双曲线的标准方程及其几何性质

13．
15．双曲线 的虚轴长是实轴长的2倍，则 。
双曲线 的虚轴长是实轴长的2倍，∴m<0，且双曲线方程为 ，∴m= 。
16．已知双曲线的离心率e＝ ，且与椭圆 ＋ ＝1有共同的焦点，求该双曲线的方程．
解：在椭圆中，焦点坐标为(± ，0)，
∴c＝ ，又e＝ ＝ ＝ ，∴a2＝8，b2＝2.
∴双曲线方程为 － ＝1.
17．已知 、 是双曲线 的两个焦点，点 在双曲线上且满足 ，求 的面积．
解：∵ 为双曲线 上的一个点且 、 为焦点．∴ ,
∵ ，∴在 中，
∵ ，∴ ，∴
∴
18．已知在平面直角坐标系 中的一个椭圆，它的中心在原点，左焦点为 ,右顶点为 ,设点 .
（1）求该椭圆的标准方程；（2）若 是椭圆上的动点，求线段 中点 的轨迹方程； 18.(1)由已知得椭圆的半长轴a=2,半焦距c= ,则半短轴b=1.
(2)若｜MF1｜-｜MF2｜=-2 时，曲线只表示焦点F1所对应的一支双曲线.
(3)若2 =2c时，动点的轨迹不再是双曲线，而是以F1、F2为端点向外的两条射线.
(4)若2 ＞2c时，动点的轨迹不存在.
2.双曲线的标准方程： - =1( ＞0,b＞0)表示焦点在x轴上的双曲线；
- =1( ＞0,b＞0)表示焦点在y轴上的双曲线.
解:由已知条件得椭圆的焦点在x轴上,其中c= ,a=3,从而b=1,所以其标准方程是:
.联立方程组 ,消去y得, .
设A( ),B( ),AB线段的中点为M( )那么: , =
所以 = +2= .也就是说线段AB中点坐标为(- , ).
A． B． C． D．
11．已知P是双曲线 上的一点， 是双曲线的两个焦点，且 则 的面积为（）D
A． B． C． D．
12．双曲线 的实轴长等于，虚轴长等于，顶点坐标为，焦点坐标为，渐近线方程为，离心率等于．
13．直线 与双曲线 相交于 两点，则 =________ 12．
14．过点 且被点M平分的双曲线 的弦所在直线方程为。
解析：由题意，设双曲线方程为 － ＝1(a>0)，则c＝ a，渐近线y＝x，
∴ ＝ ，∴a2＝2.∴双曲线方程为x2－y2＝2.答案：B
例2、根据以下条件，分别求出双曲线的标准方程．
(1)过点 ，离心率 ．
(2) 、 是双曲线的左、右焦点， 是双曲线上一点，双曲线离心率为 且 ， ．
解：(1)依题意，双曲线的实轴可能在 轴上，也可能在 轴上，分别讨论如下．
如双曲线的实轴在 轴上，设 为所求．由 ，得 ． ①
由点 在双曲线上，得 ．②，又 ，由①、②得 ， ． ③
若双曲线的实轴在 轴上，设 为所求．同理有 ， ， ．解之，得 （不合，舍去）．
∴双曲线的实轴只能在 轴上，所求双曲线方程为 ．
(2)设双曲线方程为 ，因 ，而 ，由双曲线的定义，得 ．由余弦，得 ，
双曲线的标准方程及其几何性质
一、双曲线的标准方程及其几何性质.
1．双曲线的定义：平面内与两定点F1、F2的距离差的绝对值是常数(大于零，小于｜F1F2｜)的点的轨迹叫双曲线。两定点F1、F2是焦点，两焦点间的距离｜F1F2｜是焦距，用2c表示，常数用2 表示。
(1)若｜MF1｜-｜MF2｜=2 时，曲线只表示焦点F2所对应的一支双曲线.
(3)直线 被双曲线截得的弦长 或 ，其中 是直线 的斜率， ， 是直线与双曲线的两个交点 ， 的坐标，且
， ， 来自百度文库由韦达定理整体给出．
二、例题选讲
例1、中心在原点，焦点在x轴上的双曲线的实轴与虚轴相等，一个焦点到一条渐近线的距离为 ，则双曲线方程为()
A．x2－y2＝1B．x2－y2＝2C．x2－y2＝ D．x2－y2＝
∴ ．又 ，∴ ．
∴ ， ，得 ， ．∴所求双曲线的方程为 ．
三、巩固测试题
1．到两定点 、 的距离之差的绝对值等于6的点 的轨迹（D）
A．椭圆B．线段C．双曲线D．两条射线
2．方程 表示双曲线，则 的取值范围是（D）
A． B． C． D． 或
3．双曲线 的焦距是（C）
A．4B． C．8D．与 有关
7．以椭圆 的焦点为顶点，椭圆的顶点为焦点的曲线的方程为（）A
A． B． C． D．
8．过点P(4,4)且与双曲线 － ＝1只有一个交点的直线有()
A．1条B．2条C．3条D．4条
解析：如图所示，满足条件的直线共有3条．
9．经过两点 的双曲线的方程为（）C
A． B． C． D．
10．已知双曲线的离心率为 ，焦点是 ， ，则双曲线方程为（）
4.直线与双曲线的位置关系，可以通过讨论直线方程与双曲线方程组成的方程组的实数解的个数来确定。
（1）通常消去方程组中变量 (或 )得到关于变量 (或 )的一元二次方程，考虑该一元二次方程的判别式 ，则有： 直线与双曲线相交于两个点； 直线与双曲线相交于一个点； 直线与双曲线无交点．
（2）若得到关于 (或 )的一元二次方程，则直线与双曲线相交于一个点，此时直线平行于双曲线的一条渐近线．
判定焦点在哪条坐标轴上，不像椭圆似的比较x2、y2的分母的大小，而是x2、y2的系数的符号，焦点在系数正的那条轴上.
3.双曲线的简单几何性质：
标准方程
（ ）
（ ）
图象
关系
围
顶点
对称性
关于 轴成轴对称、关于原点成中心对称
渐近线
离心率
焦点
等轴双曲线：x2-y2＝ 2( ≠0),它的渐近线方程为y＝±x,离心率e＝ .
又椭圆的焦点在x轴上,∴椭圆的标准方程为
(2)设线段PA的中点为M(x,y) ,点P的坐标是(x0,y0),
由
x=
得
x0=2x－1
y=
y0=2y－
由,点P在椭圆上,得 ,
∴线段PA中点M的轨迹方程是 .
19．已知椭圆C的焦点F1（－ ，0）和F2（ ，0），长轴长6，设直线 交椭圆C于A、B两点，求线段AB的中点坐标。
4．若 ，双曲线 与双曲线 有（D）
A．相同的虚轴B．相同的实轴C．相同的渐近线D．相同的焦点
5．过双曲线 左焦点F1的弦AB长为6，则 （F2为右焦点）的周长是（A）
A．28 B．22C．14D．12
6．双曲线 － ＝1的焦点到渐近线的距离为()
A．2 B．2C. D．1
解析：双曲线 － ＝1的焦点为(4,0)或(－4,0)．渐近线方程为y＝ x或y＝－ x.由双曲线的对称性可知，任一焦点到任一渐近线的距离相等，d＝ ＝2 .