全品作业本WORD版练习题----第21章--答案

第二十一章一元二次方程
21．1 一元二次方程
教师详答
1．A [解析] ①中含两个未知数，根据一元二次方程的定义，知其不是一元二次方程；②不是整式方程，故不是一元二次方程；③符合条件，是一元二次方程；④中最高次项的次数是3，故不是一元二次方程；⑤x2－6x＝(x＋1)(x－1)，化简后－6x＋1＝0，不是一元二次方程．所以其中是一元二次方程的共有1个．
2．[全品导学号：82642000]D [解析] 当a－2≠0，即a≠2时，方程为一元二次方程．故选D.
3．解：(1)移项，可得一元二次方程的一般形式为4x2＋5x－81＝0.
其中二次项系数为4，一次项系数为5，常数项为－81.
(2)移项，可得一元二次方程的一般形式为2x2－4x＋5＝0.
其中二次项系数为2，一次项系数为－4，常数项为5.
(3)去括号，可得一元二次方程的一般形式为4x2＋12x＝0.
其中二次项系数为4，一次项系数为12，常数项为0.
(4)去括号，可得一元二次方程的一般形式为x2－25＝0.
其中二次项系数为1，一次项系数为0，常数项为－25.
4．D [解析] 根据一元二次方程的解的概念，将A，B，C，D选项中未知数的值分别代入原方程左右两边，可以发现选项D中未知数的值可以使方程左右两边的值相等，故选项D正确．5．A [解析] 把x＝2代入方程x2－2mx＋4＝0，得4－4m＋4＝0，
解得m＝2.故选A.
6．[全品导学号：82642001]C [解析] 剩余空地是一个矩形，它的两条邻边长分别为(x－1)m和(x－2)m，根据矩形面积等于长乘宽可列出方程(x－1)(x－2)＝18.
7.1
2
x(x－1)＝30
1
2
x2－
1
2
x－30＝0或x2－x－60＝0
8．[全品导学号：82642002]C [解析] 根据一元二次方程的定义可知，|m－1|＝2，m－1＝±2，解得m＝3或－1，而当m＝3时，m－3＝0，不符合题意，舍去．故m ＝－1.
9．－3 [解析] 由2x－4＝0，解得x＝2.把x＝2代入方程x2＋mx＋2＝0，得4＋2m＋2＝0，解得m＝－3.
10．x2－25x＋100＝0 [解析] 设AB＝x米，根据题意，得x(100－4x)＝400，整理，得x2－25x＋100＝0.
11．[全品导学号：82642003]解：把x＝m代入方程x2＋x－1＝0，得m2＋m－1＝0，即m2＋m＝1，
则原式＝m2＋2m＋1＋m2－1＝2(m2＋m)＝2.
12．[全品导学号：82642004]解：(1)若方程为一元一次方程，则(k＋3)(k－1)＝0且k－1≠0，∴k＝－3.即当k＝－3时，原方程是一元一次方程．
(2)若方程为一元二次方程，则(k＋3)(k－1)≠0，∴k≠－3且k≠1.即当k≠－3且k≠1时，原方程是一元二次方程．
第二十一章一元二次方程
21.2 解一元二次方程
21．2.1 配方法第1课时用直接开平方法解一元二次方程
教师详答
1．(1)两个不相等(2)两个相等(3)无实数根
2．16x2＝49 x2＝
49
16
x＝±
7
4
3．解：(1)x1＝
5
3
，x2＝－
5
3
.
(2)移项，得x2＝144. 直接开平方，得x＝±12，即x1＝12，x2＝－12.
4．4(x－2)2＝25 (x－2)2＝
25
4
x－2＝±
5
2
9
2
－
1
2
5．[全品导学号：82642005]B [解析] (x＋1)2－m＝0，(x＋1)2＝m.∵关于x的一元二次方程(x＋1)2－m＝0有两个实数根，∴m≥0.故选B.
6．x＋6＝－4
7．[全品导学号：82642006]
解：(1)∵(x－3)2－9＝0，∴(x－3)2＝9，∴x－3＝±3，∴x1＝6，x2＝0.
(2)∵(2t－1)2＝16，∴2t－1＝±4，即2t－1＝4或2t－1＝－4，解得t1＝
5
2
，t2＝－
3
2
.
8．[全品导学号：82642007]4 [解析] ∵ax2＝b(ab>0)，∴x2＝
b
a
(ab＞0)，∴x＝±
b
a
，∴方程的两个根互为相反数，∴m＋1＋2m－4＝0，解得m＝1，
∴关于x的一元二次方程ax2＝b(ab＞0)的两个根分别是2，－2，
∴
b
a
＝2，∴
b
a
＝4.故答案为4.
9．[全品导学号：82642008]3 [解析] 由(x2＋y2－1)2＝4，直接开平方，得x2＋y2－1＝±2，解得x2＋y2＝3或x2＋y2＝－1.
∵x2≥0，y2≥0，∴x2＋y2≥0，∴x2＋y2＝3.
10．[全品导学号：82642009]解：(1)3(x＋1)2＝
1
3
，
方程左右两边同除以3，得(x＋1)2＝
1
9
，直接开平方，得x＋1＝±
1
3
，解得x1＝－
2
3
，x2＝－
4
3
.
(2)4(x＋3)2＝25(x－2)2，直接开平方，得2(x＋3)＝±5(x－2)，解得：x1＝
16
3
，x2＝
4
7
.
11．[全品导学号：82642010]解：∵a⊕b＝a2－b2，
∴x⊕(3⊕4)＝x⊕(32－42)＝x⊕(－7)＝x2－(－7)2.
∵x⊕(3⊕4)＝15，∴x2－(－7)2＝15，∴x2＝64，∴x＝±8.
第二十一章一元二次方程
21.2 解一元二次方程
21．2.1 配方法 第2课时 用配方法解一元二次方程
教师详答
1．x 2
＋10x ＝－16 x 2
＋10x －16 (x ＋5)2
＝9 x ＋5＝±3 x 1＝－8，x 2＝－2 2．B
3．A [解析] 移项，得x 2＋2x ＝4. 配方，得x 2＋2x ＋1＝4＋1， 即(x ＋1)2
＝5， 则m ＝1，n ＝5.故选A. 4．(1)100 10 (2)8
[解析] (2)∵(x －3)2＝x 2
－6x ＋9＝1，∴a ＝8.
5．[全品导学号：82642011]解：(1)移项，得x 2－6x ＝4.配方，得(x －3)2
＝13. 直接开平方，得x －3＝±13. ∴x 1＝3＋13，x 2＝3－13.
(2)移项，得x 2＋2x ＝99. 配方，得x 2＋2x ＋1＝99＋1， 即(x ＋1)2
＝100. 直接开平方，得x ＋1＝±10， ∴x 1＝9，x 2＝－11.
(3)配方，得(x －2)2
＝5. 直接开平方，得x －2＝± 5. ∴x 1＝2＋5，x 2＝2－ 5.
6．C [解析] 移项，得2x 2－x ＝6.二次项系数化为1，得x 2－12x ＝3.配方，得x 2
－12x ＋⎝ ⎛⎭
⎪
⎫142＝3＋⎝ ⎛⎭⎪⎫142，即⎝ ⎛⎭
⎪⎫x －142＝3116.观察上面的步骤可知，开始出现错误的步骤是③.故选C.
7．C [解析] x 2－2x ＝－12，x 2－2x ＋1＝－12＋1，所以(x －1)2＝12
，即2(x －1)2
＝1.
8．[全品导学号：82642012]B [解析] ∵4x 2－(m －2)x ＋1＝(2x)2－(m －2)x ＋12
，∴－(m －2)x ＝±2³2x ³1，∴m －2＝4或m －2＝－4，解得m ＝6或m ＝－2.
9．解：(1)二次项系数化为1，
得x 2
＋12x －12
＝0.
移项、配方，得x
2＋12x ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫142＝12＋⎝ ⎛⎭
⎪⎫142，
即⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋142＝916
，∴x ＋14＝±34.
解得x 1＝1
2
，x 2＝－1.
(2)二次项系数化为1，
得x 2
－4x ＋92
＝0.
移项、配方，得x 2
－4x ＋4＝－92
＋4，
即(x －2)2
＝－12
.
∴原方程无实数根．
(3)二次项系数化为1，得t 2－2t ＝14. 配方，得t 2
－2t ＋1＝14
＋1，
即(t －1)2
＝54. ∴t －1＝±52. 解得t 1＝1＋52，t 2＝1－52
.
10．[全品导学号：82642013]B
11．B [解析] 在二次项系数为1的一元二次方程中，配方的方法：在方程两边同时加上
一次项系数一半的平方．故方程x 2
＋6x ＝－3配方时，方程两边应同时加上⎝ ⎛⎭
⎪⎫622，即加上9.故选
B.
12．x 1＝x 2＝－5 [解析] 设x ＋2＝y ，则原方程变形为y 2
＋6y ＋9＝0，
∴(y ＋3)2
＝0，∴y 1＝y 2＝－3，∴x ＋2＝－3，∴x 1＝x 2＝－5.
13．[全品导学号：82642014]10或－4 [解析] x 2＋2(m －3)x ＋49＝(x ±7)2
，由恒等式中对应项相同可得2(m －3)＝±14，即m ＝10或m ＝－4.
14．[全品导学号：82642015]1 [解析] 由(x ＋m)2＝3，得x 2＋2mx ＋m 2
－3＝0，∴2m ＝4，m 2
－3＝n ，
∴m ＝2，n ＝1，∴(m －n)2017
＝1.
15．解：(1)移项并配方，得(1＋x)2
＋2(1＋x)＋1＝4＋1，
即(x ＋2)2
＝5，∴x 1＝5－2，x 2＝－5－2.
(2)移项并配方，得x 2－2 3x ＋(3)2
＝0，
即(x －3)2
＝0. ∴x 1＝x 2＝ 3.
16．[全品导学号：82642016]解：∵x 2－8x ＋17＝(x －4)2
＋1＞0，∴不论x 取何值，这个代数式的值恒大于零．
当(x －4)2
＝0时，此代数式的值最小，即当x ＝4时，这个代数式的值最小，最小值是1.
17．[全品导学号：826420017]解：(1)由a 2＋b 2＋c 2
－6a －8b －10c ＋50＝0，
得(a －3)2＋(b －4)2＋(c －5)2
＝0.
∵(a －3)2≥0，(b －4)2≥0，(c －5)2
≥0， ∴a －3＝0，b －4＝0，c －5＝0， ∴a ＝3，b ＝4，c ＝5.
(2)∵32＋42＝52，即a 2＋b 2＝c 2
，
∴△ABC 是以c 为斜边的直角三角形．
第二十一章 一元二次方程
21.2 解一元二次方程 21.2.2 公式法
教师详答
1．[全品导学号：82642018]B 2.B 3．16－4m <4 ＝4 >4
4．a ＞－18
[解析] ∵关于x 的方程2x 2
＋x －a ＝0有两个不相等的实数根，
∴Δ＝12
－4³2³(－a)＝1＋8a ＞0，解得a ＞－18.
5．解：(1)∵a ＝1，b ＝－3，c ＝－7， ∴b 2
－4ac ＝9－4³1³(－7)＝37＞0， ∴此方程有两个不相等的实数根．
(2)∵a ＝9，b ＝6，c ＝1， ∴b 2
－4ac ＝36－36＝0， ∴此方程有两个相等的实数根．
(3)∵a ＝2，b ＝－5，c ＝4， ∴b 2
－4ac ＝25－4³2³4＝－7＜0， ∴此方程没有实数根．
6．3x 2
－5x －2＝0 3 －5 －2 49 5±492³3 5±76 x 1＝2，x 2＝－13
7．C [解析] 原方程可化为5x 2
－6x ＋8＝0，∴a ＝5，b ＝－6，c ＝8. 8．B
9．41 7＋414 7－41
4
10．[全品导学号：82642019]
解：(1)∵a ＝1，b ＝1，c ＝－2， ∴b 2
－4ac ＝1－4³1³(－2)＝9>0，
∴x ＝－b ±b 2
－4ac 2a ＝－1±92＝－1±32
， ∴x 1＝1，x 2＝－2.
(2)∵a ＝1，b ＝－4，c ＝2， ∴b 2－4ac ＝(－4)2
－4³1³2＝8，
∴x ＝4±8
2
， ∴x 1＝2＋2，x 2＝2－ 2.
(3)原方程可化为4x 2
－4x －3＝0.
∵a ＝4，b ＝－4，c ＝－3， ∴b 2－4ac ＝(－4)2
－4³4³(－3)＝64>0，
∴x ＝4±642³4＝4±88， ∴x 1＝32，x 2＝－12
.
11．[全品导学号：82642020]B
[解析] ∵(a －c)2＝a 2＋c 2－2ac ＞a 2＋c 2
，
∴ac ＜0.在关于x 的方程ax 2＋bx ＋c ＝0中， b 2
－4ac ≥－4ac ＞0，
∴关于x 的方程ax 2
＋bx ＋c ＝0有两个不相等的实数根． 12．[全品导学号：82642021]B
[解析] ∵关于x 的一元二次方程(k －1)x 2
＋4x ＋1＝0有两个不相等的实数根， ∴⎩
⎪⎨⎪⎧k －1≠0，b 2－4ac ＞0，即⎩⎪⎨⎪⎧k －1≠0，42－4（k －1）＞0，解得k ＜5且k ≠1. 13．6＋ 5 [解析] 由方程x 2－12x ＋31＝0得a ＝1，b ＝－12，c ＝31，b 2－4ac ＝(－12)
2
－4³1³31＝20，所以x ＝12±20
2＝6±5，所以x 1＝6＋5，x 2＝6－ 5.当x ＝6－5时，2x
＝12－2 5＜20－12＋2 5，不能构成三角形，舍去，故方程x 2
－12x ＋31＝0的根为6＋ 5.
14．解：(1)∵a ＝1，b ＝4，c ＝－1， ∴b 2
－4ac ＝16－4³1³(－1)＝20＞0，
∴x ＝－4±202³1， ∴x 1＝－2＋5，x 2＝－2－ 5.
(2)方程整理，得x 2
－2 5x ＋10＝0，
∵Δ＝(－2 5)2
－4³1³10＝－20<0， ∴此方程无实数根．
(3)方程整理，得x 2
＋4x －2＝0.
∵a ＝1，b ＝4，c ＝－2， ∴b 2
－4ac ＝16＋8＝24，
∴x ＝－4±242³1
， ∴x 1＝－2＋6，x 2＝－2－ 6.
(4)原方程可化为x 2
－9x ＋2＝0.
∵a ＝1，b ＝－9，c ＝2， ∴b 2－4ac ＝(－9)2
－4³1³2＝73>0，
∴x ＝9±732， ∴x 1＝9＋732，x 2＝9－732
.
15．解：(1)当m ＝3时，原方程变为x 2
＋2x ＋3＝0，
∴b 2－4ac ＝22
－4³3＝－8＜0， ∴该方程无实数根．
(2)当m ＝－3时，原方程变为x 2＋2x －3＝0， ∴b 2－4ac ＝22
－4³(－3)＝16＞0，
∴x ＝－b ±b 2
－4ac 2a ＝－2±162
， ∴x 1＝1，x 2＝－3.
16．[全品导学号：82642022]
解：(1)Δ＝4(k －1)2－4(k 2－1)＝4k 2－8k ＋4－4k 2
＋4＝－8k ＋8. ∵原方程有两个不相等的实数根，∴－8k ＋8＞0，解得 k ＜1， 即实数k 的取值范围是 k ＜1.
(2)可能是．假设0是该方程的一个根，则将x ＝0代入该方程，得02 ＋2(k －1)³0＋k 2
－1＝0，
解得k ＝－1或k ＝1(舍去)， 即当k ＝－1时，0是该方程的一个根．
此时，原方程变为 x 2
－4x ＝0， 解得x 1＝0，x 2＝4， ∴该方程的另一个根是4.
17．[全品导学号：82642023]解：(1)证明：∵Δ＝[－(2k ＋1)]2－4(k 2
＋k)＝1>0， ∴该方程有两个不相等的实数根．
(2)∵△ABC 的两边AB ，AC 的长是这个方程的两个实数根，由(1)知，AB ≠AC ，△ABC 的第三边BC 的长为5，且△ABC 是等腰三角形，∴必然有AB ＝5或AC ＝5，即x ＝5是原方程的一个解．
将x ＝5代入方程x 2－(2k ＋1)x ＋k 2＋k ＝0，得25－5(2k ＋1)＋k 2
＋k ＝0， 解得k ＝4或k ＝5.
当k ＝4时，原方程为x 2
－9x ＋20＝0，x 1＝5，x 2＝4，以5，5，4为边长能构成等腰三角形；
当k ＝5时，原方程为x 2
－11x ＋30＝0，x 1＝5，x 2＝6，以5，5，6为边长能构成等腰三角形．
∴k 的值为4或5.
第二十一章 一元二次方程
21.2 解一元二次方程 21.2.3 因式分解法
教师详答
1．2x x －3 0 3
2．D [解析] ∵(x －2)(x ＋3)＝0，∴x －2＝0或x ＋3＝0，即x 1＝2，x 2＝－3.故选D. 3．[全品导学号：82642024]A
4．C [解析] x 2
－2x ＝0，x(x －2)＝0，解得x 1＝0，x 2＝2.
5．2 [解析] ∵3(x －1)(x －m)＝0，∴x －1＝0或x －m ＝0，∴x 1＝1，x 2＝m. ∵关于x 的一元二次方程3(x －1)(x －m)＝0的两个根分别是1和2，∴m ＝2. 6．0
7．x 1＝－2，x 2＝3 [解析] 移项、提取公因式(x ＋2)，得(x ＋2)(x －3)＝0， ∴x 1＝－2，x 2＝3.
8．[全品导学号：82642025]解：(1)移项，得x(x －2)－x ＝0. 提公因式，得x(x －2－1)＝0. 解得x 1＝0，x 2＝3.
(2)(x －3)2
＋4x(x －3)＝0， (x －3)(x －3＋4x)＝0， (x －3)(5x －3)＝0， ∴x －3＝0或5x －3＝0，
∴x 1＝3，x 2＝3
5
.
(3)提公因式，得(x －2)(x ＋1)＝0， ∴x －2＝0或x ＋1＝0， ∴x 1＝2，x 2＝－1.
(4)(2x －1)2
－5＝0，
(2x －1＋5)(2x －1－5)＝0，
∴2x －1＋5＝0或2x －1－5＝0，
∴x 1＝1－52，x 2＝1＋52
.
(5)移项，得16(x －1)2
－225＝0，
即[4(x －1)]2－152
＝0，
∴[4(x －1)＋15][4(x －1)－15]＝0， ∴4x ＋11＝0或4x －19＝0，
∴x 1＝－114，x 2＝19
4
.
9．D
10．[全品导学号：82642026]B [解析] 解x 2
－6x ＋8＝0，得x 1＝4，x 2＝2，
由三角形的三边关系可得：该等腰三角形的腰长是4，底边长是2，所以该三角形的周长是4＋4＋2＝10.
11．解：(1)(x ＋1)2
＝2.25，x ＋1＝±1.5， ∴x 1＝0.5，x 2＝－2.5.
(2)x 2＋2x ＝288，(x ＋1)2
＝289，x ＋1＝±17，∴x 1＝16，x 2＝－18.
(3)3x 2
－5x ＝0，x(3x －5)＝0，x ＝0或3x －5＝0，
∴x 1＝0，x 2＝5 3
3
.
(4)∵a ＝4，b ＝3，c ＝－2，b 2－4ac ＝32
－4³4³(－2)＝41>0，
∴x ＝－3±412³4＝－3±418
，
∴x 1＝－3＋418，x 2＝－3－41
8
.
12．D [解析] 设2x ＋5＝y ，则原方程可化为y 2
－4y ＋3＝0，∴y 1＝1，y 2＝3. 当y ＝1时，即2x ＋5＝1，解得x ＝－2； 当y ＝3时，即2x ＋5＝3，解得x ＝－1， 所以原方程的解为x 1＝－2，x 2＝－1.
13．[全品导学号：82642027]B [解析] 由方程的两根分别为3，－4，知原方程可分解出
x ＋4＝0和x －3＝0这两个一次方程，∴二次三项式x 2
＋px ＋q 可分解为(x －3)(x ＋4)．故选B.
14．x 1＝－1，x 2＝2
15．[全品导学号：82642028]解：(1)原方程变形为(2x －1)2－(x －3)2
＝0. 因式分解，得
[(2x －1)＋(x －3)][(2x －1)－(x －3)]＝0， ∴3x －4＝0或x ＋2＝0，
∴x 1＝4
3
，x 2＝－2.
(2)(x ＋2)2
－8(x ＋2)＋16＝0，
(x ＋2－4)2＝0，(x －2)2
＝0， ∴x 1＝x 2＝2.
(3)3y(y －2)＝4y －8，
3y(y －2)－4(y －2)＝0，(y －2)(3y －4)＝0，
解得y 1＝2，y 2＝4
3
.
16．[全品导学号：82642029]解：(1)∵原方程有两个不相等的实数根，
∴Δ＝(2m ＋1)2－4(m 2
－1)＝4m ＋5＞0，
解得m ＞－5
4
.
(2)答案不唯一，如选择m ＝1，则原方程为x 2
＋3x ＝0，即x(x ＋3)＝0， ∴x 1＝0，x 2＝－3.(m 取其他符合题意的值也可以)
17．[全品导学号：82642030]解：当x －3≥0，即x ≥3时，方程变形得x 2
－x ＝0，即x(x －1)＝0，
解得x 1＝0(不合题意，舍去)，x 2＝1(不含题意，舍去)；
当x －3＜0，即x ＜3时，方程变形得x 2
＋x －6＝0，即(x ＋3)(x －2)＝0， 解得x 1＝－3，x 2＝2.
综上所述，原方程的解为x ＝－3或x ＝2.
专题训练(一) 一元二次方程的解法
教师详答
1．D [解析] 先将常数项移到方程的右边，再把方程两边都加上一次项系数一半的平方，
即x 2－6x ＝4，x 2
－6x ＋9＝4＋9，()x －32
＝4＋9.故选D.
2．B [解析] 整理方程，得x 2－2x ＝8.配方，得x 2－2x ＋1＝8＋1，即(x －1)2
＝9，∴x －1＝±3，∴x 1＝4，x 2＝－2.故选B.
3．x 1＝－2，x 2＝4 [解析] 移项，得(x ＋2)(x －3)－(x ＋2)＝0.提取公因式，得(x ＋2)(x －4)＝0.∴x ＋2＝0或x －4＝0.解得x 1＝－2，x 2＝4.
4．解：(1)方程变形，得x 2
－6x －7＝0， 分解因式，得(x －7)(x ＋1)＝0， 解得x 1＝7，x 2＝－1.
(2)这里a ＝2，b ＝－6，c ＝－1，
∵Δ＝36＋8＝44，∴x ＝6±2 114， 即x 1＝3＋112，x 2＝3－11
2
.
(3)方程变形，得(3x －5)(x ＋2)＝0， 解得x 1＝5
3
，x 2＝－2.
5．A [解析] 令x 2＋y 2
＝a ，
则原方程可化为a 2
－5a －6＝0. 解得a 1＝6，a 2＝－1. ∵x 2≥0，y 2≥0， ∴x 2＋y 2≥0，∴x 2＋y 2
＝6. 故选A.
6．y 2－y －2＝0 [解析] (x 2－5)2－x 2＋3＝0 变形为(x 2－5)2－(x 2
－5)－2＝0.
令x 2－5＝y ， 则原方程变为y 2
－y －2＝0.
7．解：(1)令y ＝x －2， 则原方程可化为y 2
－3y ＋2＝0.
∵a ＝1，b ＝－3，c ＝2， ∴b 2－4ac ＝(－3)2
－4³1³2＝1＞0，
∴y ＝－b ±b 2
－4ac 2a ＝3±12³1＝3±12
， ∴y 1＝2，y 2＝1.
当y ＝2时，x －2＝2，x ＝4； 当y ＝1时，x －2＝1，x ＝3. 即x 1＝4，x 2＝3. (2)令2y －1＝x ，
则原方程可化为6＋5x ＝x 2，即x 2
－5x －6＝0.
∵a ＝1，b ＝－5，c ＝－6， ∴b 2－4ac ＝(－5)2
－4³1³(－6)＝49＞0，
∴x ＝－b ±b 2
－4ac 2a ＝5±492³1＝5±72
， ∴x 1＝6，x 2＝－1.
当x ＝6时，2y －1＝6，y ＝72； 当x ＝－1时，2y －1＝－1，y ＝0. 即y 1＝7
2
，y 2＝0.
8．[全品导学号：82642031]解：设x 2＝y ，则原方程可化为y 2
－y －6＝0， 解得y 1＝3，y 2＝－2.
(1)当y ＝3时，x 2
＝3， 解得x ＝3或x ＝－3；
(2)当y ＝－2时，x 2
＝－2，此方程无实数根．
综合(1)(2)，可得原方程的解为x 1＝3，x 2＝－ 3.
专题训练(二) 一元二次方程根的判别式的作用
教师详答
1．D
2．A [解析] ∵y ＝ k －1x ＋1是关于x 的一次函数， ∴k －1≠0，∴k －1＞0，解得k ＞1.
又∵一元二次方程kx 2
＋2x ＋1＝0根的判别式Δ＝4－4k ，
∴Δ＜0， ∴一元二次方程kx 2
＋2x ＋1＝0无实数根． 故选A.
3．解：∵2☆a 的值小于0， ∴22
a ＋a ＝5a ＜0，解得a ＜0.
在关于x 的方程2x 2－bx ＋a ＝0中， Δ＝(－b)2
－8a ≥－8a ＞0，
∴关于x 的方程2x 2
－bx ＋a ＝0有两个不相等的实数根．
4．[全品导学号：82642032]解：(1)证明：Δ＝(2k ＋1)2
－4³4(k －12
)
＝4k 2＋4k ＋1－16k ＋8＝4k 2－12k ＋9＝(2k －3)2
.
∵(2k －3)2
≥0，即Δ≥0， ∴无论k 取何值，这个方程总有实数根．
(2)当b ＝c 时，Δ＝(2k －3)2＝0，解得k ＝32
，方程化为x 2
－4x ＋4＝0，解得b ＝c ＝2，而
2＋2＝4，故舍去；
当a ＝b ＝4或a ＝c ＝4时，把x ＝4代入方程，得16－4(2k ＋1)＋4(k －12)＝0，解得k ＝5
2
，
方程化为x 2
－6x ＋8＝0，解得x 1＝4，x 2＝2，即a ＝b ＝4，c ＝2或a ＝c ＝4，b ＝2，所以△ABC 的周长为4＋4＋2＝10.
5．D 6.C
7．B [解析] ∵关于x 的一元二次方程x 2
－2x ＋kb ＋1＝0有两个不相等的实数根， ∴Δ＝4－4(kb ＋1)＞0， 解得kb ＜0.
A 项，k ＞0，b ＞0，即kb ＞0，故A 不正确；
B 项，k ＞0，b ＜0，即kb ＜0，故B 正确；
C 项，k ＜0，b ＜0，即kb ＞0，故C 不正确；
D 项，k ＞0，b ＝0，即kb ＝0，故D 不正确． 故选B.
8．解：(1)根据题意，将x ＝1代入方程x 2
＋mx ＋m －2＝0，
得1＋m ＋m －2＝0，解得m ＝1
2
.
(2)∵Δ＝m 2－4³1³(m －2)＝m 2－4m ＋8＝(m －2)2
＋4＞0， ∴不论m 取何实数，此方程都有两个不相等的实数根．
9．解：(1)证明：∵关于x 的一元二次方程 x 2
－(2m ＋1)x ＋m(m ＋1)＝0，
∴Δ＝(2m ＋1)2
－4m(m ＋1)＝1>0， ∴方程总有两个不相等的实数根． (2)∵x ＝0是此方程的一个根，∴把x ＝0代入方程中得到m(m ＋1)＝0， ∴m ＝0或m ＝－1.
∵(2m －1)2＋(3＋m)(3－m)＋7m －5＝4m 2－4m ＋1＋9－m 2＋7m －5＝3m 2
＋3m ＋5.
把m ＝0代入3m 2＋3m ＋5，得3m 2
＋3m ＋5＝5；
把m ＝－1代入3m 2＋3m ＋5，得3m 2
＋3m ＋5＝3³1－3＋5＝5.
第二十一章 一元二次方程
21.2 解一元二次方程
21.2.4 一元二次方程的根与系数的关系
教师详答
1．D 2.D
3．解：设方程的两根分别为x 1，x 2.
(1)∵Δ＝32
－4＝5>0，∴x 1＋x 2＝－3，x 1x 2＝1.
(2)∵Δ＝(－2)2
－4³3³(－1)＝16>0， ∴x 1＋x 2＝23，x 1x 2＝－13
.
(3)∵Δ＝02
－4³(－2)³3＝24>0， ∴x 1＋x 2＝0，x 1x 2＝－32
.
(4)∵Δ＝52
－4³2³0＝25>0， ∴x 1＋x 2＝－52
，x 1x 2＝0.
4．D [解析] ∵x 1，x 2是一元二次方程3x 2
＝6－2x 的两根，∴x 1＋x 2＝－b a ＝－23，x 1x 2＝c a
＝
－2， ∴x 1－x 1x 2＋x 2＝－23－(－2)＝4
3
.
5．A [解析] ∵一元二次方程x 2
－3x －1＝0的两个根分别是x 1，x 2，∴x 1＋x 2＝3，x 1x 2＝
－1， ∴x 12x 2＋x 1x 22
＝x 1x 2(x 1＋x 2)＝－1³3＝－3.故选A.
6．解：(1)x 1＋x 2＝3. (2)x 1x 2＝－1.
(3)x 12＋x 22＝(x 1＋x 2)2－2x 1x 2＝32
－2³(－1)＝11. (4)1x 1＋1x 2＝x 1＋x 2x 1x 2＝3－1
＝－3.
7．C
8．B [解析] 设方程的两根为x 1，x 2，由根与系数的关系，得x 1＋x 2＝2m －1，x 1x 2＝3m ， 则2m －1＝3m ，解得m ＝－1.
9．4 3 [解析] ∵x 1，x 2是关于x 的方程x 2
－4x ＋m ＝0的两个根，根据根与系数的关系，得x 1＋x 2＝4，x 1x 2＝m.∵x 1＋x 2－x 1x 2＝4－m ＝1，∴m ＝3.
10．解：(1)∵关于x 的一元二次方程x 2
＋3x ＋m －1＝0的两个实数根分别为x 1，x 2，
∴Δ≥0，即32
－4(m －1)≥0，解得m ≤134
.
(2)由根与系数的关系，得x 1＋x 2＝－3，x 1x 2＝m －1.
∵2(x 1＋x 2)＋x 1x 2＋10＝0， ∴2³(－3)＋m －1＋10＝0， 解得m ＝－3.
11．[全品导学号：82642033]D [解析] ∵x 1＋x 2＝4，x 1x 2＝－m 2
，
∴m 2(1x 1＋1x 2)＝m 2
²x 1＋x 2x 1x 2＝m 2²4－m
2＝－4.
12．[全品导学号：82642034]A [解析] 由题意知a ，b 是方程x 2
－6x ＋4＝0的两个根，∴
a ＋
b ＝6，ab ＝4，∴a 2＋b 2＝(a ＋b)2
－2ab ＝36－8＝28.故选A.
13．C [解析] ∵x 1＋x 2＝－k ，x 1x 2＝4k 2
－3，x 1＋x 2＝x 1x 2，
∴－k ＝4k 2
－3, 解得k 1＝34
，k 2＝－1.
当k ＝－1时，原方程可化为x 2
－x ＋1＝0， 此时方程无实数根，∴k ＝34
.
14．m>12 [解析] 由一元二次方程的根与系数的关系，得－2m ＋1＜0，解得m>12
.
15．3 [解析] ∵一元二次方程x 2
－3x －1＝0的两根分别是x 1，x 2，
∴x 12－3x 1－1＝0，x 22－3x 2－1＝0，x 1＋x 2＝3，∴x 22－3x 2＝1，∴x 1＋x 2(x 22
－3x 2)＝x 1＋x 2＝3.
16．[全品导学号：82642035]解：(1)根据题意，得Δ＝(－6)2
－4(2m ＋1)≥0，解得m ≤4. (2)根据题意，得x 1＋x 2＝6，x 1x 2＝2m ＋1， 而2x 1x 2＋x 1＋x 2≥20， 所以2(2m ＋1)＋6≥20， 解得m ≥3，而m ≤4， 所以m 的取值范围为3≤m ≤4.
17．解：(1)∵关于x 的方程kx 2
＋(k ＋2)x ＋k 4
＝0有两个不相等的实数根，
∴Δ＝(k ＋2)2
－4k ²k 4
＞0，∴k ＞－1. 又∵k ≠0， ∴k 的取值范围是k ＞－1且k ≠0.
(2)不存在符合条件的实数k.
理由：设关于x 的一元二次方程kx 2
＋(k ＋2)x ＋k 4
＝0的两根分别为x 1，x 2.由根与系数的关
系，得 x 1＋x 2＝－k ＋2k ，x 1x 2＝14. 令1x 1＋1x 2＝0，则x 1＋x 2x 1x 2＝－4（k ＋2）
k
＝0， ∴k ＝－2.
由(1)知，当k ＝－2时，Δ＜0，原方程无实数根， ∴不存在符合条件的实数k.
18．[全品导学号：82642036]解：(1)∵当Δ＝[4(m －1)]2－4³4m 2
＝－32m ＋16≥0时，方
程有两个实数根，即m ≤12， ∴当m ≤1
2
时，方程有两个实数根．
(2)根据一元二次方程根与系数的关系，得x 1＋x 2＝－4（m －1）4＝1－m ，x 1x 2＝m
2
4
.
∵x 12＋x 22＝17， ∴(x 1＋x 2)2－2x 1x 2＝17， ∴(1－m)2
－m 22
＝17，
解得m 1＝8，m 2＝－4. ∵当m ≤1
2
时，方程有两个实数根，∴m ＝－4.
(3)由(1)知当m ≤12时，方程有两个实数根，由(2)知x 1x 2＝m
2
4
，
若x 1和x 2能同号，则m 24＞0， ∴m ≤1
2
且当m ≠0时，x 1和x 2能同号，
即x 1和x 2能同号，此时m 的取值范围是m ≤1
2
且m ≠0.
19．[全品导学号：82642037]2009[解析] ∵m ，n 是方程x 2
＋2017x ＋7＝0的两个根，∴m
＋n ＝－2017，mn ＝7，m 2＋2017m ＋7＝0，n 2
＋2017n ＋7＝0，
∴(m 2＋2016m ＋6)(n 2＋2018n ＋8)＝(m 2＋2017m ＋7－m －1)(n 2
＋2017n ＋7＋n ＋1)＝－(m ＋1)(n ＋1)＝－(mn ＋m ＋n ＋1)＝－(7－2017＋1)＝2009.
20．[全品导学号：82642038]解：(1)方程变形为(x ＋3)(x ＋2)＝0，∴x 1＝－3，x 2＝－2. (2)方程变形为(x －5)(x －2)＝0， ∴x 1＝5，x 2＝2. (3)方程变形为(x ＋4)(x －1)＝0， ∴x 1＝－4，x 2＝1.
周滚动练习(一)
教师详答
1．D [解析] A 项是分式方程，故A 项错误；B 项是二元二次方程，故B 项错误；C 项，当a ＝0时，方程是一元一次方程，故C 项错误；D 项是一元二次方程．故选D.
2．D
3．D [解析] 移项，得x 2－6x ＝10.配方，得x 2－6x ＋9＝10＋9，即(x －3)2
＝19.故选D.
4．B [解析] ∵方程的两根互为相反数，∴－b
a
＝0，∴b ＝0.
5．D [解析] Δ＝a 2－4³(－1)＝a 2＋4.∵a 2是非负数，即a 2≥0，∴a 2＋4≥4.∵a 2
＋4>0，∴方程有两个不相等的实数根．
6．B [解析] 根据题意，得c ＝－a －b ，原方程化为ax 2
＋bx －a －b ＝0，
即a(x ＋1)(x －1)＋b(x －1)＝0，∴(x －1)(ax ＋a ＋b)＝0，∴x ＝1是原方程的一个根．
7．x 1＝0，x 2＝2 [解析] 由x 2
－2x ＝0， 得x(x －2)＝0， 解得x 1＝0，x 2＝2.
8．64 [解析] 因为x 2＋16x ＋k 是完全平方式，所以x 2＋16x ＋k ＝(x ＋8)2
， 解得k ＝64.
9．(x ＋2)(x －6) [解析] ∵关于x 的一元二次方程x 2
＋bx ＋c ＝0的两根分别为－2，6，
利用因式分解法可得，关于x 的一元二次方程为(x ＋2)(x －6)＝0，则代数式x 2
＋bx ＋c 因式分解的结果为(x ＋2)(x －6)．
10．24 [解析] 方法一：∵x 2
－14x ＋48＝0，∴(x －6)(x －8)＝0，∴x 1＝6，x 2＝8，∴菱
形的面积为1
2
³6³8＝24.故答案为24.
方法二：如果直接运用根与系数的关系，可以得到菱形的两条对角线的积是48，因此其面积就是24.
11．－2或－9
4
[解析] ∵(x 1－2)(x 1－x 2)＝0，∴x 1－2＝0或x 1－x 2＝0，解得x 1＝2或x 1
＝x 2.当x ＝2时，原方程可变为22＋(2k ＋1)³2＋k 2
－2＝0，解得k ＝－2；当x 1＝x 2时，此时一
元二次方程有两个相等的实数根，∴Δ＝b 2－4ac ＝0，即(2k ＋1)2－4(k 2
－2)＝0，解得k ＝－94
.
故答案为－2或－9
4
.
12．x ＝±6 [解析] 由题意，得(42－32)☆x ＝13，∴7☆x ＝13， ∴72－x 2
＝13， 解得x ＝±6.
13．解：(1)x 2－4x ＝1，x 2－4x ＋4＝4＋1， ∴(x －2)2
＝5，∴x －2＝±5， ∴x 1＝5＋2，x 2＝－5＋2.
(2)移项、化二次项系数为1，得x 2
－72x ＝－52
.
配方，得x 2
－72x ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫742＝－52＋⎝ ⎛⎭⎪⎫742， 即⎝ ⎛⎭⎪⎫x －742＝916
， ∴x －74＝±34，∴x 1＝52，x 2＝
1.
(3)[3(x －1)]2－[2(2－3x)]2
＝0.
因式分解，得[3(x －1)＋2(2－3x)][3(x －1)－2(2－3x)]＝0.
整理，得(1－3x)(9x －7)＝0， ∴1－3x ＝0或9x －7＝0， ∴x 1＝13，x 2＝7
9
.
(4)方程变形为(2y ＋1＋2)(2y ＋1＋1)＝0，
即(2y ＋3)(2y ＋2)＝0， ∴2y ＋3＝0或2y ＋2＝0， ∴y 1＝－3
2
，y 2＝－1.
14．解：(1)把x ＝1代入方程，得1＋4－2m ＋3－6m ＝0， ∴m ＝1.故方程为x 2
＋2x －3＝0. 设方程的另一个根是x 2， 则1²x 2＝－3， ∴x 2＝－3. 故m ＝1，方程的另一根为－3.
(2)∵在关于x 的方程x 2
＋2(2－m)x ＋3－6m ＝0中，
Δ＝4(2－m)2－4(3－6m)＝4(m ＋1)2
≥0， ∴无论m 取任何实数，此方程总有实数根．
15．解：由一元二次方程根与系数的关系，得x 1＋x 2＝62，x 1x 2＝－1
2
，则有
(1)x 12＋x 22＝(x 1＋x 2)2
－2x 1x 2＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫622－2³⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝52. (2)(x 1－x 2)2＝(x 1＋x 2)2
－4x 1x 2＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫622－4³⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝72.
(3)⎝
⎛⎭⎪⎫x 1＋1x 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋1x 1＝x 1x 2＋2＋1x 1x 2＝－12＋2＋1－12
＝－12＋2－2＝－12. 16．解：(1)Δ＝b 2
－4ac ＝4－4(2k －4)＝20－8k.
∵方程有两个不相等的实数根， ∴20－8k>0，∴k<5
2
.
(2)∵k 为正整数， ∴0<k<5
2
且k 为整数，
即k 的值为1或2.
∵x 1，2＝－1±5－2k ，且方程的根为整数， ∴5－2k 为完全平方数． 当k ＝1时，5－2k ＝3，不是完全平方数； 当k ＝2时，5－2k ＝1，是完全平方数． ∴k ＝2.
17．[全品导学号：82642039]解：(1)△ABC 是直角三角形．理由：
∵关于x 的一元二次方程有两个相等的实数根， ∴(2b)2
－4(a ＋c)(a －c)＝0，
∴4b 2－4a 2＋4c 2＝0， ∴a 2＝b 2＋c 2
， ∴△ABC 是直角三角形． (2)若△ABC 是等边三角形，则a ＝b ＝c.
∵(a ＋c)x 2＋2bx ＋(a －c)＝0， ∴2ax 2
＋2ax ＝0， ∴x 1＝0，x 2＝－1.
第二十一章 一元二次方程 21.3 实际问题与一元二次方程
第1课时 用一元二次方程解决传播问题与数字等问题
教师详答
1．[全品导学号：82642040]B [解析] 根据题意，得x ＋1＋x(x ＋1)＝49，即(x ＋1)2
＝49.
故选B.
2．B [解析] 设每个支干长出x 个小分支，根据题意，得1＋x ＋x ²x ＝13，整理，得x 2
＋x －12＝0，解得x 1＝3，x 2＝－4(舍去)．
故每个支干长出3个小分支．
3．解：(1)设每轮分裂中平均每个有益菌可分裂出x 个有益菌．根据题意，得 60x 2
＝24000.
解得x 1＝20，x 2＝－20(不合题意，舍去)．
答：每轮分裂中平均每个有益菌可分裂出20个有益菌．
(2)60³203
＝480000(个)．
答：按照这样的分裂速度，经过三轮培植后共有480000个有益菌．
4．[全品导学号：82642041]C [解析] 设较小的奇数为x ，则另一个奇数为x ＋2.根据题意，得x(x ＋2)＝63，解得x ＝7或x ＝－9，则另一个奇数为9或－7，∴这两个数的和为±16.故选C.
5．144 [解析] 设最小数为x ，则最大数为x ＋16.根据题意，得x(x ＋16)＝192， 解得x 1＝8，x 2＝－24(不合题意，舍去)．
故第一行的三个数为8，9，10，下面一行的数为15，16，17，再下面一行的三个数为22，23，24，所以这9个数的和为8＋9＋10＋15＋16＋17＋22＋23＋24＝144.
6．解：设这个两位数的个位数字为x ，则十位数字为x －3.由题意，得 x 2
＝10(x －3)＋x. 解得x 1＝6，x 2＝5. 当x ＝6时，x －3＝3； 当x ＝5时，x －3＝2.
答：这个两位数是36或25.
7．(1)(x －1) 1
2
x(x －1)
(2)1
2
x(x －1)＝28 (3)x 1＝8，x 2＝－7 (4)x ＝－7 (5)8
8．[全品导学号：82642042]D [解析] 设这次聚会的人数是x.
根据题意，得1
2
x(x －1)＝28，
解得x 1＝8，x 2＝－7(舍去)．故选D. 9．解：设这个小组共有x 人． 根据题意，得x(x －1)＝72.
解得x 1＝9，x 2＝－8(不合题意，舍去)． 答：这个小组共有9人．
10．B [解析] 飞机场可以看作是点，航线可以看作过点画的线段．设共有n 个机场，则n （n －1）
2
＝10.解得n ＝5或n ＝－4(舍去)．故选B. 11．D
12．[全品导学号：82642043]10 [解析] 由题意，得n ＋n 2
＋1＝111， 解得n 1＝－11(舍去)，n 2＝10.
13．解：设这三连续的正奇数分别为2n －1.2n ＋3.(n 为正整数) 根据题意，得(2n ＋3)(2n －1)－6(2n ＋1)＝3， 解这个方程，得n 1＝3，n 2＝－1(舍去)．
当n ＝3时，2n －1＝5，2n ＋1＝7，2n ＋3＝9. 即这三个数分别为5，7，9.
14．[全品导学号：82642044]解：(1)16³(1＋30%)＝20.8(元)． 答：此商品每件售价最高可定为20.8元． (2)根据题意，得(x －16)(170－5x)＝280.
整理，得x 2
－50x ＋600＝0. 解得x 1＝20，x 2＝30.
∵此商品每件售价最高不得高于20.8元， ∴x ＝30不合题意，应舍去．
答：每件商品的售价应定为20元．
15．解：设这个剧场每行x 个座位．根据题意，得
x(x ＋16)＝1161，解这个方程，得x 1＝27，x 2＝－43(舍去)． 答：这个剧场每行有27个座位．
16．[全品导学号：82642045]解：(1)(n －3) (2)设这个凸多边形是n 边形，由题意，得 n （n －3）
2
＝14. 解得n 1＝7，n 2＝－4(不合题意，舍去)． 答：这个凸多边形是七边形．
(3)不存在．理由：假设存在n 边形有21条对角线．由题意，得n （n －3）
2＝21.
解得n ＝3±177
2
.
因为多边形的边数为正整数，而3±177
2
不是正整数，故不合题意．
所以不存在有21条对角线的凸多边形．
第二十一章 一元二次方程 21.4 实际问题与一元二次方程
第2课时 用一元二次方程解决增降率问题与销售问题
教师详答
1．B [解析] 设每次降价的百分率为x ，由题意得560(1－x)2
＝315.故选B. 2．[全品导学号：82642046]解：设两次提价的百分率均为x.
根据题意，得100(1＋x)2
＝144， 解得x 1＝0.2，x 2＝－2.2.
经检验，x ＝－2.2不符合题意，舍去， ∴x ＝0.2＝20%.
答：两次提价的百分率均为20%.
3．解：设该市2014年到2016年烟花爆竹年销售量的平均下降率为x.依题意，得
20(1－x)2
＝9.8，
解这个方程，得x 1＝0.3，x 2＝1.7.
由于x ＝1.7不符合题意，故x ＝0.3＝30%.
答：该市2014年到2016年烟花爆竹年销售量的平均下降率为30%.
4．2 [解析] 设每件应降价x 元．根据题意，得(32－x)(20＋5x)＝900. 解得x ＝2或x ＝26.
∵要求降价幅度不超过10元，∴x ＝26不符合题意，应舍去． 故每件服装应降价2元．
5．[全品导学号：82642047]0.3或0.2 [解析] 设应将每千克小型西瓜的售价降低x 元．
根据题意，得[(3－2)－x](200＋40x 0.1
)－24＝200.原式可化为50x 2
－25x ＋3＝0，
解这个方程，得x 1＝0.2，x 2＝0.3.故应将每千克小型西瓜的售价降低0.3元或0.2元． 6．解：设当每个粽子的定价为x 元时，超市每天销售该品牌粽子的利润为800元．
根据题意，得(x －3)(500－10³x －4
0.1
)＝800，
解得x 1＝7，x 2＝5.
∵售价不能超过进价的200%，∴x ≤3³200%，即x ≤6，∴x ＝5.
答：当每个粽子的定价为5元时，超市每天销售该品牌粽子的利润为800元． 7．B
8．32或28 [解析] 设该款鼠标垫每个涨价x 元，根据题意，得涨价时，9600＝(30－20＋x)(1000－100x)，
整理，得x 2
＝4，解得x 1＝2，x 2＝－2(不合题意，舍去)，故该款鼠标垫每个售价为32元；
降价时，9600＝(30－20－x)(1000＋100x)，整理，得x 2
＝4，解得x 1＝－2，x 2＝2(不合题意，舍去)，故该款鼠标垫每个售价为28元．
综上所述，当鼠标垫的售价为32元/个或28元/个时，该星期利润为9600元． 9．6 [解析] 设该产品的质量档次为x ，则每件利润为6＋2(x －1)，一天的产量为95－5(x －1)．
由题意，得[6＋2(x －1)][95－5(x －1)]＝1120，整理，得(x ＋2)(20－x)＝112， 解得x 1＝6，x 2＝12(不合题意，舍去)． 故该产品的质量档次为6.
10．解：(1)设该种商品每次降价的百分率为x.
依题意，得400³(1－x)2
＝324， 解得x ＝0.1或x ＝1.9(舍去)．
答：该种商品每次降价的百分率为10%.
(2)设第一次降价后售出该种商品m 件，则第二次降价后售出该种商品(100－m)件， 第一次降价后的单件利润为400³(1－10%)－300＝60(元/件)； 第二次降价后的单件利润为324－300＝24(元/件)．
依题意，得60m ＋24³(100－m)＝36m ＋2400≥3210， 解得m ≥22.5.∴m ≥23.
答：为使两次降价销售的总利润不少于3210元，第一次降价后至少要售出该种商品23件． 11．[全品导学号：82642048]解：(1)80－x 200＋10x 800－200－(200＋10x)
(2)依据题意，得80³200＋(80－x)(200＋10x)＋40[800－200－(200＋10x)]－50³800＝9000.
整理，得x 2
－20x ＋100＝0.解得x 1＝x 2＝10. 当x ＝10时，80－x ＝70>50.
答：第二个月的单价应是70元/件．
12．[全品导学号：82642049]解：(1)设平均每次下调的百分率是x.根据题意列方程，得
5000(1－x)2
＝4050，
解得x 1＝0.1，x 2＝1.9(不合题意，舍去)． 答：平均每次下调的百分率为10%.
(2)方案①的房款是4050³100³0.98＝396900(元)；
方案②的房款是4050³100－1.5³100³12³2＝401400(元)． ∵396900元＜401400元，∴方案①更优惠． 13．[全品导学号：82642050]解：(1)26.8 (2)设需要售出x 部汽车．由题意可知，每部汽车的销售利润为28－[27－0.1(x －1)]＝(0.1x ＋0.9)万元．
当0<x ≤10时，根据题意，得x(0.1x ＋0.9)＋0.5x ＝12，
整理，得x 2
＋14x －120＝0.
解得x 1＝－20(不合题意，舍去)，x 2＝6；
当x ＞10时，根据题意，得x(0.1x ＋0.9)＋x ＝12，
整理，得x 2
＋19x －120＝0.
解得x 1＝－24(不合题意，舍去)，x 2＝5(不合题意，舍去)． 答：需要售出6部汽车．
第二十一章 一元二次方程 21.5 实际问题与一元二次方程
第3课时 用一元二次方程解决几何图形等问题
教师详答
1．A [解析] ∵游泳池的长为x m ，∴宽可表示为(x －10)m ，根据矩形的面积公式，得x(x －10)＝375.故选A.
2．A [解析] 设原来这块正方形木板的边长是x m ．根据题意，得x(x －2)＝48，解得x 1
＝8，x 2＝－6(不合题意，舍去)，∴原来这块正方形木板的边长是8 m ．故选A.
3．24
4．[全品导学号：82642051]2 m 2
[解析] 设大正方形的边长为x m ，则小正方形的边长为(x －1)m.
根据题意，得x(2x －1)＝15，解得x 1＝3，x 2＝－5
2
(不合题意，舍去)．
小正方形的边长为x －1＝3－1＝2(m)，裁剪后剩下的阴影部分的面积＝15－22－32＝2(m 2
)．
故裁剪后剩下的阴影部分的面积2 m 2
. 5．解：设AB 为x m ，则BC 为(50－2x)m. 根据题意，得x(50－2x)＝300， 2x 2
－50x ＋300＝0， 解得x 1＝10，x 2＝15.
当x ＝10时，50－2x ＝30＞25(不合题意，舍去)； 当x ＝15时，50－2x ＝20＜25(符合题意)．
答：当所砌墙的宽为15 m ，长为20 m 时，可使矩形花园的面积为300 m 2
. 6．[全品导学号：82642052]A
7．0.25 [解析] 设花色地毯的宽为x m ，那么地毯的面积＝(1.5＋2x)(1＋2x)． 因为镶完后地毯的面积是原地毯面积的2倍，所以(1.5＋2x)(1＋2x)＝2³1.5³1，
即8x 2
＋10x －3＝0.
解得x ＝0.25或x ＝－1.5(舍去)．
8．解：设花边的宽度为x m ．依题意，得 (2－2x)(1.4－2x)＝1.6， 解得x 1＝1.5(舍去)，x 2＝0.2.
答：花边的宽度为0.2 m.
9．解：设甬路的宽度为x 米．根据题意，得(40－2x)(26－x)＝144³6， 解得x 1＝2，x 2＝44(不合题意，舍去)． 答：甬路的宽度为2米． 10．C
11．B [解析] 由题意，得桌布的面积为(160³100³2 ) cm 2
，桌布的长为(160＋2x) cm ，宽为100＋2x (cm)，
则(160＋2x)(100＋2x)＝2³160³100.
12．解：(1)设配色条纹的宽度为x 米．依题意，得
2x ³5＋2x ³4－4x 2
＝1780
³5³4，
解得x 1＝174(不符合题意，舍去)，x 2＝1
4
.
答：配色条纹的宽度为1
4米．
(2)配色条纹造价：17
80³5³4³200＝850(元)，
其余部分造价：(1－17
80
)³5³4³100＝1575(元)， ∴总造价为850＋1575＝2425(元)．
答：地毯的总造价是2425元．
13．[全品导学号：82642053]解：(1)根据小亮的设计方案列方程，得
(52－x)(48－x)＝2300. 解这个方程，得x 1＝2，x 2＝98(不合题意，舍去)．
(2)过点A 作AI ⊥CD ，过点H 作HJ J ，如图所示． ∵AB ∥CD ，∠1＝60°， ∴∠ADI ＝60°.
∵BC ∥AD ， ∴四边形ADCB 是平行四边形， ∴BC ＝AD. 由(1)得x ＝2，∴BC ＝HE ＝2 m ＝AD.
在Rt △ADI 中，利用勾股定理可得AI ＝ 3 m. 同理可得HJ ＝ 3 m.
52³48－52³2－48³2＋(3)2＝2299(m 2
)．
答：小颖的设计方案中四块绿地的总面积为2299 m 2
.
14．[全品导学号：82642054]解：(1)设x s 后，△PBQ 的面积为4 cm 2
，此时，AP ＝x cm ，BP ＝(5－x)cm ，BQ ＝2x cm.
由S △PBQ ＝12BP ²BQ ，得12
(5－x)²2x ＝4， 整理，得x 2
－5x ＋4＝0，
解得x 1＝1，x 2＝4.当x ＝4时，2x ＝8>7， 说明此时点Q 越过点C ，不符合要求，舍去．
答：1 s 后，△PBQ 的面积为4 cm 2
.
(2)仿照(1)，由BP 2＋BQ 2＝PQ 2
，得
(5－x)2＋(2x)2＝52
，
整理，得x 2
－2x ＝0，
解得x 1＝0(不合题意，舍去)，x 2＝2. 答：2 s 后，PQ 的长度为5 cm.
(3)不能．理由：仿照(1)，得1
2
(5－x)²2x ＝7，
整理，得x 2
－5x ＋7＝0，容易判断此方程无解．
∴△PBQ 的面积不能为7 cm 2
.
小结
教师详答
1．C
2．解：把x ＝0代入(k ＋4)x 2＋3x ＋k 2＋3k －4＝0，得k 2
＋3k －4＝0，解得k 1＝1，k 2＝－4. ∵k ＋4≠0，∴k ≠－4，∴k ＝1.
3．A [解析] 公式法：∵a ＝1，b ＝－2，c ＝－3，b 2－4ac ＝(－2)2
－4³1³(－3)＝16＞0， ∴方程有两个不相等的实数根，
x ＝－b ±b 2
－4ac 2a ＝2±162³1
＝1±2， ∴x 1＝－1，x 2＝3.
因式分解法：原方程可变形为(x ＋1)(x －3)＝0， ∴x ＋1＝0或x －3＝0， 解得x 1＝－1，x 2＝3.故选A.
4．A [解析] 方程ax 2＋bx ＋c ＝0两边同除以a ，得x 2
＋b a x ＝－c a
.
配方，得⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋b 2a 2＝b 2－4ac 4a 2
.故选A. 5．A [解析] ∵x 2
－7x ＋10＝0，∴(x －2)(x －5)＝0，∴x 1＝2，x 2＝5.若等腰三角形的三边长分别为2，5，5，则2＋5>5，满足三角形的三边关系，此时等腰三角形的周长为12；若等腰三角形的三边长分别为2，2，5，则2＋2<5，不满足三角形的三边关系，舍去．故选A.
6．解：(1)∵a ＝3，b ＝－5，c ＝－2， ∴b 2－4ac ＝(－5)2
－4³3³(－2)＝49，
∴x ＝－b ±b 2
－4ac 2a ＝5±496＝5±76， ∴x 1＝2，x 2＝－13
.
(2)2x －3＝±x ，∴x 1＝3，x 2＝1.
(3)3x(x －1)＝2－2x. 变形，得3x(x －1)＋2(x －1)＝0，
分解因式，得(x －1)(3x ＋2)＝0， 可得x －1＝0或3x ＋2＝0， 解得x 1＝1，x 2＝－2
3
.
7．B [解析] ∵Δ＝b 2－4ac ＝(－3)2
－4³2³1＝1＞0，∴该方程有两个不相等的实数根． 8．C [解析] 选项A ，当k ＝0时，原方程变形为x －1＝0，解为x ＝1，错误；选项B ，当
k ＝1时，原方程变形为x 2
－1＝0，解为x ＝±1，错误；选项C ，当k ＝－1时，原方程变形为x 2－2x ＋1＝0，即(x －1)2＝0，解为x 1＝x 2＝1，正确；选项D ，当k ≠0时，Δ＝b 2
－4ac ＝(1－k)2＋4k ＝(1＋k)2
≥0，因此该方程有两个不相等的实数解或有两个相等的实数解，错误．故选C.
9．解：(1)∵原方程有两个实数根， ∴Δ＝(－2)2
－4(m －1)≥0， 整理，得4－4m ＋4≥0，解得m ≤2.
(2)∵x 1＋x 2＝2，x 1x 2＝m －1，x 12＋x 22＝6x 1x 2，∴(x 1＋x 2)2
－2x 1x 2＝6x 1x 2，
即4＝8(m －1)，解得m ＝32. ∵m ＝32＜2，∴符合条件的m 的值为3
2
.
10．解：(1)∵一元二次方程x 2＋(2m ＋2)x ＋m 2
－4＝0有两个不相等的实数根，
∴Δ＝b 2－4ac ＝(2m ＋2)2－4³1³(m 2
－4)＝8m ＋20＞0，∴m ＞－52
.
(2)∵m 为负整数，∴m ＝－1或－2.
当m ＝－1时，方程为x 2
－3＝0，它的根为x 1＝3，x 2＝－3，均不是整数，不符合题意，故舍去；
当m ＝－2时，方程为x 2
－2x ＝0，它的根为x 1＝0，x 2＝2，都是整数，符合题意． 综上所述，m ＝－2.
11．B [解析] 解方程x 2
－16x ＋60＝0，得x 1＝6，x 2＝10.当直角三角形的两条直角边长分别是6和10时，三角形的面积是30；当直角三角形的一条直角边长和斜边长分别是6和10时，根据勾股定理得另一条直角边长是8，此时三角形的面积是24.
12．100(1＋x)2
＝169
13．解：(1)设购买A 型号地砖x 块．由题意，得
80x ＋40(60－x)≤3200.解得x ≤20. 答：最多能购买A 型号地砖20块．
(2)由题意，得80(1－a%)a ＋40(1－a%)(60－a)＝2560. 解得a 1＝a 2＝20(符合题意)． 答：a 的值为20.
14．解：设小道进出口的宽度应为x m ．根据题意，得(30－2x)(20－x)＝532.
整理，得x 2
－35x ＋34＝0.
解得x 1＝1，x 2＝34(不符合题意，舍去)． ∴x ＝1.
答：小道进出口的宽度应为1 m.
15．解：(1)设平均每次下调的百分率为x.
根据题意，得5(1－x)2
＝3.2. 解得x 1＝0.2，x 2＝1.8.
∵降价的百分率不可能大于1， ∴x ＝1.8不符合题意，舍去， ∴x ＝0.2＝20%.
答：平均每次下调的百分率是20%. (2)小华选择方案一更优惠．
理由：方案一所需费用为3.2³0.9³5000＝14400(元)； 方案二所需费用为3.2³5000－200³5＝15000(元)． ∵14400<15000，∴小华选择方案一更优惠． 16．[全品导学号：82642055]解：当x ＋2≥0， 即x ≥－2时，|x ＋2|＝x ＋2.
原方程化为x 2
＋2(x ＋2)－4＝0，
即x 2
＋2x ＝0.
解得x 1＝0，x 2＝－2.
∵x ≥－2，故x 1＝0，x 2＝－2均是原方程的解； 当x ＋2<0，即x<－2时，|x ＋2|＝－(x ＋2)．
原方程化为x 2
－2(x ＋2)－4＝0，
即x 2
－2x －8＝0.解得x 1＝4，x 2＝－2.
∵x<－2，∴x 1＝4，x 2＝－2均不是原方程的解． 综上所述，原方程的解为x 1＝0，x 2＝－2.
本章中考演练
教师详答
1．D
2．B [解析] 因为关于x 的一元二次方程x 2
＋4x ＋k ＝0有两个相等的实数根，所以Δ＝0，即42
－4k ＝0，解得k ＝4.
3．C [解析] 根据题意，将x ＝－2代入方程x 2＋32
ax －a 2＝0，得4－3a －a 2＝0，即a 2
＋3a
－4＝0.左边因式分解，得(a －1)(a ＋4)＝0，∴a －1＝0或a ＋4＝0，解得a ＝1或a ＝－4.
4．B [解析] 根据题意，得100(1－x%)2
＝100－36，解得x ＝20或x ＝180(不合题意，舍。