中考复习专题练习,几何探究题类型归纳试题及答案

2020·数学·中考
专题五 几何探究题
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【归纳猜想】
（3）图1、图2中“叠弦角”的度数分别为,
;
(4)图n中，“叠弦三角形”
等边三角形（填“是”或“不是”）；
（5）图n中，“叠弦角”的度数为
(用含n的式子表示).
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专题五 几何探源自文库题
解：(1)选择题图1. 证明：依题意得∠DAD′=60°,∠PAO=60°. ∵∠DAP=∠DAD′-∠PAD′=60°-∠PAD′, ∠D′AO=∠PAO-∠PAD′=60°-∠PAD′, ∴∠DAP=∠D′AO.∵∠D=∠D′,AD=AD′, ∴△DAP≌△D′AO,∴AP=AO, ∴△AOP是等边三角形.
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专题五 几何探究题
在图2中，易得∠EBF=∠ABD=45°, ∴∠EBF-∠ABF=∠ABD-∠ABF,即∠ABE=∠DBF.
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4.将一个矩形纸片ABCO放置在平面直角坐标系中，已知A（ 3 ,0）,
C(0,1),O(0,0).点P是对角线AC上的一个动点（不与点A,C重合）.沿直线 OP折叠该纸片，点A的对应点为点A1. （1）如图1，当点A1落在BC边上时，求点A1的坐标; （2）如图2，当点P运动到什么位置时，△A1CP是等边三角形？并说明 理由;（3）如图3，当点A1落在y轴上时，求CP的长.
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示例2 (2018·宜春模拟)在四边形ABCD中，E为 AB边上的一点，F为对角线BD上的一点，且 EF⊥AB. (1)若四边形ABCD为正方形.①如图1，请直接写出 AE与DF的数量关系 DF= AE ；②将△EBF 绕点B逆时针旋转到如图2所示的位置，连接AE,DF, 猜想AE与DF的数量关系并说明理由.
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（2）当点P运动到AC中点时，
△A1CP是等边三角形.理由如下： 当点P运动到AC中点时，CP=PA=PO=1/2AC.
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专题五 几何探究题
类型 1 新定义型探究问题
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［方法特点］在材料中，为问题的提出设置一种背 景，如新定义，新定理，新运算.解决此类问题要仔 细阅读题目所提供的新定义、新定理或新运算的内 容，通过对材料信息的分析、提炼，再运用所分析、 提炼的结果或题目所提供的运算法则解决新问题.
∴HM∥BN,∴AN/HN=AO/OM,
∴AO/OM=2,即OA=2OM.
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（3）如右图，当AE=13AD时，连接BD交AC于点
Q，过点Q作AD的垂线交AD于点F,交MD于点P，
连接MF.易得△AME∽△CMB，
∴AM/CM=AE/CB=AE/AD.
∵∠GAC=∠BAE=90°，
∴∠GAB=∠CAE.
又AG=AC，AB=AE，
∴△GAB≌△CAE，∴∠AGN=∠ACM.
∵∠CNM=∠ANG，∴∠CMN=∠NAG=90°，
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∴BG⊥CE，即四边形CGEB是垂美四边形. ∴CG2+BE2=BC2+GE2. ∵AC=4，AB=5，∠ACB=90°， ∴BC2=52-42=9. ∵四边形ACFG和四边形ABDE均为正方形， ∴CG2=42+42=32，BE2=52+52=50. ∴32+50=9+GE2，∴GE2=73，∴GE=
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几何探究题是近10年的必考题型，题位在解答题最后两道 中的一道.考查类型有：（1）新定义型探究问题；（2）变 换型探究问题；（3）动点探究问题. 题目中主要设问有：（1）求线段长度；（2）判断图形的 形状；（3）求角度；（4）判断两条线段的数量和位置关 系并证明.（5）条件变化后，证明结论是否仍然成立.
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∴OC=OD′，∴BC-OC=E′D′-OD′,
即BO=E′O.∵AB=AE′,∠B=∠E′,
∴△ABO≌△AE′O,∴∠OAB=∠OAE′.
（3）15° 24°
（4）是
（5）
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类型 2 变换型探究问题
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［方法特点］特征与方法：几何变换型探究性问题是以几何知识和具体 的几何图形为背景，通过图形的平移、翻折、旋转等把图形的有关性质 和图形之间的数量关系位置关系看作是在变化的、相互依存的状态之中， 要求对变换过程中伴随的数量关系和图形的位置关系等进行探究.解决这 类问题，要善于发现全等三角形、等边三角形、直角三角形和相似三角 形,或添辅助线构造全等三角形、等边三角形、直角三角形和相似三角形， 运用全等三角形来证明，运用勾股定理、相似三角形和锐角三角函数来 计算.
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2.【图形定义】如图，将正n边形绕点A顺时针旋转60°后，发现旋转前 后两图形有另一交点O，连接AO，我们称AO为“叠弦”；再将“叠 弦”AO所在的直线绕点A逆时针旋转60°后，交旋转前的图形于点P， 连接PO，我们称∠OAB为“叠弦角”，△AOP为“叠弦三角形”. 【探究证明】 （1）请在图1和图2中选择其中一个证明：“叠弦三角形”（即△AOP） 是等边三角形； （2）如图2，求证：∠OAB=∠OAE′.
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解：(1)等边三角形
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD=CD=BC=AB,∠A=∠B=∠C=90°.
∵DE=DF,∴Rt△ADE≌Rt△CDF,∴AE=CF,
∴BE=BF,∴△BEF是等腰直角三角形.
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∴∠AED=∠BEC=∠AEB=∠CED=90°， ∴AD2+BC2=DE2+AE2+BE2+CE2， AB2+CD2=AE2+BE2+CE2+DE2， ∴AD2+BC2=AB2+CD2.
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（3）连接CG，BE.
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(2)证明：如图，连接AC,AD′,CD′. ∵AE′=AB,∠E′=∠B=108°,E′D′=BC, ∴△AE′D′≌△ABC, ∴AD′=AC,∠AD′E′=∠ACB. 由AD′=AC,得∠AD′C=∠ACD′, ∴∠OD′C=∠OCD′,
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题意知N,M分别为AB,BC的中点，
∴GM为△BNC的中位线，且AN=2GN,
∴GM∥CN,
∴AN/GN=AO/OM,
∴AO/OM=2,即OA=2OM.
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（2）成立.理由：取CN的中点H，连接HM.由题意
知N，M分别为AC,BC的中点，
∴MH为△CBN的中位线，且AN=2HN,
∵AE=1/3AD=1/3BC,
∴AM=1/3MC.
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又AQ=QC,∴AM=1/2AQ，即M是AQ的中点.
∵AQ=DQ,且QF⊥AD,
∴F是AD的中点，
∴DF=4,QF=1/2AB=6.
由（2）的结论可知FP=1/2QP=1/3QF=2,
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变式训练
1.如图1，我们把对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形. （1）概念理解：如图2，在四边形ABCD中，AB=AD，CB=CD，问四 边形ABCD是垂美四边形吗？请说明理由. （2）性质探究：试探索垂美四边形ABCD两组对边AB，CD与BC，AD 之间的数量关系. 猜想结论：（要求用文字语言叙述）
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示例1（2018·景德镇模拟）数学活动课上，李老师给出了如下定义： 三角形的三条中线交于一点，且把每条中线分成2∶1的两部分，我们称 为中线长定理. 特例发现（1）如图1，若△ABC为等边三角形时，AM,CN分别为BC,AB 边上的中线且交于点O，求证：OA=2OM. 深入探究（2）如图2，若△ABC为任意三角形，AM,BN分别为BC,AC边 上的中线且交于点O，则（1）中的结论是否成立，并说明理由.
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变式训练
3.如图（1）， 边长为4的正方形ABCD中， 点E在AB边上（不与点A,B重合），点F在BC边上（不与点B,C重合）. 第一次操作：将线段EF绕点F顺时针旋转，当点E落在正方形上时，记 为点G； 第二次操作：将线段FG绕点G顺时针旋转，当点F落在正方形上时，记 为点H； 依此操作下去……
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选择题图2. 证明：依题意得∠EAE′=60°,∠PAO=60°. ∵∠EAP=∠EAE′-∠PAE′=60°-∠PAE′, ∠E′AO=∠PAO-∠PAE′=60°-∠PAE′, ∴∠EAP=∠E′AO.∵∠E=∠E′,AE=AE′, ∴△EAP≌△E′AO,∴AP=AO, ∴△AOP是等边三角形.
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（2）①正方形AE=BF
②∵AE=x,∴BE=4-x.
∵在Rt△BEF中，EF2=BE2+BF2,
∴y=(4-x)2+x2=2x2-8x+16(0<x<4).
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∵y=2x2-8x+16=2(x-2)2+8, ∴当x=2时，y取得最小值8； 当x=0时，y=16, ∴y的取值范围是8≤y<16.
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（1）图（2）中的△EFD是经过两次操作后得到的，其形状 为 等边三角形 ，求此时线段EF的长; （2）若经过三次操作可得到四边形EFGH. ①请判断四边形EFGH的形状为 正方形 ,此时AE与BF的 数量关系是 AE=BF ； ②以①中的结论为前提，设AE的长为x,四边形EFGH的面积 为y，求y与x的函数关系式及面积y的取值范围.
解：（1）四边形ABCD是垂美四边形. 理由：∵AB=AD， ∴点A在BD的垂直平分线上. ∵CB=CD，∴点C在BD的垂直平分线上， ∴AC是BD的垂直平分线，即AC⊥BD， ∴四边形ABCD是垂美四边形.
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（2）猜想结论：垂美四边形两组对边的平方和相等. 已知：如图，在四边形ABCD中， 对角线AC⊥BD，垂足是点E. 求证：AD2+BC2=AB2+CD2. 证明：∵AC⊥BD，
写出证明过程（先画出图形，写出已知，求证）.
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（3）问题解决：如图3，分别以Rt△ACB的直角边AC和斜 边AB为边向外作正方形ACFG和正方形ABDE，连接CE， BG，GE.已知AC=4，AB=5，求GE的长.
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（2）若四边形ABCD为矩形，BC=mAB.①如图3，猜想AE与DF的数量 关系并说明理由;②将△EBF绕点B顺时针旋转α(0°<α<90°)得到△E′BF′， 连接AE′，DF′，请在图4中画出旋转后的图形，并直接写出AE′和DF′的 数量关系.
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拓展应用(3)在矩形ABCD中，AB=12,AD=8,E为 AD的三等分点，连接BE与对角线AC交于点M，连 接DM，请用以上结论求出DM的长.
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［解答］（1）证明：取BN的中点G，连接GM.由