空间几何体的结构及练习题

§1－2空间几何体的结构

【知识要点】

1．简单空间几何体的基本概念：

(1)

(2)特殊的四棱柱：

(3)其他空间几何体的基本概念：

几何体基本概念

正棱锥底面是正多面形，并且顶点在底面的射影是底面的中心

正棱台正棱锥被平行于底面的平面所截，截面与底面间的几何体是正棱台

圆柱以矩形的一边所在的直线为轴，将矩形旋转一周形成的曲面围成的几何体以直角三角形的一边所在的直线为轴，将直角三角形旋转一周形成的曲面围成圆锥

的几何体

以直角梯形中垂直于底边的腰所在的直线为轴，将直角梯形旋转一周形成的曲圆台

面围成的几何体

球面半圆以它的直径为轴旋转，旋转而成的曲面

球球面所围成的几何体

2．简单空间几何体的基本性质：

几何体性质补充说明

棱柱(1)侧棱都相等，侧面是平行四边形(1)直棱柱的侧棱长与高相等，侧面及

(2)两个底面与平行于底面的截面是全等的多边形

(3)过不相邻的两条侧棱的截面(对角面)是平行四边形对角面都是矩形

(2)长方体一条对角线的平方等于一个顶点上三条棱长的平方和

正棱锥(1)侧棱都相等，侧面是全等的等腰三角形

(2)棱锥的高、斜高和斜高在底面上的射影组成一个直角三角形；棱锥的高、侧棱和侧棱在底面上的射影也组成一个直角三角形

球(1)球心和球的截面圆心的连线垂直于截

面

(2)球心到截面的距离d，球的半径R，截

面圆的半径r满足2

2d

R

r-

=

(1)过球心的截面叫球的大圆，不过球

心的截面叫球的小圆

(2)在球面上，两点之间的最短距离，

就是经过这两点的大圆在这两点间

的一段劣弧的长度(两点的球面距离)

3．简单几何体的三视图与直观图：

(1)平行投影：

①概念：如图，已知图形F，直线l与平面α 相交，过F上任意一点M作直线MM1平行于l，交平面α 于点M1，则点M1叫做点M在平面α 内关于直线l的平行投影．如果图形F上的所有点在平面α 内关于直线l的平行投影构成图形F1，则F1叫图形F在α 内关于直线l的平行投影．平面α 叫投射面，直线l叫投射线．

②平行投影的性质：

性质1．直线或线段的平行投影仍是直线或线段；

性质2．平行直线的平行投影是平行或重合的直线；

性质3．平行于投射面的线段，它的投影与这条线段平行且等长；

性质4．与投射面平行的平面图形，它的投影与这个图形全等；

性质5．在同一直线或平行直线上，两条线段平行投影的比等于这两条线段的比．

(2)直观图：斜二侧画法画简单空间图形的直观图．

(3)三视图：

①正投影：在平行投影中，如果投射线与投射面垂直，这样的平行投影叫做正投影．

②三视图：选取三个两两垂直的平面作为投射面．若投射面水平放置，叫做水平投射面，投射到这个平面内的图形叫做俯视图；若投射面放置在正前方，叫做直立投射面，投射到这个平面内的图形叫做主视图；和直立、水平两个投射面都垂直的投射面叫做侧立投射面，投射到这个平面内的图形叫做左视图．

将空间图形向这三个平面做正投影，然后把三个投影按右图所示的布局放在一个水平面内，这样构成的图形叫空间图形的三视图．

③画三视图的基本原则是“主左一样高，主俯一样长，俯左一样宽”． 4．简单几何体的表面积与体积： (1)柱体、锥体、台体和球的表面积：

①S 直棱柱侧面积＝ch ，其中c 为底面多边形的周长，h 为直棱柱的高．

②'=ch S 21

正棱锥形面积，其中c 为底面多边形的周长，h ＇为正棱锥的斜高． ③''+=h c c S )(2

1

正棱台侧面积，其中c ＇，c 分别是棱台的上、下底面周长，h ＇为正棱台

的斜高．

④S 圆柱侧面积＝2πRh ，其中R 是圆柱的底面半径，h 是圆柱的高． ⑤S 圆锥侧面积＝πRl ，其中R 是圆锥的底面半径，l 是圆锥的母线长． ⑥S 球＝4πR 2，其中R 是球的半径． (2)柱体、锥体、台体和球的体积：

①V 柱体＝Sh ，其中S 是柱体的底面积，h 是柱体的高． ②Sh V 31

=锥体，其中S 是锥体的底面积，h 是锥体的高． ③)(3

1

'+'+=S SS S h V 台体，其中S ＇

，S 分别是台体的上、下底面的面积，h 为台体的高． ④3

π3

4R V =

球，其中R 是球的半径． 【复习要求】

1．了解柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特征；

2．会画出简单几何体的三视图，会用斜二侧法画简单空间图形的直观图； 3．理解球、棱柱、棱锥、台的表面积与体积的计算公式． 【例题分析】

例1 如图，正三棱锥P －ABC 的底面边长为a ，侧棱长为b ．

(Ⅰ)证明：PA ⊥BC ；

(Ⅱ)求三棱锥P －ABC 的表面积； (Ⅲ)求三棱锥P －ABC 的体积．

【分析】对于(Ⅰ)只要证明BC (PA )垂直于经过PA (BC )的平面即可；对于(Ⅱ)则要根据正三棱锥的基本性质进行求解．

证明：(Ⅰ)取BC 中点D ，连接AD ，PD ． ∵P －ABC 是正三棱锥，

∴△ABC 是正三角形，三个侧面PAB ，PBC ，PAC 是全等的等腰三角形． ∵D 是BC 的中点，∴BC ⊥AD ，且BC ⊥PD ， ∴BC ⊥平面PAD ，∴PA ⊥BC ． (Ⅱ)解：在Rt △PBD 中，,42

1

2222a b BD PB PD -=

-= ∴.44

2122a b a PD BC S PBC -==

⋅∆ ∵三个侧面PAB ，PBC ，PAC 是全等的等腰三角形， ∴三棱锥P －ABC 的侧面积是

.44

322a b a

- ∴△ABC 是边长为a 的正三角形，∴三棱锥P －ABC 的底面积是,432

a ∴三棱锥P －ABC 的表面积为⋅-+=-+)312(4

34434322222a b a a

a b a a (Ⅲ)解：过点P 作PO ⊥平面ABC 于点O ，则点O 是正△ABC 的中心，