3.4 函数的应用(一)(精讲)(解析版)

3.4 函数的应用（一）
考点一一次函数模型
【例1】（2020·全国高一专题练习）某厂日生产文具盒的总成本y（元）与日产量x（套）之间的关系为y ＝6x＋30 000.而出厂价格为每套12元，要使该厂不亏本，至少日生产文具盒（）
A．2 000套B．3 000套
C．4 000套D．5 000套
【答案】D
【解析】因利润z＝12x－(6x＋30 000),所以z＝6x－30 000,由z≥0解得x≥5 000,故至少日生产文具盒5 000套.故选：D
【一隅三反】
1．某工厂生产某种产品，每件产品的出厂价为50元，其成本价为25元，因为在生产过程中平均每生产一件产品有0.5立方米污水排出，为了净化环境，工厂设计两套方案对污水进行处理，并准备实施.
方案一：工厂的污水先净化处理后再排出，每处理1立方米污水所用原料费2元，并且每月排污设备损耗为30000元；
方案二：工厂将污水排到污水处理厂统一处理，每处理1立方米污水需付14元的排污费.问：
（1）工厂每月生产3000件产品时，你作为厂长，在不污染环境，又节约资金的前提下应选择哪种方案？通过计算加以说明.
（2）若工厂每月生产6000件产品，你作为厂长，又该如何决策呢？
【答案】见解析
【解析】设工厂每月生产x 件产品时，依方案一的利润为y 1，依方案二的利润为y 2，由题意知y 1=(50−25)x −2×0.5x −30000=24x −30000， y 2=(50−25)x −14×0.5x =18x .
（1）当x =3000时，y 1=42000，y 2=54000， 因为y 1<y 2，所以应选择方案二处理污水.
（2）当x =6000时，y 1=114000，y 2=108000， 因为y 1>y 2，所以应选择方案一处理污水
考点二 二次函数模型
【例2】（2020·浙江高一课时练习）某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量y （单位：千克）与销售单价x （单位：元/千克）满足关系式100(8)4
a
y x x =
+--，其中48x <<，a 为常数，已知销售单价为6元/千克时，每日可售出该商品220千克. （1）求a 的值；
（2）若该商品的进价为4元/千克，试确定销售单价x 的值，使商场每日销售该商品所获得的利润最大，并求出利润的最大值.
【答案】（1）40a =（2）当6x =时，函数()f x 取得最大值，且最大值等于440. 【解析】（1）因为()y 10084
a
x x =+--.且6x =时，y 220=. 所以
a
200220.2
+=解得. 40a =. （2）由（1）可知，该商品每日的销售量()40
y 10084
x x =+--. 所以商场每日销售该商品所获得的利润：
()()()40410084f x x x x ⎡⎤=-+-⎢⎥-⎣⎦
()2
4010048-1006440? (4x 8)x x x （）（）=+--=-+<< 因为()f x 为二次函数，且开口向上，对称轴为6x =.
所以，当6x =时，函数()f x 取得最大值，且最大值等于440.
所以当销售价格定为6元/千克时，商场每日销售该商品所获得的利润最大，最大利润为440元. 【一隅三反】
1．（2020·全国高一专题练习）某商店进货单价为45元，若按50元一个销售，能卖出50个，若销售单价每
涨1元，其销售量就减少2个，为了获得最大利润，此商品的最佳售价应为每个_____元. 【答案】60
【解析】设涨价x 元，销售的利润为y 元，
则2
2
(5045)(502)2402502(10)450y x x x x x =+--=-++=--+， 当10x =，即销售单价为60元时，y 取得最大值.故答案为：60
2（2019·安徽金安.六安一中高一月考）某家庭进行理财投资，根据长期收益率市场预测，投资债券等稳健型产品的收益()f x 与投资额x 成正比，且投资1万元时的收益为
1
8
万元，投资股票等风险型产品的收益()g x 与投资额x 的算术平方根成正比，且投资1万元时的收益为0.5万元，
（1）分别写出两种产品的收益与投资额的函数关系；
（2）该家庭现有20万元资金，全部用于理财投资，问：怎样分配资金能使投资获得最大收益，其最大收益为多少万元？
【答案】（1）()1,()0)8f x x g x x =
=≥；（2）投资债券等稳健型产品为16万元，投资股票等风险型产品为4万元，投资收益最大为3万元.
【解析】（1）依题意设()1,()f x k x g x k ==，
1211
(1),(1)82f k g k ====，
()1
,()0)8f x x g x x ==≥；
（2）设投资股票等风险型产品为x 万元，
则投资债券等稳健型产品为20x -万元，
1
(20)()(20)8y f x g x x =-+=-
21
2)3,0208
x =-+≤≤，
2,4x ==万元时，收益最大max 3y =万元， 20万元资金，投资债券等稳健型产品为16万元， 投资股票等风险型产品为4万元，投资收益最大为3万元.
考点三 分段函数模型
【例3】（2019·黄梅国际育才高级中学高一月考）某公司生产一种电子仪器的固定成本为20000元，每生产
一台仪器需增加投入100元，已知总收益满足函数()()()214000400280000400x x x R x x ⎧-≤≤⎪
=⎨⎪>⎩
，其中x （台）是仪
器的月产量．
（1）将利润表示为月产量的函数()f x ；
（2）当月产量为何值时，公司所获利润最大？最大利润为多少元？（总收益=总成本+利润）
【答案】（1）()f x ()()2
1300200000400260000100400x x x x x ⎧-+-≤≤⎪=⎨⎪->⎩
；（2）每月生产300台仪器时利润最大，最大利润为25000元．
【解析】（1）月产量为x 台，则总成本为()20000100x +元，从而()()()20000100R x x x f -+=
()()2
1300200000400260000100400x x x x x ⎧-+-≤≤⎪=⎨⎪->⎩
． （2）由（1）可知，当0400x ≤≤时，()()2
1300250002
f x x =-
-+， ∴当300x =时，()max 25000f x =；
当400x >时，()60000100f x x =-是减函数，()6000010040025000f x <-⨯<，
∴当300x =时，()max 25000f x =，
即每月生产300台仪器时利润最大，最大利润为25000元． 【一隅三反】
1．（2020·浙江高一课时练习）2018年10月24日，世界上最长的跨海大桥—港珠澳大桥正式通车。

在一般情况下，大桥上的车流速度v （单位：千米/时）是车流密度x （单位：辆/千米）的函数当桥上的车流密度达到220辆/千米，将造成堵塞，此时车流速度为0；当车流密度不超过20辆/千米，车流速度为100千米/时研究表明：当20220x ≤≤时，车流速度v 是车流密度x 的一次函数. （1）当20220x ≤≤时，求函数()v x 的表达式；
（2）当车流密度x 为多大时，车流量（单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：辆/时）()()f x x v x =⋅可以达到最大？并求出最大值.
【答案】（1）100,
020()1110,202202
x v x x x ≤≤⎧⎪
=⎨-+≤≤⎪⎩；（2）当车流密度为110辆/千米时，车流量最大，最大
值为6050辆/时.
【解析】（1）由题意，当020x ≤≤时，v (x)=100， 当20220x ≤≤时，设()v x ax b =+，则20100
2200a b a b +=⎧⎨+=⎩
解得：1
2
a =-
，110b = ∴100,
020()1
110,202202
x v x x x ≤≤⎧⎪
=⎨-+≤≤⎪⎩ （2）由题意，2
100,
020()1110,202202
x x f x x x x ≤≤⎧⎪
=⎨-+≤≤⎪⎩ 当020x ≤≤时，()f x 的最大值为(20)2000f = 当20220x ≤≤时，21
()(110)60502
f x x =-
-+， ()f x 的最大值为(110)6050f =
∴当车流密度为110辆/千米时，车流量最大，最大值为6050辆/时.
2．（2020·宾县第二中学高二期中（理））某公司生产一种产品，每年投入固定成本0.5万元，此外每生产100件这种产品还需要增加投资0.25万元，经预测可知，市场对这种产品的年需求量为500件，当出售的这种产品的数量为t (单位：百件)时，销售所得的收入约为2
152
t t -
(万元)． （1）若该公司的年产量为x (单位：百件)，试把该公司生产并销售这种产品所得的年利润表示为年产量x 的函数；
（2）当这种产品的年产量为多少时，当年所得利润最大？
【答案】（1）f （x ）＝2
1 4.750.5,(05)
2120.25,(5)
x x x x x ⎧-+-<≤⎪⎨⎪->⎩；（2）475件.
【解析】（1）当0<x ≤5时,产品全部售出,当x >5时,产品只能售出500件.
所以f （x ）＝2215(0.50.25),(05)21555(0.50.25),(5)2x x x x x x ⎧⎛⎫--+<≤ ⎪⎪⎪⎝
⎭⎨
⎛⎫⎪⨯-⨯-+> ⎪⎪⎝
⎭⎩ 即f （x ）＝2
1 4.750.5,(05)
2
120.25,(5)
x x x x x ⎧-+-<≤⎪⎨⎪->⎩ （2）当0<x ≤5时,f （x ）＝－12
x 2
＋4.75x －0.5,所以当x ＝4.75(百件)时,f （x ）有最大值, f （x ）max ＝10.781 25(万元).
当x >5时,f （x ）<12－0.25×5＝10.75(万元). 故当年产量为475件时,当年所得利润最大.
3．（2020·全国高一专题练习）某商品在某月的30天内每件销售价格P （元）与时间t （天）的函数关系式
是*
*
20025,1002530,t t t P t t t ⎧+<<∈=⎨-+∈⎩N N
，该商品的日销售量Q （件）与时间t （天）的函数关系式是)
*40(030,Q t t t =-+<∈N ，求这种商品的日销售金额的最大值，并指出日销售金额最大的是30天中
的第几天. 【答案】900.10
【解析】设这种商品的日销售金额为y 万元，则有
y P Q =⋅=*
*
(20)(40)025,(100)(40)2530,t t t t t t t t ⎧+-+<<∈⎨-+-+∈⎩N N
当*
025,t t <<∈N 时，10t =时，max 900y =；
*2530,t t ∈N 时，25t =时，max 1125y =.
所以这种商品的日销售金额的最大值为1125元，日销售金额的最大的一天是30天中的第25天.。