四川省广安市广安友谊中学2018—2019学年九年级下学期第一次月考数学试题

四川省广安市广安友谊中学2018—2019学年九年级下学期第
一次月考数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．-2的倒数是（）
A．-2 B．
1
2
-C．1
2
D．2
2．下列图形中，是轴对称图形，但不是中心对称图形的是（）A．B．C．D．3．下列计算正确的是（）
A．2a+3b=5ab B6
=±C．a3b÷2ab=1
2
a2D．（2ab2）3=6a3b5
4．中国幅员辽阔，陆地面积约为960万平方公里，“960万”用科学记数法表示为（）A．0.96×107B．9.6×106C．96×105D．9.6×102
5．如图，直线m∥n，直角三角板ABC的顶点A在直线m上，则∠α的余角等于（）
A．19°B．38°C．42°D．52°
6．某中学对该校九年级45名女学生进行了一次立定跳远测试，成绩如表：
跳远成绩160 170 180 190 200 210
人数 3 9 6 9 15 3
这些立定跳远成绩的中位数和众数分别是（）
A．9，9 B．15，9 C．190，200 D．185，200 7．由一些大小相同的小正方体搭成的几何体的俯视图如图所示，其中正方形中的数字表示该位置上的小正方体的个数，那么该几何体的主视图是（）
A ．
B ．
C ．
D ．
8．如图，EF 过▱ABCD 对角线的交点O ，交AD 于E ，交BC 于F ，若▱ABCD 的周长为18， 1.5OE ，则四边形EFCD 的周长为(
)
A ．14
B ．13
C ．12
D ．10
9．已知二次函数y =ax 2+bx +c 的图象如图所示，对称轴为直线x =1，则下列结论①abc ＞0②方程ax 2+bx +c =0的两个根是x 1=﹣1，x 2=3③4a +2b +c ＜0④当x ＞0时，y 随x 的增大而减小正确的是（ ）．
A ．①③④
B ．②④
C ．①②③
D ．②
10．如图，在矩形AOBC 中，O 为坐标原点，OA 、OB 分别在x 轴、y 轴上，点B 的坐
标为(0，)，∠ABO ＝30°，将△ABC 沿AB 所在直线对折后，点C 落在点D 处，则点D 的坐标为( )
A ．(
32B ．(2C ．3
2) D ．(
32，3
11．如图，过点A （2，0）作直线l
：3
y x =
的垂线，
垂足为点A 1，过点A 1作A 1A 2⊥x 轴，垂足为点A 2，过点A 2作A 2A 3⊥l ，垂足为点A 3，…，这样依次下去，得到一组线段：AA 1，A 1A 2，A 2A 3，…，则线段A 2016A 2107的长为（ ）
A
．2015
2⎛
⎝⎭
B
．2016
2⎛
⎝⎭
C
．2017
2⎛⎫
⎪ ⎪⎝⎭
D
．2018
2⎛⎫
⎪ ⎪⎝⎭
二、填空题
12．在实数范围内分解因式：4a 9-=__． 13．在函数y
=
1
3
x +-x 的取值范围是__． 14．已知x 1，x 2是方程x 2-3x-1=0的两根，则
12
11x x +=______． 15．如图，AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB 于点E ，⊙O
cm ，弦CD 的长为3cm ，则图中阴影部分面积是__．
三、解答题
16．若关于x 、
y 的二元一次方程组21
33
x y m x y -=+⎧⎨+=⎩的解满足x +y ＞0，求m 的取值范围．
17
-2
1-2⎛⎫ ⎪⎝⎭
﹣2cos 60°﹣（π﹣2017）0+|1
． 18．先化简，再求值：
2
11(1)a a
a a a a
--÷-++，其中，a
1． 19．如图，AD 平分∠BAC ，AD ⊥BD ，垂足为点D ，DE ∥AC ． 求证：△BDE 是等腰三角形．
20．（2017四川省内江市）小明随机调查了若干市民租用共享单车的骑车时间t（单位：分），将获得的数据分成四组，绘制了如下统计图
（A：0＜t≤10，B：10＜t≤20，C：20＜t≤30，D：t＞30），根据图中信息，解答下列问题：
（1）这项被调查的总人数是多少人？
（2）试求表示A组的扇形统计图的圆心角的度数，补全条形统计图；
（3）如果小明想从D组的甲、乙、丙、丁四人中随机选择两人了解平时租用共享单车情况，请用列表或画树状图的方法求出恰好选中甲的概率．
21．已知A（﹣4，2）、B（n，﹣4）两点是一次函数y=kx+b和反比例函数y=m
x
图象
的两个交点．
（1）求一次函数和反比例函数的解析式；（2）求△AOB的面积；
（3）观察图象，直接写出不等式kx+b﹣m
x
＞0的解集．
22．（2017四川省凉山州，第24题，8分）为了推进我州校园篮球运动的发展，2021年
四川省中小学生男子篮球赛于2月在西昌成功举办．在此期间，某体育文化用品商店计划一次性购进篮球和排球共60个，其进价与售价间的关系如下表：
（1）商店用4200元购进这批篮球和排球，求购进篮球和排球各多少个？
（2）设商店所获利润为y （单位：元），购进篮球的个数为x （单位：个），请写出y 与x 之间的函数关系式（不要求写出x 的取值范围）；
（3）若要使商店的进货成本在4300元的限额内，且全部销售完后所获利润不低于1400元，请你列举出商店所有进货方案，并求出最大利润是多少？
23．如图，直立于地面上的电线杆AB ，在阳光下落在水平地面和坡面上的影子分别是
BC 、CD ，测得BC =6米，CD =4米，坡CD 的坡度i =1D 处测得电线杆顶端A 的仰角为30°，试求电线杆的高度（结果保留根号）
24．如图，等腰三角形ABC 中，AC =BC =6，AB =8，以BC 为直径作⊙O 交AB 于点D ，交AC 于点G ，DF ⊥AC ，垂足为F ，交CB 的延长线于点E . （1）求证：直线EF 是⊙O 的切线； （2）求sin ∠E 的值.
25．如图，在平面直角坐标系中，抛物线2y ax bx c =++（a≠0）与y 轴交与点C （0，3），与x 轴交于A 、B 两点，点B 坐标为（4，0），抛物线的对称轴方程为x=1． （1）求抛物线的解析式；
（2）点M从A点出发，在线段AB上以每秒3个单位长度的速度向B点运动，同时点N从B点出发，在线段BC上以每秒1个单位长度的速度向C点运动，其中一个点到达终点时，另一个点也停止运动，设△MBN的面积为S，点M运动时间为t，试求S与t 的函数关系，并求S的最大值；
（3）在点M运动过程中，是否存在某一时刻t，使△MBN为直角三角形？若存在，求出t值；若不存在，请说明理由．
参考答案1．B
【分析】
根据倒数的定义求解.
【详解】
-2的倒数是-1 2
故选B
【点睛】
本题难度较低，主要考查学生对倒数相反数等知识点的掌握
2．A
【解析】
轴对称图形一个图形沿某一直线对折后图形与自身重合的图形；中心对称图形是指一个图形沿某一点旋转180°后图形能与自身重合，只有A图符合题中条件.
故应选A.
3．C
【分析】
根据整式的运算法则以及二次根式的性质即可求出答案．
【详解】
解：A、2a与3b不是同类项，不能合并，故A错误；
B、原式=6，故B错误；
C、正确．
D、原式=8a3b6，故D错误．
故选C．
点睛：本题考查了学生的运算能力，解题的关键是熟练运用运算法则，本题属于基础题型．4．B
【解析】
试题分析：“960万”用科学记数法表示为9.6×106，故选B．
考点：科学记数法—表示较大的数．
5．D
【解析】
试题分析：过C作CD∥直线m，∵m∥n，∴CD∥m∥n，∴∠DCA=∠FAC=52°，∠α=∠DCB，∵∠ACB=90°，∴∠α=90°﹣52°=38°，则∠a的余角是52°．故选D．
考点：平行线的性质；余角和补角．
6．C
【分析】
根据中位数和众数的定义即可解决问题．
【详解】
解：45名女学生的立定跳远测试成绩的中位数是最中间第23个数据190，众数是出现次数最多的数据200；
故选：C．
【点睛】
本题考查了众数和中位数；熟记众数和中位数的定义是解决问题的关键．
7．A
【分析】
由三视图的俯视图,从左到右依次找到最高层数,再由主视图和俯视图之间的关系可知,最高层高度即为主视图高度.
【详解】
解：几何体从左到右的最高层数依次为1,2,3,
所以主视图从左到右的层数应该为1,2,3,
故选A.
【点睛】
本题考查了三视图的简单性质,属于简单题,熟悉三视图的概念,主视图和俯视图之间的关系
是解题关键. 8．C 【解析】 【详解】
∵平行四边形ABCD ，
∴AD ∥BC ，AD =BC ，AO =CO ， ∴∠EAO =∠FCO ， ∵在△AEO 和△CFO 中，
AEO CFO AO CO
AOE COF ∠=∠⎧⎪
=⎨⎪∠=∠⎩
， ∴△AEO ≌△CFO ， ∴AE =CF ，EO =FO =1.5， ∵C 四边形ABCD =18，∴CD +AD =9，
∴C 四边形CDEF =CD +DE +EF +FC =CD +DE +EF +AE =CD +AD +EF =9+3=12. 故选C. 【点睛】
本题关键在于利用三角形全等，解题关键是将四边形CDEF 的周长进行转化. 9．D 【解析】 【分析】
由函数图象可得抛物线开口向下，得到a ＜0，又对称轴在y 轴右侧，可得b ＞0，根据抛物线与y 轴的交点在y 轴正半轴，得到c ＞0，进而得到abc ＜0，结论①错误；由抛物线与x 轴的交点为（3，0）及对称轴为x=1，利用对称性得到抛物线与x 轴另一个交点为（-1，0），进而得到方程ax 2+bx+c=0的两根分别为-1和3，结论②正确；由图像可知，当x=2时，y ＞0，即4a +2b +c ＞0，结论③错误；由抛物线的对称轴为直线x=1，得到对称轴右边y 随x 的增大而减小，对称轴左边y 随x 的增大而增大，故x 大于0小于1时，y 随x 的增大而增大，结论④错误． 【详解】
解：∵抛物线开口向下，∴a ＜0，
∵对称轴在y 轴右侧，∴2b
a
＞0，∴b ＞0， ∵抛物线与y 轴的交点在y 轴正半轴，∴c ＞0， ∴abc ＜0，故①错误；
∵抛物线与x 轴的一个交点为（3，0），又对称轴为直线x=1， ∴抛物线与x 轴的另一个交点为（-1，0），
∴方程ax 2+bx+c=0的两根是x 1=-1，x 2=3，故②正确； ∵x=2时， y>0，
∴4a +2b +c ＞0，故③错误；
∵由函数图象可得：当0＜x ＜1时，y 随x 的增大而增大； 当x ＞1时，y 随x 的增大而减小，故④错误； 故选：D ． 【点睛】
此题考查了二次函数图象与系数的关系，以及抛物线与x 轴的交点，二次函数y=ax 2+bx+c （a≠0），a 的符号由抛物线的开口方向决定，c 的符号由抛物线与y 轴交点的位置确定，b 的符号由a 及对称轴的位置决定，抛物线的增减性由对称轴与开口方向共同决定，当抛物线开口向上时，对称轴左边y 随x 的增大而减小，对称轴右边y 随x 的增大而增大；当抛物线开口向下时，对称轴左边y 随x 的增大而增大，对称轴右边y 随x 的增大而减小．此外抛物线解析式中y=0得到一元二次方程的解即为抛物线与x 轴交点的横坐标． 10．A 【解析】
解：∵四边形AOBC 是矩形，∠ABO =30°，点B 的坐标为（0，），∴AC =OB =
CAB =30°
，∴BC =AC •tan30°=．∵将△ABC 沿AB 所在直线对折后，
点C 落在点D 处，∴∠BAD =30°
，AD =．过点D 作DM ⊥x 轴于点
M ，∵∠CAB =∠BAD =30°，∴∠DAM =30°，∴DM =
12AD ，∴AM =×cos30°=
92，∴MO =92﹣3=32，∴点D 的坐标为（32）．故选A ．
11．B
【解析】
【分析】
根据题意可分别写出线段AA 1，A 1A 2，A 2A 3的长度，继而发现规律得到A n A n+1的长度，令n=2016，即可求出线段A 2016A 2017的长
【详解】
解：由题可知，直线l ：3y x =
与x 轴的夹角为30°， ∴AA 1=2sin30°
=1 ∵∠AOA 1=30°，∴∠A 1AO=60°，∴∠AA 1A 2=30°
∴A 1A 2=AA 1cos30°
同理，A 2A 3=A 1A 2cos30°
=AA 1cos 230° A 3A 4＝A 2A 3cos30°＝AA 1cos 330°
…
∴A n A n+1＝AA 1cos n 30°
当n=2016时，201620162017
A A =⎝⎭ 故选
B ．
点睛:本题主要考查三角函数的知识点，熟练特殊角度三角函数的求值是解答本题的关键
12．()(23a a a + 【分析】
按照平方差公式进行因式分解即可．
【详解】
解：422a 9(3)(3)a a -=+-=()(23a a a +
故答案为：(
)(
23a a a ++．
【点睛】 本题考查平方差公式分解因式，掌握平方差公式的结构22()()a b a b a b -=+-是本题的解
题关键．
13．2x ≥且3x ≠
【分析】
根据分式和二次根式有意义的条件列不等式求解．
【详解】
解：由题意可得：3020x x -≠⎧⎨-≥⎩
解得：2x ≥且3x ≠ 故答案为：2x ≥且3x ≠．
【点睛】
本题考查分式及二次根式成立的条件，掌握分式的分母不能为零，二次根式被开方数为非负数是本题的解题关键．
14．﹣3．
【解析】
试题解析：∵1x ，2x 是方程2
310x x --=的两根，∴123x x +=、121x x =-，∴1211x x +=1212x x x x +=31
- =﹣3．故答案为﹣3． 15
．-4
π 【分析】
根据垂径定理得到CE=32cm ，根据勾股定理得到
，利用扇形和三角形的面积公式，求得阴影部分面积．
【详解】
解：∵弦CD ⊥AB 于点E ，
∴CE=32
cm ， ∵OC=3cm ，
∴OE=2
cm ， ∴∠OCE=30°，
∴∠COD=120°，
∴图中阴影部分面积=212013360224
ππ⨯-⨯⨯=-
故答案为：π． 【点睛】
本题主要考查了垂径定理，勾股定理，直角三角形的性质和扇形面积公式，数形结合是解答此题的关键．
16．m ＞﹣2
【分析】
两方程相加可得x +y ＝m +2，根据题意得出关于m 的方程，解之可得．
【详解】
解：将两个方程相加即可得2x +2y ＝2m +4，
则x +y ＝m +2，
根据题意，得：m +2＞0，
解得m ＞﹣2．
【点睛】
本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
17．5
【分析】
先分别化简立方根，负整数指数幂，锐角三角形函数值，零整数指数幂及绝对值，然后进行有理数的混合运算．
【详解】
-21-2⎛⎫ ⎪⎝⎭
﹣2cos 60°﹣（π﹣2017）0+|1| =1242112+-⨯
-+ =6-1-1+1
=5
【点睛】
本题考查立方根，负整数指数幂，锐角三角形函数值，零整数指数幂及绝对值，掌握运算法则正确计算是解题关键．
18．21(1)a +，12
． 【解析】
【分析】
首先化简分式，然后把a 代入化简后的算式，求出算式的值即可．
【详解】
解：原式=1(1)(1)(1)a a a a a a --+÷+ =1(1)(1)(1)a a a a a a -⋅+-+=2
1(1)a +
当a 1时，原式
=12
． 【点睛】
此题主要考查了分式的化简求值问题，要熟练掌握，在化简的过程中要注意运算顺序和分式的化简．化简的最后结果分子、分母要进行约分，注意运算的结果要化成最简分式或整式． 19．证明见解析．
【解析】
试题分析：直接利用平行线的性质得出∠1=∠3，进而利用角平分线的定义结合互余的性质得出∠B=∠BDE ，即可得出答案．
试题解析：∵DE ∥AC ，∴∠1=∠3，∵AD 平分∠BAC ，∴∠1=∠2，∴∠2=∠3，∵AD ⊥BD ，
∴∠2+∠B=90°，∠3+∠BDE=90°，∴∠B=∠BDE，∴△BDE是等腰三角形．
考点：等腰三角形的判定；平行线的性质．
20．（1）50；（2）108°；（3）1
2
．
【解析】
分析：（1）根据B组的人数和所占的百分比，即可求出这次被调查的总人数，从而补全统计图；用360乘以A组所占的百分比，求出A组的扇形圆心角的度数，再用总人数减去A、B、D组的人数，求出C组的人数；（2）画出树状图，由概率公式即可得出答案．
本题解析：解：(1)调查的总人数是：19÷38%＝50(人)．C组的人数有50－15－19－4＝12(人)，补全条形图如图所示．
(2)画树状图如下．共有12种等可能的结果，恰好选中甲的结果有6种，∴P(恰好选中甲)＝61
122
．
点睛：本题考查了列表法与树状图、条形统计图的综合运用．熟练掌握画树状图法，读懂统计图，从统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．
21．（1）反比例函数解析式为y=﹣8
x
，一次函数的解析式为y=﹣x﹣2；（2）6；（3）x＜﹣
4或0＜x＜2．
【解析】
试题分析：（1）先把点A的坐标代入反比例函数解析式，即可得到m=﹣8，再把点B的坐标代入反比例函数解析式，即可求出n=2，然后利用待定系数法确定一次函数的解析式；（2）先求出直线y=﹣x﹣2与x轴交点C的坐标，然后利用S△AOB=S△AOC+S△BOC进行计算；（3）观察函数图象得到当x＜﹣4或0＜x＜2时，一次函数的图象在反比例函数图象上方，
据此可得不等式的解集．
试题解析：（1）把A（﹣4，2）代入，得m=2×（﹣4）=﹣8，所以反比例函数解析式为，把B（n，﹣4）代入，得﹣4n=﹣8，解得n=2，把A（﹣4，2）和B （2，﹣4）代入y=kx+b，得：，解得：，所以一次函数的解析式为y=﹣x﹣2；
（2）y=﹣x﹣2中，令y=0，则x=﹣2，即直线y=﹣x﹣2与x轴交于点C（﹣2，0），
∴S△AOB=S△AOC+S△BOC=×2×2+×2×4=6；
（3）由图可得，不等式的解集为：x＜﹣4或0＜x＜2．
考点：反比例函数与一次函数的交点问题；待定系数法求一次函数解析式．
22．（1）购进篮球40个，排球20个；（2）y=5x+1200；（3）共有四种方案，方案1：购进篮球40个，排球20个；方案2：购进篮球41个，排球19个；方案3：购进篮球42个，排球18个；方案4：购进篮球43个，排球17个．最大利润为1415元．
【解析】
试题分析：（1）设购进篮球m个，排球n个，根据购进篮球和排球共60个且共需4200元，即可得出关于m、n的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）设商店所获利润为y元，购进篮球x个，则购进排球（60﹣x）个，根据总利润=单个利润×购进数量，即可得出y与x之间的函数关系式；
（3）设购进篮球x个，则购进排球（60﹣x）个，根据进货成本在4300元的限额内且全部销售完后所获利润不低于1400元，即可得出关于x的一元一次不等式组，解之即可得出x 的取值范围，取其整数即可得出各购进方案，再结合（2）的结论利用一次函数的性质即可解决最值问题．
试题解析：解：（1）设购进篮球m个，排球n个，根据题意得：
60 80504200
m n
m n
+=
⎧
⎨
+=
⎩
，解
得：
40
20
m
n
=
⎧
⎨
=
⎩
．
答：购进篮球40个，排球20个．
（2）设商店所获利润为y元，购进篮球x个，则购进排球（60﹣x）个，根据题意得：y=（105﹣80）x+（70﹣50）（60﹣x）=5x+1200，∴y与x之间的函数关系式为：
y=5x+1200．
（3）设购进篮球x个，则购进排球（60﹣x）个，根据题意得：512001400 8050(60)4300 x
x x
+≥
⎧
⎨
+-≤
⎩
，
解得：40≤x≤130
3
．
∵x取整数，∴x=40，41，42，43，共有四种方案，方案1：购进篮球40个，排球20个；方案2：购进篮球41个，排球19个；方案3：购进篮球42个，排球18个；方案4：购进篮球43个，排球17个．
∵在y=5x+1200中，k=5＞0，∴y随x的增大而增大，∴当x=43时，可获得最大利润，最大利润为5×43+1200=1415元．
点睛：本题考查了二元一次方程组的应用、一次函数的应用以及一元一次不等式组的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，列出二元一次方程组；（2）根据数量关系，找出y与x 之间的函数关系式；（3）根据一次函数的性质解决最值问题．
23．4)米.
【分析】
延长AD交BC的延长线于E，作DF⊥BE于F，由已知可求∠DCF=30°，可求DF，利用勾股定理可求CF，由题意得∠E=30°，可求 EF，BE，利用AB=BE×tanE即可计算得解．
【详解】
解：延长AD交BC的延长线于E，作DF⊥BE于F，
∵∠BCD=150°，则∠DCF=30°，又CD=4，
∴DF=2，=
由题意得∠E=30°，则 EF=tan DF E
=∠
∴
∴AB=BE×
tanE=（4)米． 【点睛】
本题考查的是解直角三角形的应用-仰角俯角问题，掌握仰角俯角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键，考查了数形结合思想，属于中档题．
24．(1）证明见解析；（2）
19
. 【分析】
（1）先连结OD ，由OD=OB ，得出∠CBA =∠ODB ，由于AC=BC ，得出∠CBA =∠A ．所以∠ODB =∠A ，得出DO ∥AC ，可证EF 是⊙O 的切线；
（2）连接BG ，可得BG ∥EF ，那么∠E=∠GBC ，设CG =x ，在Rt △BGA 中和Rt △BGC 中，利用勾股定理都表示出BG 2，求得CG 的值，CG ：BC 即为sinE 的值．
【详解】
证明：(1）如图，连结OD ，则OD =OB
∴∠CBA=∠ODB
∵AC=BC
∴∠CBA=∠A
∴∠ODB=∠A
∵OD ∥AC ，∴∠ODE=∠CFE
∵DF ⊥AC 于F ，∴∠CFE=90
∴∠ODE=90
∴OD ⊥EF
∴EF 是⊙O 的切线
（2）连结BG ，∵BC 是直径
∴∠BGC=90.=∠CFE
∴BG ∥EF
∴∠GBC=∠E
设CG=x ，则AG=AC-CG=6-x
在Rt △BGA 中，222228(6)BG AB AG x =-=--
在Rt △BGC 中，222226BG BC CG x =-=-
∴22228(6)6x x --=- 解得23x = 即23
CG = 在Rt △BGC 中，1sin 9GC GBC BC ∠=
= ∴sin ∠E 19
=
【点睛】
本题考查了切线的判定、等腰三角形的性质、平行线的判定和性质及勾股定理的应用；把所求角进行转移是基本思路，求得CG 的长是解决本题的难点．
25．（1）233384
y x x =-++；（2）S=299105t t -+，运动1秒使△PBQ 的面积最大，最大面积是910
；（3）t=2417或t=3019． 【分析】
（1）把点A 、B 、C 的坐标分别代入抛物线解析式，列出关于系数a 、b 、c 的解析式，通过
解方程组求得它们的值；
（2）设运动时间为t 秒．利用三角形的面积公式列出S △MBN 与t 的函数关系式．利用二次函数的图象性质进行解答；
（3）根据余弦函数，可得关于t 的方程，解方程，可得答案．
【详解】
（1）∵点B 坐标为（4，0），抛物线的对称轴方程为x=1， ∴A （﹣2，0），把点A （﹣2，0）、B （4，0）、点C （0，3），
分别代入2y ax bx c =++（a≠0），得：423016430a b a b -+=⎧⎨++=⎩，解得：38343a b c ⎧=-⎪⎪⎪=⎨⎪=⎪⎪⎩
，所以该抛物线的解析式为：233384
y x x =-++； （2）设运动时间为t 秒，则AM=3t ，BN=t ，∴MB=6﹣3t ． 由题意得，点C 的坐标为（0，3）．在Rt △BOC 中，
． 如图1，过点N 作NH ⊥AB 于点H ，
∴NH ∥CO ，
∴△BHN ∽△BOC ， ∴
HN BN OC BC =，即35
HN t =， ∴HN=35
t ， ∴S △MBN =12MB•HN=12（6﹣3t ）•35
t ， 即S=229999(1)1051010t t t -+=--+， 当△PBQ 存在时，0＜t ＜2，
∴当t=1时，S △PBQ 最大=910
． 答：运动1秒使△PBQ 的面积最大，最大面积是910；
（3）如图2，在Rt△OBC中，cos∠B=
4
5 OB
BC
=．
设运动时间为t秒，则AM=3t，BN=t，∴MB=6﹣3t．
①当∠MNB=90°时，cos∠B=
4
5
BN
MB
=，即
4
635
t
t
=
-
，化简，得17t=24，解得t=
24
17
；
②当∠BMN=90°时，cos∠B=634
5
t
t
-
=，化简，得19t=30，解得t=
30
19
．
综上所述：t=24
17
或t=
30
19
时，△MBN为直角三角形．
考点：二次函数综合题；最值问题；二次函数的最值；动点型；存在型；分类讨论；压轴题．。