单辉祖工力-12弯曲变形

梁段交接处位移应满足 的条件－位移连续条件
利用位移边界条件与连续条件确定积分常数
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积分法求梁位移
A =?
EI = 常数
FAy FBy Me/l
建立挠曲轴近似微分方程并积分
M(x)Me x
l
d2w dx2

Me EIl
x
dwMe x2C (a) dx 2EIl wMe x3C xD (b)
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§1 引 言
弯曲变形特点 挠度与转角
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弯曲变形特点
挠曲轴
变弯后的梁轴，称为挠曲轴 挠曲轴是一条连续、光滑曲线 对称弯曲时，挠曲轴为位于纵向对称面的平面曲线 对于细长梁，剪力对弯曲变形影响一般可忽略不计
因而横截面仍保持平面，并与挠曲轴正交
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挠度与转角
转角
－挠度
挠度－横截面形心在垂直于梁轴方向的位移
ww(x)－挠曲轴方程
转角－横截面的角位移
(x)－转角方程
挠度与转角的关系
（忽略剪力影响）
' tan'dw（小变形）
dx
d w （rad） dx
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§2 梁变形基本方程
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挠曲轴近似微分方程
w
1w2
3/2M E(xI)
小变形时： w2<<1
d2wM(x) －挠曲轴近似微分方程
dx2
EI
d2w dx2

M(x) EI
应用条件：
smaxsp 小变形 坐标轴 w 向上
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坐标轴 w 向下时：
d2w- M(x)
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理论依据
EIddx2w2 M(x) （小变形,比例极限内）
M (x ) M F (x ) M q (x )
挠曲轴微分方程 挠曲轴近似微分方程
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挠曲轴微分方程
1Βιβλιοθήκη Baidu M （纯弯）
EI
（推广到非纯弯） 1 M(x) (x) EI
1 w
(x) 1w2
3/2
w
1w2
3/2M E(xI)
－挠曲轴微分方程
w－弯矩引起的挠度 smax < sp
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例 3-2 建立挠曲轴 微分方程，写出边界条件，EI = 常数
FAy

qa 2
FBy

3qa 2
解：1. 建立挠曲轴近似微分方程
AB段:
d2w1 dx12
2qEaIx1
CB段:
2. 边界条件与连续条件
d2w2 dx22
2Eq Ix22
位移边界条件：
位移连续条件：
在 x10处w 1， 0 在 x1a处w 1， 0
第 十二 章
弯曲变形
第 12 章 弯曲变形
本章主要研究：
弯曲变形基本方程 计算梁位移的方法 简单静不定梁分析 梁的刚度条件与设计
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第 12 章 弯曲变形
§1 引言 §2 梁变形基本方程 §3 计算梁位移的积分法 §4 计算梁位移的叠加法 §5 简单静不定梁 §6 梁的刚度条件与合理设计
dx2
EI
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§3 计算梁位移的积分法
挠曲轴微分方程的积分与 边界条件
积分法求梁位移 挠曲轴的绘制 例题
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挠曲轴微分方程的积分与边界条件
d2w M(x) dx2 EI
dw M(x)dxC
dx EI
w M (x)dxC xD EI
约束处位移应满足的 条件－位移边界条件
绘制依据
满足基本方程
w M(x) EI
满足位移边界 条件与连续条件
绘制方法与步骤
画M图 由 M 图的正、负、零点或零值区，确定挠曲轴的
凹、凸、拐点或直线区，即确定挠曲轴的形状
由位移边界条件确定挠曲轴的空间位置
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例题
例 3-1 用积分法求梁的最大挠度，EI =常数
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在 x 1 x 2 a处 w 1 ， w 2
在x1x2a处， ddwx11
dw2 dx2
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例 3-3 绘制挠曲轴的大致形状
FF==qqaa
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§4 计算梁位移的叠加法
叠加法 逐段分析求和法 例题
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方法
叠加法
在 x2l处w 2， 0 在x1x2a处d ， w 1 /d x 1 d w 2 /d x 2
D1D20 C1C26F EbI(bl2l2)
3. 最大挠度分析 当 a > b 时 发生在AC段
w1F 6lE b 1(x x I1 2b2l2)
dw1 0 dx1
f -F9b(l23-lbE2)I3/2（）
FAy

Fb l
FBy

Fa l
解：1. 建立挠曲轴近似微分方程并积分
AC段
CB段
d2w1 dx12

Fb EIl
x1
ddwx112FEbIxl12C1
w16F EbIx13lC1x1D1
dd2xw222E FIbx2lE F(Ix2a) d d w x2 22F Ex b I2 2 l2F E(x I2a)2C 2 w 2 6 F Ex 2 3 b I 6 lF E (x 2 I a )3 C 2 x 2 D 2
6EIl
利用边界条件确定积分常数
在 x0处w ， 0(1)由条件 (1), (2) 与式 (b) ，得
在 xl处w ， 0(2) D0, CMel
计算转角
6EI
dwM e(3 x2l2)
dx 6EIl
A
(0)-Mel（）
6EI
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挠曲轴的绘制
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w16F EbIx13lC1x1D1 w 2 6 F Ex 2 3 b I 6 lF E (x 2 I a )3 C 2 x 2 D 2
2. 确定积分常数
位移边界条件：
位移连续条件：
在 x10处w 1， 0
在 x 1 x 2 a处 w 1 ， w 2
wA ?
分解载荷 分别计算位移 求位移之和
wA,F
Fl3 3EI
( )
wA,q
ql4 8EI
( )
wAwA,FwA,q3FE3lI8qEl4 I()
当梁上同时作用几个载荷时，任一横截 面的总位移，等于各载荷单独作用时在 该截面引起的位移的代数和或矢量和
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