积分号外求极限

积分号外求极限问题探讨摘 要 对于含有积分式的函数, 特别是积分麻烦或原函数求不出来的函数, 用通常的方法不易求出其极限,文章介绍了求含有积分式函数极限的方法, 即利用积分中值定理、Riemam 引理和含参积分的连续性定理以及上下极限、夹逼准则和洛必达法则来求解,还运用到了拟合法、隔离法等等.掌握相关的定义及性质,并能运用适当的方法就能很轻松的解决积分的极限问题.关键词 积分与极限交换次序 极限 一致收敛1 引言在数学分析中, 极限的概念占有突出的地位, 计算函数的极限也成为教学的一个重点.通常人们利用极限的分析定义、“两边夹” 定理、无穷小量替换、初等函数的连续性、极限的四则运算性质等方法求函数的极限, 但这些方法都是针对一般函数的, 对于含有积分式的函数, 特别是对积分麻烦或原函数求不出来的函数, 这些方法就不适用了,还可以探讨积分号与极限号交换的条件及其运用.2 一些相关概念定义1 设｛n a ｝为数列,a 为定数.若对任给的正数ε,总存在正整数N ,使得当n N >时有 n a a ε-<则称数列｛n a ｝收敛于a ,定数a 称为数列｛n a ｝的极限,并记作lim n n a a →∞=,或n a a →()n →∞,读作“当n 趋于无限大时,｛n a ｝的极限等于a 或n a 趋于a ”.若数列｛n a ｝没有极限,则称｛n a ｝不收敛,或称｛n a ｝为发散数列.定义2 （定积分）设闭区间[],a b 上有1n -个点,依次为01,n a x x x b =<<<= 它们把[],a b 分成n 个小区间[]1,i i i x x -∆=,1,2,i =……,n .这些分点或这些闭子区间构成对[],a b 的一个分割,记为{}01,,,n T x x x = 或{}12,,,n ∆∆∆ .小区间i∆的长度为1i i i x x x -∆=-,并记{}1max i i nT x ≤≤=∆,称为分割T 的模.设函数()f x 在[],a b 上有定义,J 为某一实数.若0,0εδ∀>∃>,对[],a b 的任意分割{}::1,,1,2,,i i i T i n i n ξ∆≤≤∀∈∆= ,只要,T δ<有()1ni i i f x J ξε=∆-<∑,则称()f x 在[],a b 上的定积分或黎曼积分.记为()()01lim nbi i aT i J f x dx f x ξ→===∆∑⎰.定义3（含参量积分）(1)定义：(),f x y 为定义在矩形区域[][],,D a b c d =⨯上的二元函数,对于[],a b 上每一个固定的x 值,(),f x y 作为y 的函数在[],c d 上可积,则其积分值()()[][],,,,dcI x f x y dy x a b x a b =∈⎰是在上取值的函数,称()I x 为定义在[],a b 上参含量x 的（正常）积分,简称含参量积分.它的更一般的情形是上、下限也是x 的函数：()()()()[],,,d x c x F x f x y dy x a b =∈⎰,其中()(),c x d x 为定义在[],a b 上的函数.⑵性质（i ）连续性（也称连续守恒定理）：若(),f x y 在D 上连续,则()I x 在[],a b 上连续；若(),f x y 在()()(){},|,G x y c x y d x a x b =≤≤≤≤上连续,且()(),c x d x 在[],a b 上连续,则()F x 在[],a b 上连续.(ii)可微性：若(),f x y 与(),x f x y 在D 上连续,则()I x 在[],a b 上可微,且()()[],,,dx cI x f x y dy x a b '=∈⎰;若(),f x y 及(),x f x y 在D 上连续,且()(),c x d x 为定义在[],a b 上其值含于[],c d 内的可微函数,则()F x 在[],a b 上可微,且()()()()()()()()()()[],,,,,.d x x c x F x f x y dy f x d x d x f x c x c x x a b '''=+-∈⎰(iii)可积性：若(),f x y 在D 上连续,则()I x 在[],a b 上可积,且 ()(),,b d dbaccadx f x y dy dy f x y dx =⎰⎰⎰⎰.(iv)积分号下取极限：若每个()n f x 在[],a b 上连续,且n →∞时,()()[],,n f x f x x a b ⇒∈,则()f x 在[],a b 上连续,且()()()lim lim bbbn n aa an n f x dx f x dx f x dx →∞→∞==⎰⎰⎰.(v)若(),f x y 在[][]()00,,0a b y y δδδ⨯-+>上连续,则()()()00lim ,lim ,,.b b baa ay y y y f x y dx f x y dx f x y dx →→==⎰⎰⎰.定义4（反常积分）积分区间无限或被积函数无界的积分称为反常积分.反常积分也成为广义积分或奇异积分.积分区间无限的反常积分——无穷积分①()f x 在[),a +∞上有定义,且对:A a A ∀<,均有[](),.f R a A ∈若极限()limAaA f x dx →+∞⎰存在,则称()f x 在[),a +∞上的反常积分收敛（或存在）,且记其极限值为()()limAaaA f x dx f x dx +∞→+∞⎰⎰ 此时也称()f x 在[),a +∞上是可积的.若原式中的极限不存在（包括极限为无穷的情形）,则称()f x 在[),a +∞上的（反常）积分发散,也即()af x dx+∞⎰发散.类似的可定义()bf x dx -∞⎰的发散.②设()f x 是定义在(),-∞+∞上的函数,对,A B ∀有[](),f R B A ∈,若存在极限()()l i m ,l i m C ABCB A f x dx f x dx →-∞→+∞⎰⎰,其中C 为某个实数,则称()f x 在(),-∞+∞上的（反常）积分存在或收敛,且记极限值为()()()lim lim C ABCB A f x dx f x dx f x dx +∞-∞→-∞→+∞+⎰⎰⎰ ,若式中的极限有一个不存在（包括极限为无穷的情形）,则称()f x 在(),-∞+∞上的（反常）积分()f x dx+∞-∞⎰发散.注()f x dx +∞-∞⎰敛散性极其数值与式中所取的点C 无关.⑵无界函数的积分——瑕积分约定 在点0x x =,若对()()()00000,,,f x x x x x δδδ∀>-+在或有定义且是无界的,则称0x 为()f x 的瑕点,也称()f x 在0x x =处无穷间断.①设()f x 在[),a b 上有定义,且对[]()0,,,f R a b δδ∀>∈-在点x b =为()f x 的瑕点,若极限()0lim b af x dx εε+-→⎰存在,则称()f x 在[),a b 上（关于b ）的瑕积分收敛或存在,其极限值为此瑕积分的值,并记为()()0lim b b aaf x dx f x dx εε+-→⎰⎰；否则称反常积分()f x dx +∞-∞⎰发散或不存在.类似地可定义瑕点为a 时的瑕积分.②设a c b <<,且积分()(),bdacf x dx f x dx ⎰⎰均为瑕积分,其中,x a b =为()f x 的瑕点；或x c =为()f x 的瑕点.若式中两个积分均收敛,则称()f x 在[],a b 上的瑕积分收敛或存在,且记 ()()()bcbaacf x dx f x dx f x dx +⎰⎰⎰ ；若式中的积分至少有一个是发散的,则称()f x 在[],a b 上的瑕积分发散.注 当x c =为瑕点时,判定()baf x dx ⎰的敛散性,需要计算的是两个极限式的和()()0lim lim c bac f x dx f x dx δηδη++-+→→+⎰⎰,而不是()()()0lim.c bac f x dx f x dx εεε+-+→+⎰⎰3 求积分极限的方法3.1 利用Riemam 引理求含积分式函数的极限分式的下极限是,如果积分式下极限形式（或变化后的形式）为()()limsin limcos bbaaf x xdx f x xdx λλλλ→+∞→+∞⎰⎰或,我们可以考虑利用Riemam 引理来求解.定理1 设()f x 在[],a b 上可积,则()()limsin 0,limcos 0bbaaf x xdx f x xdx λλλλ→+∞→+∞==⎰⎰.例1 求4120+cos lim .1xdx x λλ→∞+⎰解 由于()41cos 34cos 2cos 48x x x λλλ=++所以4120120120cos lim 1134cos 2cos 4lim 81313.8132x dx x x x dx x dx x λλλλλπ→+∞→+∞+++⎛⎫= ⎪+⎝⎭==+⎰⎰⎰ 3.2 由含参量积分的连续性定理求含积分式函数的极限在求积分式下的极限时,若被积函数是二元函数,我们可以考虑利用含参量积分的连续性定理来求解.定理2 设(),f x y 在区域(),R a x b c y d ≤≤≤≤上连续,则函数()(),bay f x y dx ϕ=⎰在区间[],c d 上连续.设[]0,y c d ∈,有()()00lim ,lim ,b baa y y y y f x y dx f x y dx →→=⎰⎰例2 求120cos lim1x xdx x λ→∞+⎰.解 令()()[][]2cos ,,,1,10,1,1xf x x xλλλ=∈-⨯+则 1122000cos 1lim .114x dx dx x x λλπ→==++⎰⎰定理2中,如果把(),f x y 中的连续变量y 改为正整数变量n ,即考虑(){}n f x 对每个()n f x 在[],a b 上连续.当(),n n f x →∞→→()x ϕ(一致收敛)时()()()lim lim bbbn n aa an n f x dx f x dx x dx ϕ→∞→∞==⎰⎰⎰.例3 求()122011lim sin /1n n k kx n dx x →∞=+∑⎰. 解 由于3/3!sin x x x x -≤≤,那么()()()()32222111///3!sin //,nnnk k k kx n kx n kx nkx n ===-≤≤∑∑∑对任意[]()210,1,limsin //2nn k x kx n x →∞=∈=∑且一致收敛,则()11222001111lim sin /ln 21214n n k x kx n dx dx x x →∞===++∑⎰⎰. 3.3 利用积分中值定理求含积分式函数的极限在求积分式下极限时,如果积分麻烦或原函数求不出来,可以考虑利用积分中值定理来求解.定理3 （积分中值定理）如果()f x 在[],a b 上连续,()[],g x a b 在上可积且不变号,则存在[],a b ξ∈,使得()()()()b baaf xg x dx f g x dx ξ=⎰⎰.例4 求()ln lim2nx axx t dt t +→+∞+⎰,其中0,a n >为自然数.解 此问题中的()()()()ln /2,1nf t t tg t =+=,由积分中值定理知,在,x x a +之间存在ξ,使得 ()()ln ln 22nnx axt dt a t ξξ+=++⎰,所以()()ln ln limlim 022n nx axx t a dt t ξξξ+→+∞→+∞==++⎰.3.4 利用改进的中值定理例5求极限1lim nn I →∞=⎰，引入如下“改进的定积分中值定理”.若[],,f C a b ∈则(),a b ξ∃∈，使得()()()baf x dx f b a ξ=-⎰改进之处在于可不考虑ξ取端点的情形.利用这一定理,给出如下解法：0n I ==其中n ξ与n 有关,且()0,1.n ξ∈上述解法犯了一个典型错误.这是因为,即使01,n ξ<< 并不能保证 ()0nn n ξ→→∞.例如取()110,1n n ξ=-∈,但是1l i 0.2n e=≠而若取()210,1n n ξ=-∈,又有21l i =2n e. 上述错误解法的根源在于忽略了极限运算（若极限存在）虽能保序,但不能严格保序.为了克服这一问题,常将某些点（隔离）,以排除极限取等号的情形,我们不妨称之为（隔离法）.在上述例题中,由于1n不收敛于0,所以要隔离的点是1x =,于是例题有如下解法. 解 任给()01,εε<<记110121,.n n I I εε--==⎰⎰对1I 使用积分中值定理,()1010nnI ε≤=≤-→,其中[]0,1.n ξε∈-另外20I εε≤=<显然()12lim n I I I →∞=+,根据ε的任意性,使用推广的夹逼准则,即得 0.I =注 在1I 的证明中使用函数的单调性会更简单,但方法上不如使用积分中值定理更具一般性.又如证明 0limsin 0n n x xdx π→∞=⎰.由于sin 12nπ≡,故需隔离的点是.2x π=此点是积分区间的内点,可分段处理.202sin =sin sin .nn n x xdx x xdx x xdx ππππ=⎰⎰⎰然后分别仿例题用ε将2π隔离. 3.5 拟合法一个数或函数表示为有限和、级数、定积分、反常积分的形式或者其极限,使之与所讨论的问题在形式上一致,便于在同一和号或积分下对问题进行变形或计算.例6 设()f x 在[]0,1上连续,试证：()()12200lim 02h h f x dx f h x π+→=+⎰. 证明 因12200lim 2h h dx h x π+→=+⎰,故极限值可改写为 ()()12000lim 02h hf f dx h x π+→=+⎰. 问题归结为证明：()()()1200lim 00h hf x f dx h x+→-=+⎰. 但()()()()()()112220000,hhf x f dx f x f dx h x h x δδ-=+-⎡⎤⎣⎦++⎰⎰⎰因()f x 在0x =处连续.0,δ∀>当0δ>充分小时,在[]0,δ上,()()0f x f επ-<. 从而()()()()22022220000arctan .22hf x f dx h xh f x f h dx dx h x h xh δδδεπεδεπεππ-⎡⎤⎣⎦+-≤≤⋅++=≤⋅=⎰⎰⎰ 再将δ固定,这时第二个积分()()()()102220100hf x f dx h f x f dx h M h x x δδ-≤-≡⋅⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦+⎰⎰ 于是当002h M ε<<时()()1220022h f x f dx h x εεε-<+=⎡⎤⎣⎦+⎰. 3.6 夹逼准则设()()0lim lim x x x x f x g x A →→==,且在某()'0;o U x δ内有()()()fx h x g x ≤≤,则()0lim x x h x A →=.例7 设()f x 严格递减,在[]0,1上连续,()()01,10.f f ==试证明：()0,1δ∀∈有(1) ()()()()10lim 0nnn f x dxf x dxδδ→∞=⎰⎰; (2)()()()()101lim1n nn f x dxf x dxδ+→∞=⎰⎰证明 (1)(利用夹逼准则) 因()f x 严格递减,()02f f δδ⎛⎫<< ⎪⎝⎭()02nf f δδ⎛⎫ ⎪ ⎪→⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（当n →∞时）. 故对任意固定的()0,1δ∈有()()()()()()()()()()()()1112200nnnnnnf x dxf x dxf dxf x dxf x dxf dxδδδδδδδδ≤≤≤⎰⎰⎰⎰⎰⎰()()()10.22nf n f δδδδ-≤⋅→→∞⎛⎫⎪⎝⎭(2)（利用夹逼准则的推广形式：当使用夹逼准则时,若放大与缩小所得之量的极限值不相等,但二者只相差一个任意小量,则夹逼准则仍有效.）因()f x 严格递减,()()10,01,f f == 知()01f x <<,当()0,1x ∈时. 据连续性,110,:0εδδδ∀>∃<<使得()1f x ε>- []()10,x δ∀∈于是()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()1111111110011011001100110111111n n nnn n nnnnnnnf x dxf x dxf x dx f x dx f x dxf x dxf x dxf x dxf x dx f x dx f x dxf x dx f x dxδδδδδδεεε+++=≥≥≥≥-+=-−−−→-+⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰据（1）当n →∞时，由0ε>的任意性知()()()()1010lim1n nn f x dxf x dxδ+→∞=⎰⎰.3.7 洛必达法则函数f 和g 满足：（1） ()()0lim lim 0x x x x f x g x →→==；（2） 在点0x 的某空心邻域()0o U x 内两者都可导,且()'0g x ≠；（3） ()()0''lim x x f x A g x →=（A 可为实数,也可为±∞或∞）,则()()()()00''lim lim x x x x f x f x A g x g x →→==. 例8 求极限()110lim ,xx f t x dt tαα++→⎰其中()0,f x α>为闭区间[]0,1上的连续函数. 证明 ()()111100limlim ,1xxx x f t f t t dt tx αα++++→→=⎰⎰因0x →时1x α→+∞,使用洛必达法则,上式()()()1000lim lim 1x x f x f x f x xααα+++→→-===-. 3.8 积分第二中值定理在[],a b 上可积,()g x 单调减小,且()0g b ≥,则存在点[],a b ξ∈使得()()()()0baaf xg x dx g a f x dx ξ=+⎰⎰.例9 设()x ϕ为有界函数,周期为T ,且()01Tx dx C Tϕ=⎰, 试证：()2lim nn t n dt C tϕ+∞→∞=⎰.证明 注意到21ndtn t+∞=⎰,知2nCdtC n t+∞=⎰. 故只要证明 ()2lim 0nn t Cndt tϕ+∞→∞-=⎰.据已知条件()()Ant C dt ϕ-⎰有界.即0M ∃>使得()()Ant c dt M ϕ-≤⎰.于是利用第二中值定理,()()()()()221Annt C Mndt n t C dt A n t n nξϕϕ-=⋅-≤∀>⎰⎰ 从而 ()2nt CMn dt t nϕ+∞-≤⎰.对此式每个固定的n 都成立,令n →+∞取极限知极限式成立.3.9 利用上、下极限例10 设()f x 对一切()0b b <<+∞在[]0,b 上可积,且()lim ,x f x α→+∞=证明：()0lim tx t t e f x dx α++∞-→=⎰. (1) 证明 只要证明：0ε∀>,有()00lim tx t t e f x dx αε++∞-→≤+⎰ (2) 及 ()00lim tx t te f x dx αε++∞-→≥-⎰.因()lim x f x α→+∞=,所以0ε∀>,0A ∃>,使当x A >时,()f x αεαε-<<+. 从而()()()0Atxtxtx At ef x t ef x dx te f x dx +∞+∞---=+⎰⎰⎰()()0Atx tx Ate f x dx te dx αε+∞--<++⎰⎰(因()f x 在[]0,A 上有界,即0M ∃>,使得[]0,x A ∈时,有()f x M ≤故进而)()()1tA tA M e e αε--≤-++令0t +→,在不等式两边同时取极限,得()()()0lim lim 1tx tA tA t t t e f x dx M e e αεαε+++∞---→→⎡⎤≤-++=+⎣⎦⎰.这便证明了(2)式,类似可证式（3）,从而可证得()00lim tx t t e f x dx α++∞-→=⎰.3.10 积分号与极限号交换的问题积分号能与极限交换顺序是一个重要的性质,在黎曼积分中,一般来说一个收敛的可积函数列,它的极限函数未必是可积的,为了保证极限函数是黎曼可积的,而且极限号与积分号能交换顺序、通常要求黎曼可积的函数列一致收敛于极限函数.例11 ()2222n x n f x n e -=,则()()[]lim 0,0,1n n f x f x x →∞==∈，因 1112n f ne n e -⎛⎫=> ⎪⎝⎭,可知()n f x 不一致收敛于0,显然 ()2211200lim lim 21,n x n n n f x dx n xe -→∞→∞==⎰⎰ ()100,f x dx =⎰ 所以()()1100lim n n f x dx f x dx →∞≠⎰⎰. 从上面的讨论我们看到勒贝格积分定义扩大可积函数类,减弱了逐项积分的条件,从而改善了性质.这也说明了勒贝格积分理论比黎曼积分理论强得多.结 束 语求积分极限有如上多种方法,其中极限号与积分号交换并不是所有情况都适用,勒贝格(Lebesgue )积分极限号与积分号交换次序的条件要弱一点,在E 上非负可测.通常一般积分要满足一致收敛的条件才可运用此性质,更多的问题有待完善.参考文献[1] 华东师范大学数学系,数学分析[M], 高等教育出版社,2001.[2] 张恭庆、林源渠,泛函分析讲义（上）[M], 北京大学出版社,1987.[3] 裴礼文,数学分析中的典型问题与方法[M], 高等教育出版社,2006.[4] 陈纪修、金路、於崇华,数学分析上册[M], 高等教育出版社,1999.[5] 孙本旺、汪浩,数学分析中的典型例题和解题方法[M], 长沙湖南科学技术出版社,1981.[6] Tom M,Apostol,Mathematical Analysis[M], 机械工业出版社,2004.Integral signs limit problemsAbstract Contains the integral of the function, in particular, is integral trouble or the original function evaluation function.The usual way is not easy to calculate the limit,The article describes several methods that seek to contain the limit of the integral function,Integral mean value theorem, Riemam lemma and parametric integral continuity theorem to solve,And upper and lower limit, Squeeze Rule's Rule to solve the problem.Also applied to the fitting, the isolation method.Grasp of the relevant definitionsand nature,And use of appropriate methods will be able to easily solve the integral of the limit problem.Key words integral function limit uniformly convergent。