运筹学模型

第四章 运筹学模型

本章教学重点是： 线性规划模型 目标规划模型 运输模型及其应用 图论模型 最小树问题 最短路问题 最大流问题与最小割 复习要求

1．进一步理解基本建模过程，掌握类比法、图示法以及问题分析、合理假设的内涵。 2．进一步理解数学模型的作用与特点。

本章复习重点是线性规划模型、运输问题模型和目标规划模型。具体说来，要求大家会建立简单的线性规划模型，把实际问题转化为线性规划模型的方法要掌握，当然比较简单。运输问题模型主要要求善于将非线性规划模型转化为运输规化模型，这种转化后求解相当简单。你至少把一个很实际的问题转化为用表格形式写出的模型，至于求解是另外一回事，一般不要求。目标模型一般是比较简单的线性规模模型在提出新的要求之后转化为目标规划模型。这是主要的考虑方向。另外，关于图模型的问题涉及到最短路问题，具体说来用双标号法来求解一个最短路模型。这之前恐怕要善于将一个实际问题转化为图模型。还有一个最小数的问题，该如何把一个网络中的最小数找到。另外在个别场合可能会涉及一笔划问题。 1．营养配餐问题的数学模型为

n n x C x C x C Z 211m in

)

,,2,1(0,

,,22112222212111212111n j x b x a x a x a b x a x a x a b x a x a x a t s j m

n mn m m n n n n

或更简洁地表为

n

j j j

x C

Z 1

min

),,2,1,,2,1(01

n j m i x b x a t s j

n

j i j ij 其中的常数C j 表示第j 种食品的市场价格，a ij 表示第j 种食品含第i 种营养的数量，b i 表示人或动物对第i 种营养的最低需求量.

例1 医院为病人配制营养餐，要求每餐中含有铁不低于50单位，蛋白质不低于40单位，钙不低于42单位．假设仅有两种食品A 和B 可供配餐，相关数据见下表．试问，如何购买两种食品进行搭配，才能即使病人所需营养达到需求，又使总花费最低？

解：设购买食品A和B依次为x1和x2（kg），则有

营养最低要求满足：

10x1+5x2≥50 （铁含量）

5x1+8x2≥40 （蛋白质含量）

6x1+5x2≥42 （钙含量）

总花费数记为Z，则有数学模型

2

1

3

4

min x

x

Z

s.t.

,

)3.3(

,

42

5

6

)2.3(

,

40

8

5

)1.3(

,

50

5

10

2

1

2

1

2

1

2

1

x

x

x

x

x

x

x

x

用图解法求解上述问题．

首先以x1,x2为坐标轴，建立平面直角坐标系（如图3-10），由于x1,x2均非负，故只画出了第一象限．

其次，将其余约束条件几何化．条件（3.1）表示的是一个半平面，先画出直线10x1+5x2=50,因为10x1+5x2≥50，故直线（3.1）的上方区域即条件（3.1）所满足的x1,x2的取值范围；同理将条件（3.2）、（4.3）也几何化，并注意到几个条件要同时满足，便求得一个以顶点A、

B、C、D为顶点的右上方无界的五边形区域

1

x ABCD

2

x.这个区域内的任一点（x1,x2）都是

图3—10图3—11

最后，为了求出最优解，将目标函数也进行几何化，有

1

1

)4.3(3

3412Z x x

称为目标函数直线族，因为其中的Z 作为参数出现.易见，随着Z 的逐渐增大，目标函数直

线（3.4）向右上方平行移动．也就是说，随着目标函数直线的逐渐往右上方平移，Z 的值越来越大，反之，Z 的值越来越小（如图3-11）.又原问题是求函数Z 的最小值，故应令目标函数直线尽可能往左下方平移．但这种平移是有限制的，即点（x 1,x 2）必须在可行域内.于是两者的结合便可确定本例的最优解.

通过上述斜率关系分析可知目标函数直线与直线（3.1）和直线（3.3）的交点（顶点C ）相切，即直线（3.1）与直线（3.3）的交点即最优解点.于是问题就变成了求解方程组

.

4256,

505102121x x x x 易解得x 1=2,x 2=6为最优解，通常记作：T

x )6,2(62

对应的目标函数值称为最优值，记作 Z *=26

2．运输问题模型

运输问题也是一种线性规划问题，只是决策变量设置为双下标变量. 假如问题具有m 个产地和n 个销地, 第i 个产地用A i 表示,其产量为a i (i =1,2,…，m )，第j 个销地用B j 表示,其销量为b j (j =1,2,…,n ), 从A i 运往B j 的运价为c ij , 而

m

i n

j j

i

b

a

11

表示产销平衡。那么产销平衡

运输问题的一般模型可以写成为

m

i n

j ij ij x c Z 11

min

n j m i x b x a x t s ij m

i j ij n

j i ij ,,2,1,,2,1011

例2 某公司经营的一种产品拥有四个客户，由公司所辖三个工厂生产，每月产量分别

为3000，5000，4000件。该公司已承诺下月出售4000件给客户1，出售3000件给客户2以及至少1000件给客户3。客户3与客户4都想尽可能多购剩下的产品。已知各工厂运销一件产品给客户1、2、3、4可得到的净利润是：工厂1为65、63、62、64元；工厂2为68、67、65、62元；工厂3为63、60、59、60元。问该公司应如何拟订运销方案，才能在履行诺言的前提下获利最多？

上述问题是否可以转化为运输模型加以处理？若是，请写出对应的表格形式的运输模型（即产销平衡运价表），否则说明理由。 解：可以。产销平衡表如下：