ββ'''

=⨯=⨯。

我们有

(,,,)(,,,)(,,,)x

z

x c u y x y z w v a z y βξβ∧

∧

'''''''==

(,,,)(,,,)x c u y v a z y ββ'''∧

可是y 是点列β(x ’,c,u,y)和点列β’(v,a,z ’,y)的公共点,而且自对应,所以

(,,,)(,,,)x c u y v a z y ββ'''∧

就是说三直线x ’×v,c ×a,u ×z ’共点(透视中心),就是x ’×z,c ×a,x ×z ’相交于一点(x ’×z)×(x ×z ’)=b ，所以a,b,c 共线。

例2 设a,b,c 是三点形的顶点,d,d ’；e,e ’；f, f ’依次是各边b ×c,c ×a,a ×b 上两个顶点的调和共轭点,求证：e ×f,e ’×f ’,b ×c 共点；f ×d,f ’×d ’,c ×a 共点；d ×e,d ’×e ’,a ×b 共点。(图2.7)

证明 因为R(b,c ；d,d ’)=R(a,c ；e,e ’)=-1

所以 点列(b,c,d,d ’) ∧

-点列(a,c,e,e ’),c 是公

共点而且自对应,所以

(b,c,d,d ’)

∧(a,c,e,e ’)

所以三直线：d ×e,d ’×e ’,a ×b 共点。 其余部分用同样的方法证明。

例3 已知简单n 点形的顶点a 1,a 2,…a n 分别沿着通过不动点s 的直线α1,

α2,…, α

图2.5

图2.6

图2.7