三角函数的测量应用

三角函数的测量应用

龙岩一中 陈伟彬 杨政启

指导老师：章扬

一 三角函数测量应用

三角函数测量应用问题通常涉及生产、生活、军事、天文、地理、

物理等实际问题.其解答流程大致是：审读题意→设角建立三角式→进行三角变换→解决实际问题.高考或数学竞赛中这方面已考过的题比较少，但是由于这类问题具有一定的实际意义

二 三角函数测量应用实例

某人身高1.8米，在黄浦江边测得对岸东方明珠塔尖的仰角ο

5.75=α，测得东方明珠塔在黄浦江中倒影的塔尖的俯角ο

6.75=β，如图1，求东方明珠塔的高h

分析：根据实物与倒影的对称性，通过两直角三角形中的边角关系求塔高

解：设黄浦江宽为a 米，得a

h 8

.1tan -=

α，a h 8.1tan +=β两式相除得，

8.18.1tan tan +-=h h βα，即()()

8.1sin sin 8.1tan tan tan tan ⨯-+=⨯-+=αβαβαβαβh ，因ο

5.75=α，ο

6.75=β，代入得，

4908.11

.0sin 1.151sin ≈⨯=∴ο

οh （米），即东方明珠塔的高为490米。

思考：通过以上关于高度测量方面的实例，我们从中受到启发并且利用上述实例中运用的解题思路来解决其他的一些问题，散发自己的思维，学会学以致用。

探究一：我校附近有一水塔，为探测其高度，我组成员利用三角函数来测量该水塔约有多高。（不计圆台顶部）(三角板、皮尺)

①探究过程

1.首先，站在水塔下用角度为60°的三角尺来测量，将三角尺水平放在眼前，人的视线沿着三角尺的斜边看出去，接着人慢慢往外移动，直到人的视线恰好能看到该水塔的最高点时停下，测得人到水塔的水平距离

m ACB

BC

h 10tan ≈∠=

（用皮尺进行测量）,并记录数据。

2.同理，用45°的三角尺测得人与水塔的水平距离约为18m 。用30°的三角尺测得人与水塔的水平距离约为26m 。 ②整理数据绘制表格

角度 30°

45°

60°

简图

h

30︒

C

B

A

h

45︒

C B

A

h 60︒

C B

A

水平距离 26m 18m 10m H

263/3m

18m

103m

备注：(本人身高1.7m)

1. 取三者平均值约为18m ，加上本人身高1.7m ，该水塔的高度为19.7m 。 探究二：对第一教学楼边的一颗树进行探测其高度。

2.问题引申⑴：

上述方法中能够测得水平的距离，若假设人只能在楼上，水平距离无法测量，则我们还能用什么方法测量？

① 首先，在带孔的量角器中穿过一条细线，细线下挂一重物，制成简单的

量角仪。

θ2

θ1C B

A

D

② 人站在四楼D 点处，量角仪水平放在栏杆上，人的视线沿着量角器的直

边看出去，转动量角器，当视线看到树的最低点时，记下俯角2θ约为60°。

③ 同理，当视线看到树的最高点时，记下仰角1θ约为

40°。

④ 又测得人在四楼时的垂直高度CD 为11.7m(含栏杆

的高度1.2m)。 由三角函数公式计算得

m AB 4.177.1160cot 40tan 7.11≈+︒⨯︒⨯=

该树的高度约为17.4m 。

归纳：如图，若要我们测AB 物体的高度，我们只需测量CD. θ1 . θ2 .

根据公式：)1cot (tan 21+=θθCD AB 这样一来我们就可以方便地解决这类问题。

3.问题引申⑵：

若在引申⑴的问题中加个“人离地面的高度无法测得”那么我们还能怎样测量呢？

①首先，人在四楼测得仰角1θ约为39.2°，俯角2θ约为58.6°

②在三楼测得俯角3θ约为47°

③又测得三楼与四楼的垂直高度DE 为3.5m 。 根据三角函数公式化简得：

)

)

tan (tan tan 1tan tan ()

tan )tan (tan 1

1tan tan tan (

tan )1cot cot (cot 1cot cot 321211323231

2

3

323θθθθθθθθθθθθθθθθθ-+=-++-=-+

+-=

DE DE DE DE DE

AB

代入数据解得：AB ≈17.7m 该树的高度为：17.7m 归纳：

如图：若我们测AB 物体的高度，（CD BC , 无法直接测得）我们只需测量

DE ,,,321θθθ这三个量。

根据公式：

)

)

tan (tan tan 1tan tan ()

tan )tan (tan 1

1tan tan tan (

tan )1cot cot (cot 1cot cot 321211323231

23

323θθθθθθθθθθθθθθθθθ-+=-++-=-+

+-=DE DE DE DE DE AB

这样我们只要代入公式就可以解决问题了。

4.思考: 问题引申⑵中是把树看成是垂直，若把树看成是倾斜的，我们还可以怎样进行测量？