第12章_平稳随机信号

自相关函数描述了随机信号 X (n) 在 n1 和 n2 时刻的关系，是描述随机信号最重要的统计量。 如果：
n1 n2 n
rX (n1 , n2 ) E X (n)
则 6. 互相关函数


2
D ( n)
2 X
2
covX (n1, n2 ) E X (n) x (n)

X(t)
A=2.0639 A= 1.7235 A=1.2631 A=0.6004 A=0.1109
0 -0.5 -1 -1.5 -2 20 40 60 80 100 t 120 140 160
180
200
4
均匀分布
X(t)=a*Sin(2*pi*f*t+fai) fai=1.5961 fai=1.0252 fai=2.4096 0.5
i
矩阵
18
协方差矩阵
12 cov X 1 , X 2 cov X 1 , X N 2 cov X 2 , X 1 2 cov X 2 , X N 2 N cov X N , X 1 cov X N , X 2
39
例1
随机相位正弦波
所以 X (n) 是宽平稳的
40
例2
随机幅度正弦波
x (n) E A sin( n)
E A sin( n) 0
rx (n1 , n2 ) E A sin( n1 ) A sin( n2 ) E A sin( n1 ) sin( n2 )
42
例4 白噪声信号
j
u (n) ，特点（定义）：
2
Pu (e ) , ~
自相关函数有如下特点：
平的谱
白噪声中任意两点都不相关！
43
例5 多正弦加白噪声：
L
r x (m) A exp j k m (m)
2 k 2 u k 1
L
Px ( ) 2 A k ( k )
2 X (n)
rxy (n1 , n2 ) E X (n1 )Y (n2 )

25
7. 互协方差函数
covxy (n1, n2 ) E X (n1 ) x (n1 ) Y (n2 ) y (n2 )



如果：
covxy (n1, n2 ) 0
33
功率谱的定义： 的一个样本；
有限长时间序列，可以做傅里叶变换：
34
时域功率
定义
频域功率
因为： 所以： 的功率谱
35
PX (e ) E Pi (e ) , i Z
j j

功率谱 P (e j ) lim M 定义1： X
E X M (e ) 2M 1

j
2
2
2 sin( n1 ) sin( n2 )
所以 X (n) 不是宽平稳的
41
例3 多随机相位正弦波的和
仍然是宽 平稳的
Ak rx (m) cos( k m) k 1 2
L
L
2
线谱
Px (e )
k 1
j
A
2
2
k
( k ) ( k )
第12章平稳随机信号
12.1 随机信号及其特征描述 12.2 平稳随机信号 12.3 平稳随机信号通过线性系统 12.4 平稳随机信号的各态遍历性 12.5 平稳随机信号应用举例
1
确定性信号： 信号随时间变化具有规律性，可以准 确预测，可以用某一明确的数学关系描述; 随机信号: 信号随时间变化不具有明确的规律性， 不能准确预测，不能用明确的数学关系来 描述。现实中的信号绝大部分是随机信号; 研究方法：统计的方法，“估计”的方法。
样本无穷多，每一个样本的时间无限长！ 所以，随机信号是功率信号！
7
12.1 随机信号及其特征描述
一、随机变量 X
X 取值是离散的
离散型随机变量 (二项式分布，泊松分布）
X 取值是连续的
连续型随机变量 （均匀分布，高斯分布）
8
随机变量的描述： 1. 分布函数和概率密度：
0 P( x) 1 P() 0 P ( ) 1 if x y then P( x) P ( y )
*
实际中的大部分信号都可看作 是宽平稳的。处理方便。
28
几个概念：
1. 若 则 X (n) 严（狭义）平稳， 统计特性不随时间变化。
2. 若
p X ( x1 , x2 ; n1 , n2 ) p X ( x1 , n1 ) p ( x2 , n2 )
则 X (n1 ), X (n2 ) 相互独立 3. 若 则 X (n1 ), X (n2 ) 不相关
m : even m : odd
17
3
4 X
4 X
高斯分布的峰度为零
二、随机向量
X X 1 , , X N , μ X , , x x N 1
随机向量 均值向量
T T
X 的每一个元素 x1 , , xN 都是随机变量，
均值： 方差：
x E xi , i 1, 2, , N

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功率谱原始定义，包含了求均值和求极限两个运 算，即：既要求时间平均，又要求集总平均。
功率谱 定义2：
维纳—辛钦定理
定理成立的条件：
37
功率谱的性质：
始终是 的实函数，因此功率谱（二 阶统计量）失去了相位信息； 非负；
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实过程的功率谱是偶对称的。
38
4. 复过程的功率谱不是偶对称的。
定义：
为随机信 号 X ,Y 的 互功率谱
19
三、随机信号
随机信号的特点： 1. 是时间 (t , or n) 的函数； 2. 样本无穷多，持续时间无穷长， 所以，随机信号是功率信号；
20
3. 对任一时刻 t j
xi (t j ), i 1, 2, ,
的集合构成一个随机变量。随着 t j 的变化， 我们会得到无穷多个随机变量。
则 X (n) 为宽平稳（或广义）平稳信号 平稳信号的均值和时间无关，为 常数；自相关函数和时间的起点 无关，只和两点的时间差有关。
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由此还可导出：
D ( n) D
2 X
2 X
均方也与时间无关。
两个广义平稳随机信号： 互相关函数 rXY (m) E{ X (n)Y (n m)] 互协方 cov (m) E{[ X (n) ]*[Y (n m) ] XY X Y 差函数

X, Y 不相关
两个信号不相关，有：
rxy (n1 , n2 ) E X (n1 )Y (n2 ) E X (n1 ) E Y (n2 ) x (n1 ) y (n2 )

两个信号相互独立，有
p ( x, y ) p ( x ) p ( y )
26
12.2 平稳随机信号
13
两个随机变量： 协方差函数
14
常用随机变量:
1.均匀分布：
例1
若 X 是在 [a, b] 上服从均匀分布的
实随机变量, 则
ab X 2
(b a) 2 X 12
15
2
p( x)
x
a
b
若 X 是离散型随机变量，且取
0,1, , n
的概率都相等，则 X 为离散均匀分布的随 机变量。
5. 令自相关矩阵
则：
det RM 0
非负定
自相关矩阵的这一性质在信号处理 中有着重要的应用
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6. 功率谱密度 PSD
即随机信号是功率信号 无法做傅里叶变换。那么，对随机信号，如何 实现频谱分析？一般的方法，不是对信号直接 进行傅立叶变换，而是对信号的自相关函数作 傅立叶变换，这时得到的不再是频谱，而是功 率谱（Power Spectrum Density, PSD)。
1 lim N N
5. 自协方差函数
N
x (n , i ) x(n , i )
1 2 i 1

*
covX (n1, n2 ) E X (n1 ) X (n1 ) X (n2 ) X (n2 )


1 N lim [x(n1, i) X (n1 )]*[ x(n2 , i) X (n2 )] N N i 1 24
1 lim N N
N
x ( n, i )
i 1
2. 方差：
时 间 的 函 数
23
3.均方
1 D (n) E{ X (n) } lim N N
2 X 2
N
2
x(n, i)
i 1
4.自相关函数
rX (n1 , n2 ) E X (n1 ) X (n2 )

斜度（skewness），无量纲，用来 评价分布函数相对均值的对称性。
4 X 1 4 X Kurtosis E 3 4 X 3 X X 峰度，无量纲，表征分布函数在均值处的峰值 特性。减3是为了保证正态分布的峰度为零。
p( x) 0



p ( x) d x 1
b
P (b) P(a ) p( x) d x
a
9
2. 数字特征：
（1）均值： X E X
求均值运算



xp ( x)dx
（2）方差：
E