空间坐标法解立体几何专题

d PO |=| PA|cos=二

| PA | | n | | cos ：： PA,

n |

分析：如何求平面的一个法向量n坐标?

例1 (2011届景德镇市二检卷文19)正四棱柱ABCD - A, B.GD,中，底面边长为6,侧棱

和平面垂直的判定定理，知道只要和两个不共线的向量垂直即可，在本题中可推出法向量n 根据法向量的含义，法向量和平面垂直，故法向量和平面内任何一条直线都垂直，根据直线

和平面垂直的判定定理，知道只要和两个不共线的向量垂直即可，在本题中可推出法向量n 丄B1E，n丄QF ,所以n ■ BjE = 0 , n BF = 0 ,由于B1坐标为（6，6,4），E坐标为

（3, 6, 0）, F坐标为（6, 3, 0）,所以BE的坐标为：（—3 , 0 , - 4 ）, B J F的坐标为：

一3x - 4z = 0

（0 , -3 , -4 ）,利用坐标法，得到：」,由于法向量有长有短，方向可以

_3y _4z = 0

朝上，还可以朝下，所以法向量有无数多个，但法向量不可以是零向量，故z不能取0 ,为简单起见，可取z=3,得：x = -4, y = -4,所以法向量n = （-4, - 4 , 3）代入公式d」DlBl n|，得点D i到平面B I EF的距离为：

|n|

J6 （-4） 6 （4） 0 3| = 48 = 48 41

d

/ _4）2 +（旳2 +32 V41 41片

例 2 （2010 全国卷一6）直三棱柱ABC - 中，若.BAC = 90 , AB = AC = AA1,

则异面直线BA与AG所成的角等于（）

A.30 °

B. 45 °

C. 60°

D. 90

知识点：怎样用向量表示两条异面直线所成的角？

| a b | cos 二| cos ：：a , b |

|a||b|

例2解：怎样用坐标法求两条异面直线所成的角?

解答例2 :

如图建立空间坐标系，设异面直线BA与AC1所成的角为-,

| BA1 ・AC1 |

和平面垂直的判定定理，知道只要和两个不共线的向量垂直即可，在本题中可推出法向量n 则cos - -，设AB= a，易求点B坐标：（0 , a ,

| BA1 || AC1 |

点A坐标：（0 , 0 , a）,点A坐标：（0, 0, 0），点C1坐标：

(a , 0 , a),所以

BA)— (0 , - a , a), AG = (a , 0 , a)

a |0x:a—a:<0 + a:

cos = = 2

2a 2

V。2十(_a)2 +a2 Ja2 +02 +a2

- 60

故选C

例3 （2010江西卷20）如图，.'BCD 与 MCD 都是边长为2的正三角形，平面MCD _平 面 BCD ， AB _平面 BCD ， AB =2、3.

（1） 求直线AM 与平面BCD 所成的角的大小； （2） 求平面ACM 与平面BCD 所成的二面角的正弦值

知识点：怎样用向量表示直线和平面所成的角? 见右下图，设直线 PA 和平面a 所成的角为0，则

，而一 PAO 可看成向量PA 和向量PO 的夹角，n 为平面

PA 和向量 PO 的夹角相

一一

一 r 一

X -

等或互补，即:::PA , PO • =：： PA , n •或二一 ::PA , n •，所以

量，显然n 与向量 PO 共线，故法向量n 和向量PA 的夹角与

sin v - sin(90‘ 一/APO)

=cos /APO

=cos ：： PA , PO

=| cos ： PA , n | | PA n | | PA|| n|

例3解：怎样用坐标法求直线和平面所成的角？ 例3的第（1 ）问

如图建立空间坐标系，设直线 AM 与平面BCD 所成的角的大小为0, •/ AB —平面 BCD

BA 是平面BCD 的一个法向量

故si.”皿空 | AM ||BA|

点 A 坐标：(0, 0, 2 3 )

9

的一个法向

A

LJ

设二面角平面角的大小为 B ,则9 =:::门！ , r 2 •或B -二-:::ni , r 2 •

例3解：怎样用坐标法求二面角的大小？ 例3的第（2）问

求平面ACM 与平面BCD 所成的二面角的正弦值•

分析：容易知道平面 BCD 的一个法向量为 厲=（0, 0, 1） 所以只要求平面ACM 的法向量坐标即可。

设平面ACM 的法向量r 2 =（x , y , z ），由r 2丄AC ,

r 2 丄 AM 可得 r 2 • AC =0 , r 2 • AM =0 , 而 A (0, 0

, 23

),

M

(

|,子，3), C(1, 3 0)

点M 坐标： (?, —, 3 )

（注明：先作 M0丄CD 于0,过点C 作CE 丄BD 于E , CG 丄y 轴于G ,过点0作0F 丄BD 于F , 0H 丄y 轴于H ，再利用坐标定义求出点 M 坐标） 于是 AM =(3 , —，-、3 ), BA 二(0, 0, 2 3)

2 2

|

2。子 °「3 2 31

6

(2)2

(；)2

(- 3)2

「02

一0厂(2・3)

2

6 12

••宀-45

知识点：怎样用向量表示二面角平面角？

如图：PA 丄平面a , PB 丄平面3，贝U PA 丄l , PB 丄l , 所以丨丄平面PAB 设平面PAB 向四周延展后交丨于点C ,并 连CA 、CB ,则有：CA 丄l , CB 丄l ，故/ ACB 是二面角 平面角；

另一方面，四边形 PBCA 内角和等于360°,而

/ CBP = / CAP=90，所以二面角平面角/ ACB 与/ APB 互补作向量 PB ,向量PA ,则/ APB 等于向量 PB 、向量 PA 的夹角

设m 、n 2分别是平面a 、3的法向量，它们的夹角

点B 坐标：（0, 0, 0） 2 2

:, n 2 •与：::PA , PB •相等或互补