2011届高三第一轮复习抽象函数经典综合题33例

2011届高三第一轮复习抽象函数经典综合题33例

抽象函数，是指没有具体地给出解析式，只给出它的一些特征或性质的函数，抽象函数型综合问题，一般通过对函数性质的代数表述，综合考查学生对于数学符号语言的理解和接受能力，考查对于函数性质的代数推理和论证能力，考查学生对于一般和特殊关系的认识，是考查学生能力的较好途径。抽象函数问题既是教学中的难点，又是近几年来高考的热点。

本资料精选抽象函数经典综合问题33例（含详细解答）

1.定义在R 上的函数y=f(x)，f(0)≠0，当x>0时，f(x)>1，且对任意的a 、b ∈R ，有f(a+b)=f(a)f(b)，

（1）求证：f(0)=1；

（2）求证：对任意的x ∈R ，恒有f(x)>0；

（3）证明：f(x)是R 上的增函数；

（4）若f(x)·f(2x-x 2)>1，求x 的取值范围。

解 （1）令a=b=0，则f(0)=[f(0)]2∵f(0)≠0 ∴f(0)=1 （2）令a=x ，b=-x 则 f(0)=f(x)f(-x) ∴)

(1

)(x f x f =

- 由已知x>0时，f(x)>1>0，当x<0时，-x>0，f(-x)>0 ∴0)

(1

)(>-=

x f x f 又x=0时，f(0)=1>0

∴对任意x ∈R ，f(x)>0

(3)任取x 2>x 1，则f(x 2)>0，f(x 1)>0，x 2-x 1>0

∴

1)()()()

()

(121212>-=-⋅=x x f x f x f x f x f ∴f(x 2)>f(x 1) ∴f(x)在R 上是增函数

（4）f(x)·f(2x-x 2)=f[x+(2x-x 2)]=f(-x 2+3x)又1=f(0)， f(x)在R 上递增

∴由f(3x-x 2)>f(0)得：3x-x 2>0 ∴ 0

2.已知函数()f x ,()g x 在R 上有定义，对任意的,x y R ∈有

()()()()()f x y f x g y g x f y -=- 且(1)0f ≠

（1）求证：()f x 为奇函数

（2）若(1)(2)f f =， 求(1)(1)g g +-的值 解

（

1

）

对

x R ∈，令x=u-v 则有

f(-x)=f(v-u)=f(v)g(u)-g(v)f(u)=f(u-v)=-[f(u)g(v)- g(u)f(v)]=-f(x)

（

2

）

f(2)=f{1-(-1)}=f(1)g(-1)-g(1)f(-1)=f(1)g(-1)+g(1)f(1)=f(1){g(-1)+g(1)}

∵f(2)=f(1)≠0 ∴g(-1)+g(1)=1

3.已知函数)(x f 对任意实数y x ,恒有)()()(y f x f y x f +=+且当x ＞0，

.2)1(.0)(-=

(1)判断)(x f 的奇偶性；

(2)求)(x f 在区间[－3,3]上的最大值； (3)解关于x 的不等式.4)()(2)(2+<-ax f x f ax f

解（1）取,0==y x 则0)0()

0(2)00(=∴=+f f f

取)()()(,x f x f x x f x y -+=--=则

)()(x f x f -=-∴对任意R x ∈恒成立 ∴)(x f 为奇函数.

（2）任取2121),(,x x x x <+∞-∞∈且， 则012>-x x

0)()()(1212<-=-+∴x x f x f x f

),()(12x f x f --<∴ 又)(x f 为奇函数 )()(21x f x f >∴

∴)(x f 在（－∞，+∞）上是减函数.

∴对任意]3,3[-∈x ，恒有)3()(-≤f x f

而632)1(3)1()2()12()3(-=⨯-==+=+=f f f f f

6

)3()3(=-=-∴f f ∴)(x f 在[－3，3]上的最大值为6

（3）∵)(x f 为奇函数，∴整理原式得 )2()()2()(2-+<-+f ax f x f ax f

进一步可得)2()2(2-<-ax f x ax f

而)(x f 在（－∞，+∞）上是减函数，222->-∴ax x ax

.0)1)(2(>--∴x ax

∴当0=a 时，)1,(-∞∈x

当2=a 时，}1|{R x x x x ∈≠∈且

当0

|

{<<∈x a

x x 当20<∈x a

x x x 或

当a>2时，}12|{><∈x a

x x x 或

4.已知f (x )在(－1，1)上有定义，f (

2

1

)＝－1，且满足x ，y ∈(－1，1)有f (x )＋f (y )＝f (

xy

y

x ++1) ⑴证明：f (x )在(－1，1)上为奇函数；

⑵对数列x 1＝

21

，x n ＋1＝212n

n x x +，求f (x n );

⑶求证

25

2)(1)(1)(121++-

>+++n n x f x f x f n

(Ⅰ)证明：令x ＝y ＝0，∴2f (0)＝f (0)，∴f (0)＝0 令y ＝－x ，则f (x )＋f (－x )＝f (0)＝0 ∴f (x )＋f (－x )＝0 ∴f (－x )＝－f (x ) ∴f (x )为奇函数 (Ⅱ)解：f (x 1)＝f (

21

)＝－1，f (x n ＋1)＝f (2

12n

n x x +)＝f (n n n n x x x x ⋅++1)＝f (x n )＋f (x n )＝2f (x n )

∴

)

()

(1n n x f x f +＝2即{f (x n )}是以－1为首项，2为公比的等比数列

∴f (x n )＝－2n －1