3.4 函数的应用(一)(精讲)(解析版)

3.4 函数的应用（一）

考点一一次函数模型

【例1】（2020·全国高一专题练习）某厂日生产文具盒的总成本y（元）与日产量x（套）之间的关系为y ＝6x＋30 000.而出厂价格为每套12元，要使该厂不亏本，至少日生产文具盒（）

A．2 000套B．3 000套

C．4 000套D．5 000套

【答案】D

【解析】因利润z＝12x－(6x＋30 000),所以z＝6x－30 000,由z≥0解得x≥5 000,故至少日生产文具盒5 000套.故选：D

【一隅三反】

1．某工厂生产某种产品，每件产品的出厂价为50元，其成本价为25元，因为在生产过程中平均每生产一件产品有0.5立方米污水排出，为了净化环境，工厂设计两套方案对污水进行处理，并准备实施.

方案一：工厂的污水先净化处理后再排出，每处理1立方米污水所用原料费2元，并且每月排污设备损耗为30000元；

方案二：工厂将污水排到污水处理厂统一处理，每处理1立方米污水需付14元的排污费.问：

（1）工厂每月生产3000件产品时，你作为厂长，在不污染环境，又节约资金的前提下应选择哪种方案？通过计算加以说明.

（2）若工厂每月生产6000件产品，你作为厂长，又该如何决策呢？

【答案】见解析

【解析】设工厂每月生产x 件产品时，依方案一的利润为y 1，依方案二的利润为y 2，由题意知y 1=(50−25)x −2×0.5x −30000=24x −30000， y 2=(50−25)x −14×0.5x =18x .

（1）当x =3000时，y 1=42000，y 2=54000， 因为y 1

（2）当x =6000时，y 1=114000，y 2=108000， 因为y 1>y 2，所以应选择方案一处理污水

考点二 二次函数模型

【例2】（2020·浙江高一课时练习）某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量y （单位：千克）与销售单价x （单位：元/千克）满足关系式100(8)4

a

y x x =

+--，其中48x <<，a 为常数，已知销售单价为6元/千克时，每日可售出该商品220千克. （1）求a 的值；

（2）若该商品的进价为4元/千克，试确定销售单价x 的值，使商场每日销售该商品所获得的利润最大，并求出利润的最大值.

【答案】（1）40a =（2）当6x =时，函数()f x 取得最大值，且最大值等于440. 【解析】（1）因为()y 10084

a

x x =+--.且6x =时，y 220=. 所以

a

200220.2

+=解得. 40a =. （2）由（1）可知，该商品每日的销售量()40

y 10084

x x =+--. 所以商场每日销售该商品所获得的利润：

()()()40410084f x x x x ⎡⎤=-+-⎢⎥-⎣⎦

()2

4010048-1006440? (4x 8)x x x （）（）=+--=-+<< 因为()f x 为二次函数，且开口向上，对称轴为6x =.

所以，当6x =时，函数()f x 取得最大值，且最大值等于440.

所以当销售价格定为6元/千克时，商场每日销售该商品所获得的利润最大，最大利润为440元. 【一隅三反】

1．（2020·全国高一专题练习）某商店进货单价为45元，若按50元一个销售，能卖出50个，若销售单价每

涨1元，其销售量就减少2个，为了获得最大利润，此商品的最佳售价应为每个_____元. 【答案】60

【解析】设涨价x 元，销售的利润为y 元，

则2

2

(5045)(502)2402502(10)450y x x x x x =+--=-++=--+， 当10x =，即销售单价为60元时，y 取得最大值.故答案为：60

2（2019·安徽金安.六安一中高一月考）某家庭进行理财投资，根据长期收益率市场预测，投资债券等稳健型产品的收益()f x 与投资额x 成正比，且投资1万元时的收益为

1

8

万元，投资股票等风险型产品的收益()g x 与投资额x 的算术平方根成正比，且投资1万元时的收益为0.5万元，

（1）分别写出两种产品的收益与投资额的函数关系；

（2）该家庭现有20万元资金，全部用于理财投资，问：怎样分配资金能使投资获得最大收益，其最大收益为多少万元？

【答案】（1）()1,()0)8f x x g x x =

=≥；（2）投资债券等稳健型产品为16万元，投资股票等风险型产品为4万元，投资收益最大为3万元.

【解析】（1）依题意设()1,()f x k x g x k ==，

1211

(1),(1)82f k g k ====，

()1

,()0)8f x x g x x ==≥；

（2）设投资股票等风险型产品为x 万元，

则投资债券等稳健型产品为20x -万元，

1

(20)()(20)8y f x g x x =-+=-

21

2)3,0208

x =-+≤≤，

2,4x ==万元时，收益最大max 3y =万元， 20万元资金，投资债券等稳健型产品为16万元， 投资股票等风险型产品为4万元，投资收益最大为3万元.

考点三 分段函数模型

【例3】（2019·黄梅国际育才高级中学高一月考）某公司生产一种电子仪器的固定成本为20000元，每生产

一台仪器需增加投入100元，已知总收益满足函数()()()214000400280000400x x x R x x ⎧-≤≤⎪

=⎨⎪>⎩

，其中x （台）是仪

器的月产量．

（1）将利润表示为月产量的函数()f x ；

（2）当月产量为何值时，公司所获利润最大？最大利润为多少元？（总收益=总成本+利润）

【答案】（1）()f x ()()2

1300200000400260000100400x x x x x ⎧-+-≤≤⎪=⎨⎪->⎩

；（2）每月生产300台仪器时利润最大，最大利润为25000元．

【解析】（1）月产量为x 台，则总成本为()20000100x +元，从而()()()20000100R x x x f -+=

()()2

1300200000400260000100400x x x x x ⎧-+-≤≤⎪=⎨⎪->⎩

． （2）由（1）可知，当0400x ≤≤时，()()2

1300250002

f x x =-

-+， ∴当300x =时，()max 25000f x =；

当400x >时，()60000100f x x =-是减函数，()6000010040025000f x <-⨯<，

∴当300x =时，()max 25000f x =，

即每月生产300台仪器时利润最大，最大利润为25000元． 【一隅三反】

1．（2020·浙江高一课时练习）2018年10月24日，世界上最长的跨海大桥—港珠澳大桥正式通车。在一般情况下，大桥上的车流速度v （单位：千米/时）是车流密度x （单位：辆/千米）的函数当桥上的车流密度达到220辆/千米，将造成堵塞，此时车流速度为0；当车流密度不超过20辆/千米，车流速度为100千米/时研究表明：当20220x ≤≤时，车流速度v 是车流密度x 的一次函数. （1）当20220x ≤≤时，求函数()v x 的表达式；

（2）当车流密度x 为多大时，车流量（单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：辆/时）()()f x x v x =⋅可以达到最大？并求出最大值.