离散数学(52)

2! 3!
(n −1)!
⎯n⎯→⎯∞→n!(1−
1). e
#
《集合论与图论》第13讲
24
习题课(σ代数)
σ代数: <Ω,F>, 若F⊆P(Ω),满足
1. Ω∈F,
2. 若A∈F, 则~A∈F,
3. 若A1,A2,…∈F,
则
∞
U Ai∈F,
则称F为Ω上一个σ代数i=1.
背景: 《概率论》,《测度论》
xR2z ⇔ ∃y(xRy∧yRz) ⇒ ¬xRz, ∴ R2 ⊆ ~R, 即R2∩R=∅.
(⇐) ∀x,y,z∈A,
(xRy∧yRz) ⇒ xR2z ⇒ ¬xRz , ∴ R是反传递的. #
《集合论与图论》第13讲
28
习题课(二.34)
34. 设R1,R2是非空集合A上的等价关系, 下面给出的关系是否还是A上的等价关系, 为什么?
N/R4 = { {6k+j | k∈N} | j=0,1,…,5 } #
注意: N/R2 = { {2k}, {2k+1} | k∈N }是错误 写法!
(2)
N/R2
N/R3
N/R4
N/R1
《集合论与图论》第13讲
13
作业讲解(#7)
(3) f1(H) = H f2(H) = {0} f3(H) = {0,1,2} f4(H) = {0,2,4} #
y=x+ ∧z=y+⇒z=x++≠x+, (1b)A={x|x是人},R⊆A×A, xRy⇔y是x父亲, y是x父亲∧z是y父亲⇒z是x祖父而非x父亲.
《集合论与图论》第13讲
27
习题课(二.14)
14. ∀x,y,z∈A, (xRy∧yRz)→¬xRz, (2)证明: R反传递 ⇔ R2∩R=∅. 证明: (2) (⇒) ∀x,z∈A,
⇒ xR1x ∧ yR2y ⇔ <x,y>R<x,y>
《集合论与图论》第13讲
8
习题讲解(#6)
50. (2) R反对称: ∀x1,x2∈A, ∀y1,y2∈B, <x1,y1>R<x2,y2> ∧ <x2,y2>R<x1,y1>
⇔ x1R1x2 ∧ y1R2y2 ∧ x2R1x1 ∧ y2R2y1 ⇒ x1=x2 ∧ y1=y2 ⇔ <x1,y1>=<x2,y2> 注意: 非对称 ⇒ 反对称
b
a
g
f
f(b)
g(a)
A
B
C
《集合论与图论》第13讲
18
习题课(一.17)
习题一. 17,18,19,29,补充题 17. 设A={ {∅}, {{∅}} }, 计算
(1) P(A); (2)P(UA); (3)UP(A). 解: (1) P(A)={∅,{{∅}},{{{∅}}}, A}; (2) UA={∅}∪{{∅}}= {∅,{∅}}, P(UA)= {∅,{∅}, {{∅}}, {∅,{∅}}}; (3) UP(A)=U{∅,{{∅}},{{{∅}}},A}=A. #
《集合论与图论》第13讲
14
作业讲解(#7)
16. g○f:R→R, g○f(x)=x2+2, 非单,非满
f○g:R→R, g○f(x)=x2+8x+14, 非单,非满
g,h是双射,有反函数,
g-1:R→RLeabharlann Baidu g-1(x) = x-4,
h-1:R→R, h-1(x) = 3 x + 1
#
《集合论与图论》第13讲
《集合论与图论》第13讲
5
习题讲解(#6)
39. 题目: A={1,2,3,4}, π={ {1,2,3},{4} }.
(1) Rπ=E{4}∪E{1,2,3} ={<1,1>,<2,2>,<3,3>,<4,4>,<1,2> ,
<2,1> ,<2,3> ,<3,2> ,<1,3> ,<3,1>}
(2) π1= { {1},{2,3},{4} }, Rπ1=…, A/Rπ1=π1,
15
作业讲解(#7)
19. (1) f(A1) = {1,2,3} f -1(B1) = {4,0,5,6}
(2) g(A2) = N g -1(B2) = { 2k+1 | k∈N } ∪ {6}
(3) f是双射, f有反函数
4, x=0
f -1:N→N, f -1(x) = x-1, x=1,2,3,4
《集合论与图论》第13讲
23
习题课(补充题)
| A1 ∪A2 ∪L ∪An |
= C1n (n −1)!−C2n (n − 2)!+C3n (n −3)!−L + (−1)n−11
= n!− n!+ n!−L + (−1)n−1 n!
2! 3!
(n −1)!
= n!(1− 1 + 1 −L + (−1)n−1 1 )
《集合论与图论》第13讲
10
习题讲解(#6)
52. 利用哈斯图. 5类19种. 1 + 6 + 6 + 3 + 3 = 19
《集合论与图论》第13讲
11
作业讲解(#7)
p104, 习题三, 11,15,16,19,20 11.(25.) g(b)=f -1({b}) ∧ f满射 ⇒ g(b)≠∅.
矛盾! #
a1
b1
g
f
a2
b2
f(b1)= f(b2)
A
B
C
《集合论与图论》第13讲
17
作业讲解(#7)
20.(2)证明: (反证) 设g非满射, 则∃b∈B-ran g, 考虑f(b)∈C. f○g满射 ⇒ ∃a∈A, f○g(a)=f(g(a))=f(b), f单射⇒ g(a)=b ⇒ b∈ran g, 矛盾! #
b1≠b2 ⇒ g(b1)∩g(b2)=∅ ∧ g(b1)≠∅ ∧ g(b2)≠∅ ⇒ g(b1)≠g(b2)
∴ g单射. #
《集合论与图论》第13讲
12
作业讲解(#7)
15. (1) N/R1 = { {n} | n∈N }
N/R2 = { {2k|k∈N}, {2k+1|k∈N} }
N/R3 ={ {3k|k∈N},{3k+1|k∈N},{3k+2|k∈N} }
π2= { {2},{1,3},{4} },
π3= { {3},{1,2},{4} }
π4= { {1},{2},{3},{4} }, π5=π. #
《集合论与图论》第13讲
6
习题讲解(#6)
47.最长链长度为5, 有4条:
{1,2,6,18,54}, {1,3,6,18,54},
{1,3,9,18,54}, {1,3,9,27,54},
对“长度”,“面积”,“积分”等概念的推广.
《集合论与图论》第13讲
25
习题课(二.10)
习题二.10,14,34 10. 设R是非空集合A上的二元关系, 证明:
fld R = UUR 证明: U<x,y>=U{{x},{x,y}}={x,y},
UUR=UU{<x,y>|xRy}=UU{ {{x},{x,y}} |xRy}
《集合论与图论》第13讲
2
习题讲解(#5)
28. (“m≤n”应改为“m<n”, 否则m=n=0)
m=0,n=15. (许多人m=1,n=16, 忘记了R0=IA) 利用27题, 周期15 = lcm(3,5)
a
d
e
h
b
c
f
g
《集合论与图论》第13讲
3
习题讲解(#5)
29. r( R )=R∪{<d,d>,<c,c>} s( R )=R∪{<b,a>,<d,c>} t( R )=R
a
d
b
c
t( R )=R
a
d
b
c
r( R )
《集合论与图论》第13讲
a
d
b
c
s( R )
4
习题讲解(#6)
p84, 习题二, 35,39,47,50,52 35. R对称: xRy
⇒ xRy ∧ xRx (R自反) ⇒ yRx R传递: xRy ∧ yRz ⇒ yRx ∧ yRz (R对称) ⇒ xRz
《集合论与图论》第13讲
22
习题课(补充题)
补充题: 一条船上有n个水手,每人有一间 自己的舱房, 一次这n个水手喝醉了酒,每 人随便住进一间舱房, 问:至少有一个水 手住进自己舱房,共有多少种情况?
解: E={x|x是一种住宿情况}, |E|=n!. Ak={x|x是第k个水手住进自己舱房的情况}, |Ak|=(n-1)!, |Ak∩Ah|=(n-2)!, …... 由容斥原理, 可得:
x, x≥5
#
《集合论与图论》第13讲
16
作业讲解(#7)
20.(1)证明: ∀b1,b2∈B, 设b1≠b2, 要证 f(b1)≠f(b2). (反证)设f(b1)=f(b2),
g是满射 ⇒ ∃a1,a2∈A, g(a1)=b1∧g(a2)=b2.
f○g(a1)=f(g(a1))=f(b1)=f(b2)=f(g(a2))= f○g(a2) ∧ f○g是单射 ⇒ a1=a2 ⇒ b1=b2,
(1)~R1; (2)R1-R2; (3)r(R1-R2); (4)R1○R2. 解: 都不是.
(1) (2)非自反; (3)非传递; (4)非对称 (3) (4)反例:
π1={{a,b,c},{d}}, π2={{a},{b,c,d}}. #
《集合论与图论》第13讲
29
习题课(三.1)
习题三.1,3,17,23,24 1. 3.
54 18
至少划分为5个不相交的反链: 6
27
{{54},{18,27},{6,9},{2,3},{1}} 2
9 3
至多划分为8个不相交的反链: 1
{{1},{2},{3},{6},{9},{18},{27},{54}}
《集合论与图论》第13讲
7
习题讲解(#6)
50. (1) R自反: ∀x∈A, ∀y∈B, x∈A ∧ y∈B
《集合论与图论》第13讲
20
习题课(一.19)
19. 设A={{A},{A,B}}, 计算 (1)UUA; (2)∩∩A; (3)∩UA∪( UUA-U∩A). 解: (1) UA={A}∪{A,B}={A,B};
UUA=U{A,B}=A∪B (2) ∩A={A}∩{A,B}={A}; ∩∩A=∩{A}=A; (3) ∩UA=∩{A,B}= A∩B, U∩A=U{A}=A, 原式=(A∩B)∪((A∪B)-A)=(A∩B)∪(B-A)=B.
#
《集合论与图论》第13讲
21
习题课(一.29)
29. 设A,B是非空集族,且A∩B≠∅,证明: (∩A)∩(∩B)⊆∩(A∩B).
证明: ∀x, x∈(∩A)∩(∩B) ⇔ x∈(∩A)∧x∈(∩B) ⇔ ∀y(y∈A→x∈y)∧∀y(y∈B→x∈y) ⇔ ∀y((y∈A→x∈y)∧(y∈B→x∈y)) ⇔ ∀y((y∈A∨y∈B)→x∈y) ⇔ ∀y((y∈A∪B)→x∈y) ⇔ x∈∩(A∪B) ⇒ x∈∩(A∩B), ∴ (∩A)∩(∩B)⊆∩(A∩B). #
第13讲 习题课
1. 作业讲解 2. 习题课
《集合论与图论》第13讲
1
习题讲解(#5)
p83, 习题二, 27, 28, 29
27. OK. 利用fldR1∩fldR2=∅ ⇒ R1○R2=∅, R2○R1=∅, R1i○R2j=∅, R2i○R1j=∅, i,j∈N+.
《集合论与图论》第13讲
xRy∧yRx→x=y ⇔ xRy∧x≠y→¬yRx
《集合论与图论》第13讲
9
习题讲解(#6)
50. (3) R传递: ∀x1,x2,x3 ∈A, ∀y1,y2 ,y3 ∈B, <x1,y1>R<x2,y2> ∧ <x2,y2>R<x1,y1>
∧ <x3,y3>R<x3,y3> ⇔ x1R1x2 ∧ y1R2y2 ∧ x2R1x3 ∧ y2R2y3 ⇒ x1R1x3 ∧ y1R2y3 ⇒ <x1,y1>R<x3,y3>. #
=U{ {x},{x,y} | xRy }={ x, y | xRy }
={ x | ∃y(xRy) } ∪ { y | ∃x(xRy) }
= dom R ∪ ran R = fld R. #
《集合论与图论》第13讲
26
习题课(二.14)
14. 设R是非空集合A上的二元关系, 若
∀x,y,z∈A, (xRy∧yRz)→¬xRz, 则说R是反传递的. (1) 举例; (2)证明: R反传递 ⇔ R2∩R=∅. 解: (1) (1a) R⊆N×N, xRy ⇔ y=x+,
《集合论与图论》第13讲
19
习题课(一.18)
18. 设B={{1,2},{2,3},{1,3}, {∅}}, 计算 (1) UB; (2) ∩B; (3)∩UB; (4) U∩B.
解: (1) UB={∅,1,2,3}; (2) ∩B={1,2}∩{2,3}∩{1,3}∩{∅}=∅; (3) ∩UB=∩{∅,1,2,3}=∅; (4) U∩B=U∅=∅. #