-第15讲 罗尔、拉格朗日中值定理

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分析问题的条件, 作出 辅助函数是证明的关键 .
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证明方程
例3
a1 cos x a2 cos 3x an cos(2n 1)x 0
（ ） 在
0,
2
内至少有一根 , 其中实数 a1,, an 满足
a1
a2 3
(1)n1
an 2n 1
0
证
令
F
(
x)
a1
ຫໍສະໝຸດ Baidu
sin
x
a2 3
sin
3
x
an 2n
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(2) 若 m M (即 M m) f (x) C([a, b])
f (x) 必在[a, b] 上取到它的最大值、 最小值至少各一次.
又 f (a) f (b) , 故 f (x) 不能同时在 x a 和 x b 处分别取到M和m .
即至少存在一点 (a, b), 使得 f ( ) M 或 f ( ) m.
设 f (x), g(x) 在区间 I 上可微, 且有 f (a) 0,
f (b) 0, a, b I, 证明方程 f (x) f (x)g(x) 0
至少存在一根 x0 (a,b).
证 由于 (ex ) ex, ex 0 x (,), 所以, 令
F (x) eg(x) f (x), 则由已知条件可知 :
又 f (a) f (b) f (c) f (d) 0 ,
f (x) 是四次多项式, 在 (,) 内可微 , 在[a, b] ,[b, c] ,[c, d] 上运用罗尔中值定理, 得
f (1) f (2 ) f (3) 0 . 其中, 1 (a, b) , 2 (b, c) , 3 (c, d ) .
且 (a) (b) 0 ,
故由罗尔定理, 至少存在一点 (a, b) , 使得
( ) f ( ) f (b) f (a) 0
ba
即
f (b) f (a) f ( )(b a)
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定理的证明方法很多, 例如, 可作辅助函数
F (x) ( f (b) f (a))x (b a) f (x)
由费马定理可知： f ( ) 0 (a, b) .
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例1 设 a,b,c,d 皆为实数, a b c d, f (x) (x a)(x b)(x c)(x d) ,
证明方程 f (x) 0 仅有三个实根, 并指出根所在区间.
证 f (x) C( [a, b],[b, c],[c, d] ) ,
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极值的定义
设 f (x) 在 U(x0 ) 内有定义 , 若
f (x) f (x0) x Uˆ (x0) ,
则称 f (x0 ) 为 f (x) 的极大值 , x0为函数的极大点.
f (x) f (x0) x Uˆ (x0) ,
则称 f (x0 ) 为 f (x) 的极小值 , x0为函数的极小点.
不论 a b 还是 a b 定理中的公式均可写成 f (b) f (a) f ( )(b a) ( 在 a, b 之间)
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二. 罗尔中值定理
定理 设 (1) f (x) C([a, b]) ; (2) f (x) 在 (a, b) 内可导 ; (3) f (a) f (b) ,
则至少存在一点 (a, b) , 使得 f ( ) 0 .
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y y f (x)
A
B
Oa
bx
实际上, 切线与弦线 AB 平行.
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f (x) C([a, b]) 可保证 f (x) 在[a, b] 内取到它的最大最小值.
y
但是…… y f (x)
Oa
bx
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f (x) C([a, b])
f (x) 在 (a, b) 存在
可保证在内部一点取到极值
y
y f (x)
f (a) f (b)
P
f ( ) 0
水平的
aO
bx
A
Oa
弦 AB 的方程： y f (a) f (b) f (a) (x a)
ba
bx
如何利用罗尔定理 来证明？
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证 令 (x) f (x) f (a) f (b) f (a) (x a)
ba 则由已知条件可得：
(x) C([a, b]) , (x) 在 (a, b) 内可导 .
f (x) 0 的两个根之间至少有 g(x) 0 的一个根 .
分析
f g
(x) (x)
f (x)g(x) f (x)g(x) ( g ( x)) 2
如果 x1, x2 是 f (x) 0 的两个根 , 则
f (x1) f (x2 ) 0 ( 这时必须 g(x) 0 ) . g(x1) g(x2 )
如果需要, 当然可以使用.
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例5 设 f (x), g(x) C([a, b]), 在 (a,b) 内二阶可导, 且 f (a) g(a), f (c) g(c), f (b) g(b), c (a,b),
证明: 至少存在一点 (a,b), 使得 f ( ) g( ).
证 令 (x) f (x) g(x), 则 (a) (c) ,
这些中值定理的创建要归功于费马、 拉格朗日、柯西等数学家.
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首先, 从直观上来看看 “函数的差商与函数的导数间的基本关系式” 是怎么一回事.
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导数与差商
y y f (x) 可微
P
B
点 P 处切线的斜率： k f (x0)
相等！
割线 AB 的斜率：
A
k f (x2 ) f (x1) x2 x1
取极大值 f ( ), 则有 f (x) C 是特殊情况
f (x) f ( ) x Uˆ ( ) 若 f ( ) 存在, 则
如何保证函 数在区间内 部取极值？
f( )
lim
x0
f
(
x) x
f
( )
0,
f( )
lim
x0
f (
x) x
f ( )
0,
于是
f ( ) 0 . （极小值类似可证）
在 (a, b) 内至少有一根.
分析 2x ( f (b) f (a)) (b2 a2) f (x) 0
( x2( f (b) f (a)) (b2 a2) f (x) ) 0 a2( f (b) f (a)) (b2 a2) f (a)
b2( f (b) f (a)) (b2 a2) f (b) a2 f (b) b2 f (a)
g(x) 则由已知条件可知:
F (x) 在 [x1, x2 ] 上满足罗尔定理条件, 27
故至少存在一点 (x1, x2 ) , 使得
F( )
f ( )g( ) f ( )g( ) g( )2
0
从而 f ( )g( ) f ( )g( ) 0 , 与已知矛盾.
该矛盾说明命题为真 .
如果使用一次罗尔定理后, f (x) 仍满足罗尔定理条件, 能否再一次使用罗尔定理?
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例4 设 f (x) 、g(x) C([a, b]) , 在 (a, b) 内可导, 且x (a, b), f (x)g(x) f (x)g(x) 0 . 证明方程 f (x) 0 的两各根之间至少有 g(x) 0 的一个根.
证 设 x1, x2 (a, b) 是 f (x) 0 的两个根 . 不妨假设 x1 x2 . 并设方程 g(x) 0 在 x1 与 x2 及其之间没有根. 令 F (x) f (x) ,（此时 g(x) 0）.
F(x) C([a, b]) , F(x) 在 (a, b) 内可导 ,
又 F(a) F(b) a2 f (b) b2 f (a)
由罗尔定理, 至少存在一点 (a, b) 使得
F( ) 2 ( f (b) f (a)) (b2 a2) f ( ) 0
即 方程在 (a, b) 内至少有一根.
即 f (x) 0 至少有三个实根.
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f (x) 是四次多项式, f (x) 是三次多项式,
f (x) 0 至多有三个实根. 综上所述,
f (x) 0 仅有三个实根 , 分别在 (a, b), (b, c), (c, d)中.
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例2 设 f (x) C([a, b]) , 在 (a, b)内可导, 证明 2x ( f (b) f (a)) (b2 a2) f (x)
sin( 1
2n
1)
x
则 F(0) F( ) 0 , 且满足罗尔定理其它条件,
2
故 (0, ) 使
2
F( ) a1 cos a2 cos 3 an cos(2n 1) 0
即方程在（0, ）内至少有一根.
2
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例4 设 f (x) 、g(x) C([a, b]) , 在 (a, b) 内可导, 且x (a, b), f (x)g(x) f (x)g(x) 0 . 证明方程
高等院校非数学类本科数学课程
大 学 数 学（一）
—— 一元微积分学
第十五讲 微分中值定理
1
第四章 一元函数的导数与微分
本次学习要求： ▪熟悉罗尔中值定理、拉格朗日中值定理，并能较好运 用上述定理解决有关问题（函数方程求解、不等式的 证明等）。
2
第四章 一元函数的导数与微分
第五节 微分中值定理
一. 费马定理 二. 罗尔中值定理 三. 拉格朗日中值定理 四. 柯西中值定理
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例2
设 f (x) C([a, b]) , 在 (a, b)内可导, 证明
2x ( f (b) f (a)) (b2 a2) f (x)
在 (a, b) 内至少有一根.
证 令 F(x) x2( f (b) f (a)) (b2 a2) f (x)
则由 f (x) 的连续性和可导性, 得
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一. 费马定理
定理 设 f (x) 在区间 I 内有定义, 且在 I 内某点
处取极大（小）值. 若 f ( ) 存在 , 则必有 f ( ) 0 .
可微函数在区间内部取极值的必要条件是 函数在该点的导数值为零.
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费马定理的几何解释
y
如
P
何 证
y f (x)
明
？
aO
bx
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证 设 f (x) 在区间 I 内有定义, 且在 x 处
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费马定理
微 分
罗尔中值定理
中 值
拉格朗日中值定理
定 理
柯西中值定理
泰勒中值定理
4
导数与差商
函数导数的定义为
f (x) lim f (x x) f (x)
x0
x
即函数在点 x 处的导数等于 x 0 时, 函数
在点 x 处的差商 f (x x) f (x) 的极限值.
x
5
我们常常需要从函数的导数所给出 的局部的或“小范围”性质, 推出其整体的 或“大范围”性质. 为此, 我们需要建立函 数的差商与函数的导数间的基本关系式, 这些关系式称为“微分学中值定理”.
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证 f (x) C([a, b])
f (x) 必在[a, b] 上取到它的最大值、
最小值至少各一次.
令 M max f (x) , x[a, b]
(1) 若 M m
m min f (x) x[a, b]
m f (x) M x [a, b]
f (x) m x [a, b]
故 (a, b) , 均有 f ( ) 0 .
由罗尔中值定理, 至少存在一点1 (a,c), 使得 (1) 0.
同理, 至少存在一点2 (c,b), 使得 (2) 0.
在 [1,2] 上对函数(x) 再运用罗尔中值定理, 则
至少存在一点 (1,2) (a,b), 使得
(( )) ( ) 0,
即 f ( ) g( ).
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例6
三. 拉格朗日中值定理
定理 设 (1) f (x) C([a, b]) ;
(2) f (x) 在 (a, b) 内可导 ,
则至少存在一点 (a, b) , 使得
f ( ) f (b) f (a)
ba
即
f (b) f (a) f ( )(b a)
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y
切线与弦线 AB 平行
y f (x) B
F(x) C([a,b]), 在 (a,b) 内可导, 且 F(a) F(b) 0,
故由罗尔中值定理: 至少存在一点 x0 (a,b) 使得
F
( x0
)
(eg
(
x)
f
(x))
x x0
f (x0 )eg(x0 )
f (x0 )eg(x0 ) g(x0 ) 0.
因为 eg(x0 ) 0, 故有 f (x0 ) f (x0 )g(x0 ) 0, 即得所30证.
O x1
x0 x2 x
8
将割线作平行移动, 那么它至少有一次会 达到这样的位置：
在曲线上与割线距离最远的那一点P 处成 为切线, 即在点P 处与曲线的切线重合.
也就是说, 至少存在一点 (x1 , x2) , 使得 f ( ) f (x2 ) f (x1)
x2 x1 该命题就是微分中值定理.