新北师大版八年级下第一章三角形的证明全章学案

新北师大版八年级下第一章三角形的证明学案 § 等腰三角形（1） 1．列举我们已知道的公理：
（1）公理：同位角 ，两直线平行。

（2）公理：两直线 ，同位角 。

（3）公理： 的两个三角形全等。

（简称 ，字母表示 ） （4） 公理： 的两个三角形全等。

（简称 ，字母表示 ） （5）公理： 的两个三角形全等。

（简称 ，字母表示 ） （6）公理：全等三角形的对应边 ，对应角 。

2．什么叫做等腰三角形 三角形全等的判定
判定一般的三角形全等还有一种方法是什么
推论: （简写为 AAS ） 等腰三角形的性质定理
等腰三角形性质：等腰三角形的两个 相等（简称：等 对等 ） 探索一：已知：在△ABC 和△DEF 中，∠A=∠D ，∠B=∠E ，AC=DF 求证: △ABC ≌△DEF
证明:
探索二：已知：如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，求证：∠B ＝∠C
探索三：在上图中，若取BC 的中点D ，并连接AD ，那么线段AD 是BC 边上的中线外还具有怎样的性质为什么由此你能得到什么结论
推论:
简述为 三线合一
归纳：
1、在等腰△ABC 中，若AD 是∠A 的平分线，则
2、在等腰△ABC 中，若AD 是BC 边上的高，则
3、在等腰△ABC 中，若AD 是BC 边上的中线，则
知识反馈：如图，△ABC 中，AB ＝AC ，∠ABC 和∠ACB 的角平分线BD 、CE 相交于点O ，求证：∠OBC ＝∠OCB
F
C
C D
A
§等腰三角形（2）
等腰三角形两底角的平分线
②等腰三角形的判定定理
有两个角相等的三角形是 三角形 探索一：等腰三角形两底角的平分线相等吗
1．已知：如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，BD ，CE 是△ABC 的角平分线 求证：BD ＝CE 。

2、求证：等腰三角形两条腰上的中线相等吗
探索二：我们知道等腰三角形的两个底角相等，反过来此命题成立吗由此得到什么结论 证明：等腰三角形判定定理: 有两个 相等的三角形是等腰三角形（简称：等 对等 ）
已知：在△ABC 中，∠B ＝∠C ，证明:AB ＝AC ，
四、知识反馈
1、已知：如图，∠CAE 是△ABC 的外角，AD
§ 等腰三角形（3） 等边三角形的判定定理
有一个角等于 的等腰三角形是等边三角形 ② 300角所对的直角边与斜边关系定理
在直角三角形中，如果一个锐角是300，那么它所对的直角边等于 探索一：有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形 A E D B C
1 2
A B C
探索二：含300角的直角三角形的性质
如图，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，∠A ＝30°， 求证：BC=1/2AB
定理: 在直角三角形中,如果一个锐角等于30o , 那么 知识反馈
1、 证明:三个角都相等的三角形是等边三角形
2、直角三角形的一个角等于30o , 斜边长为4, 用四个这样的直角三角形拼成如图所示,求正方形EFGH 的边长.
3．如图所示，△ABC 中，∠ACB=90°，CD ⊥AB ，垂足是D ，∠A=60°.求证：BD=3AD
§ 直角三角形（1）
1、勾股定理的内容是：_______________ ___
它的条件是：______________________________ 结论是：__________________________________
2、每个命题都是由 ， 两部分组成。

命题“对顶角相等”的条件是 ，结论是 3 勾股定理的逆定理
如果三角形两边的平方和等于 ，那么这个三角形是直角三角形。

② 互逆命题
（1） （2）
B C A B
C
A D
图 1-7C
在两个命题中,如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的______和______，那么这两个命题称为互逆命题，其中一个命题称为另一个命题的逆命题 ③ 互逆定理
如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它也是一个定理，这两个定理称为互逆定理，其中一个定理称为另一个定理的逆定理。

证明定理：如果三角形两边的平方和等于第三条边的平方，那么这个三角形是直角三角形。

已知：（如图）在△ABC 中，AB 2+AC 2=BC 2. 求证：△ABC 是直角三角形。

证明：
(1) （2）
知识运用：1. 如图，BA ⊥DA 于A ，AD = 12，DC = 9，CA = 15，求证：BA ∥DC
2：说出下列命题的逆命题，并判断每对命题的真假。

（1）.全等三角形面积相等
（2）、等边对等角；
（3）、平行四边形的两组对边相等；
3、命题：等腰三角形两腰上的高相等的逆命题是____________________________
4、若一个直角三角形两直角边之比为3：4，斜边长20cm ，则两直角边为___ _
5、已知直角三角形两直角边长分别为6和8，则斜边长为________，斜边上的高为____ _
6、在△ABC 中，已知AB=13cm ，BC=10cm, BC 边上的中线AD=12cm 求证：AB=AC
§ 直角三角形（2）
在一般三角形中，我们已学过了哪些证明三角形全等的方法： 那么在直角三角形中还多了一种方法是： ① 斜边,直角边(HL)定理
斜边和一条直角边 的两个直角三角形全等 把这条定理写成推理格式如下：
A B
A 1
B 2
C 1
D C B A 12915
21E F A
B C D A B C P
M
知识反馈：1如图：已知∠ACB=∠BDA=90°。

要使△ACB ≌△BDA ，还需要什么条件把他们分别写出来，并说明理由。

2：在Rt △ABC 中，∠C = 90°，且DE ⊥AB ，CD = ED ，求证：AD 是∠BAC 的角平分线
3：如图，AD 是∠BAC 的角平分线，DE ⊥AB ，DF ⊥AC ， AB = AC ，
求证：EB = FC
4、判断下列命题的真假，并说明理由
（1）、两个锐角对应相等的两个直角三角形全等; （2）、斜边及一个锐角对应相等的两个直角三角形全等; （3）、两直角边对应相等的两个直角三角形全等;
5、如图，∠B =∠E = 90°，AC = DF ，BF = EC 。

求证：BA = ED
§线段的垂直平分线（1）
1、什么是线段的垂直平分线
2、线段垂直平分线的性质定理
线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离
② 线段垂直平分线的判定定理
到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的 探索一：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等
已知：直线MN ⊥AB ，垂足是C ，且AC=BC ，点P 上MN 上的任意一点。

E D A B C C B A D E F
l
仓库 仓库 证明：
探索二：到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上 已知：如图：已知PA=PB
求证：点P 在线段AB 的垂直平分线上。

证明：
做一做：用尺规作出已知线段AB 的垂直平分线CD
四、知识反馈
1、如右图，两个仓库A 、B 位于河岸的同侧，为了出口方便，他们想在河岸边上建造一个码头，使这个码头到两个仓库的距离相等，码头应建造在什么位置请画出符合条件的食品加工厂的位置。

2． 如图，在△ABC 中，AB 的垂直平分线MN 交AB 于D 点，交AC 于E 点，且AC=15cm ， △BCE 的周长等于25cm ，○1求BC 的长 ○2若∠A=36°，并且AB=AC ，求证：BC=BE
§线段的垂直平分线（2）
1、利用尺规作三角形三边的垂直平分线。

2、已知：△ABC （如右图）。

求作：线段AB 、BC 、AC 的垂直平分线。

P A C B A B C
A
E
N M
B
D 河岸
A
3、证明定理：三角形三条边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等。

已知：如右图，在△ABC 中，分别作AB 边、BC 边的垂直平分线， 两线相交于点P ，分别交AB 边、BC 边于点E 、F 。

求证：AB 、BC 、AC 的垂直平分线相交于点P
证明：∵点P 是AB 边垂直平线上的一点，
∴ = （ ）．
同理可得，PB= ．
∴ = （等量代换）．
∴ （到一条线段两个端点距离相等的点,在这条线段的 ）
∴AB 、BC 、AC 的垂直平分线 。

4、做一做：已知底边及底边上的高，求作等腰三角形。

已知：线段a 、h
求作：△ABC ，使AB=AC ，且BC=a ，高AD=h.
知识运用、1、如图，在△ABC 中，AB=AC ，O 是△ABC 内一点，且OB=OC ，求证：AO ⊥BC 。

2、如图，在△ABC 中，AB=AC ，∠A=120°，AB 的垂直平分线MN 分别交BC 、AB 于点M 、N 。

求证：CM=2BM.
§ 角平分线（1）
1．角平分线的定义：_______________________ ___ 2、什么叫点到直线的距离 ② 用直尺和圆规作角的平分线
E F B A C P A
O C B
1 A
2 P
D E
O C B 1 A
2 P D E 探索一：证明角平分线定理：角平分线上的点到叫两边的距离相等
已知:如图,OC 是∠AOB 的平分线,P 是OC 上任意一点,PD ⊥OA,PE ⊥OB,垂足分别是D, E. 求
证:PD=PE.
探索二：证明定理：在一个角的内部，且到角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上。

已知:如图,PD=PE, PD ⊥OA,PE ⊥OB,垂足分别是D,E.
求证:点P 在∠AOB 的平分线上.
知识运用： 1、如图，CD ⊥AB ，BE ⊥AC ，垂足分别为D 、E ，BE 、CD 相交于O ，且
∠1 =∠2。

求证：OB = OC 。

2、如图，在△ABC 中，BE ⊥AC ，AD ⊥BC ，AD 、BE 相交于点P ，AE = BD 。

求证：P 在∠ACB 的角平分线上。

§ 角平分线（2）
1、画一个三角形，然后用直尺和圆规作出三条角平分线。

2、证明定理：三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到三条边的距离相等。

21O E D A B C P C B A
D
E
已知：如图，设△ABC 的角平分线．BM 、CN 相交于点P ， 证明：P 点在∠B AC 的角平分线上,且PD =PE =PF
3、如图,△ABC 中,已知AC=BC,∠C=90°,AD 是△ABC 的角平分线,DE ⊥AB,垂足为E. (1)如果CD=4cm,求AC 的长; (2)求证:AB=AC+CD.
4：如图，P 是∠AOB 平分线上的一点，PC ⊥OA ，PD ⊥OB ，垂足分别为C 、D ． (1)求证： OC=OD (2)说明OP 是CD 的垂直平分线．
5.已知:如图,∠C=900, ∠B=300,AD 是Rt △ABC 的角平分线.求证:BD=2CD
6.已知:如图,△ABC 的外角∠CBD 和∠BCE 的角平分线相交于点F.
求证:点F 在∠DAE 的平分线上.
_D _M
_E _F
_N _C
_B _A _P
A D
B E
C P D
A E C O B。