积分号外求极限

积分号外求极限问题探讨

摘 要 对于含有积分式的函数, 特别是积分麻烦或原函数求不出来的函数, 用通常的方法不易

求出其极限,文章介绍了求含有积分式函数极限的方法, 即利用积分中值定理、Riemam 引理和含参积分的连续性定理以及上下极限、夹逼准则和洛必达法则来求解,还运用到了拟合法、隔离法等等.掌握相关的定义及性质,并能运用适当的方法就能很轻松的解决积分的极限问题.

关键词 积分与极限交换次序 极限 一致收敛

1 引言

在数学分析中, 极限的概念占有突出的地位, 计算函数的极限也成为教学的一个重点.通常人们利用极限的分析定义、“两边夹” 定理、无穷小量替换、初等函数的连续性、极限的四则运算性质等方法求函数的极限, 但这些方法都是针对一般函数的, 对于含有积分式的函数, 特别是对积分麻烦或原函数求不出来的函数, 这些方法就不适用了,还可以探讨积分号与极限号交换的条件及其运用.

2 一些相关概念

定义1 设｛n a ｝为数列,a 为定数.若对任给的正数ε,总存在正整数N ,使得当n N >时有 n a a ε-<则称数列｛n a ｝收敛于a ,定数a 称为数列｛n a ｝的极限,并记作lim n n a a →∞

=,

或n a a →()n →∞,读作“当n 趋于无限大时,｛n a ｝的极限等于a 或n a 趋于a ”.

若数列｛n a ｝没有极限,则称｛n a ｝不收敛,或称｛n a ｝为发散数列.

定义2 （定积分）设闭区间[],a b 上有1n -个点,依次为01,n a x x x b =<<<= 它们把[],a b 分成n 个小区间[]1,i i i x x -∆=,1,2,i =……,n .这些分点或这些闭子区间构成对

[],a b 的一个分割,记为{}01,,,n T x x x = 或{}12,,,n ∆∆∆ .小区间i

∆的长度为

1i i i x x x -∆=-,并记{}1max i i n

T x ≤≤=∆,称为分割T 的模.

设函数()f x 在[],a b 上有定义,J 为某一实数.若0,0εδ∀>∃>,对[],a b 的任意分割

{}::1,,1,2,,i i i T i n i n ξ∆≤≤∀∈∆= ,只要,T δ<有()1

n

i i i f x J ξε=∆-<∑,则称()

f x 在[],a b 上的定积分或黎曼积分.记为

()()0

1

lim n

b

i i a

T i J f x dx f x ξ→===∆∑⎰.

定义3（含参量积分）

(1)定义：(),f x y 为定义在矩形区域[][],,D a b c d =⨯上的二元函数,对于[],a b 上每一个固定的

x 值,(),f x y 作为y 的函数在[],c d 上可积,则其积分值

()()[][],,,,d

c

I x f x y dy x a b x a b =∈⎰是在上取值的函数,称()I x 为定义在[],a b 上参含量

x 的（正常）积分,简称含参量积分.它的更一般的情形是上、下限也是x 的函数：

()()()

()[],,,d x c x F x f x y dy x a b =∈⎰

,

其中()(),c x d x 为定义在[]

,a b 上的函数.

⑵性质

（i ）连续性（也称连续守恒定理）：若(),f x y 在D 上连续,则()I x 在[]

,a b 上连续；若

(),f x y 在()()(){},|,G x y c x y d x a x b =≤≤≤≤上连续,且()(),c x d x 在[],a b 上连续,

则()F x 在[]

,a b 上连续.

(ii)可微性：若(),f x y 与(),x f x y 在D 上连续,则()I x 在[]

,a b 上可微,且

()()[],,,d

x c

I x f x y dy x a b '=∈⎰;

若(),f x y 及(),x f x y 在D 上连续,且()(),c x d x 为定义在[]

,a b 上其值含于[],c d 内的可微函数,则()F x 在[]

,a b 上可微,且

()()()

()

()()()()()()[],,,,,.d x x c x F x f x y dy f x d x d x f x c x c x x a b '''=+-∈⎰

(iii)可积性：若(),f x y 在D 上连续,则()I x 在[]

,a b 上可积,且 ()(),,b d d

b

a

c

c

a

dx f x y dy dy f x y dx =⎰⎰⎰

⎰.

(iv)积分号下取极限：若每个()n f x 在[]

,a b 上连续,且n →∞

时,()()[],,n f x f x x a b ⇒∈,则()f x 在[]

,a b 上连续,且

()()()lim lim b

b

b

n n a

a a

n n f x dx f x dx f x dx →∞→∞

==⎰⎰⎰.

(v)若(),f x y 在[][]()00,,0a b y y δδδ⨯-+>上连续,则

()()()0

0lim ,lim ,,.b b b

a

a a

y y y y f x y dx f x y dx f x y dx →→==⎰⎰⎰.

定义4（反常积分）积分区间无限或被积函数无界的积分称为反常积分.反常积分也成为广义积分或奇异积分.

积分区间无限的反常积分——无穷积分

①()f x 在[),a +∞上有定义,且对:A a A ∀<

,均有[](),.f R a A ∈若极限

()lim

A

a

A f x dx →+∞⎰存在,则称()f x 在[),a +∞上的反常积分收敛（或存在）,且记其极限值为

()()lim

A

a

a

A f x dx f x dx +∞→+∞⎰

⎰ 此时也称()f x 在[),a +∞上是可积的.若原式中的极限不存

在（包括极限为无穷的情形）,则称()f x 在[),a +∞上的（反常）积分发散,也即()a

f x dx

+∞

⎰

发散.类似的可定义

()b

f x dx -∞

⎰

的发散.

②设()f x 是定义在(),-∞+∞上的函数,对,A B ∀有[](),f R B A ∈,若存在极限

()()l i m ,l i m C A

B

C

B A f x dx f x dx →-∞→+∞⎰⎰,其中

C 为某个实数,则称()f x 在(),-∞+∞上的（反常）积

分存在或收敛,且记极限值为()()()lim lim C A

B

C

B A f x dx f x dx f x dx +∞-∞

→-∞→+∞+⎰

⎰⎰ ,若式中的极限有

一个不存在（包括极限为无穷的情形）,则称()f x 在(),-∞+∞上的（反常）积分()f x dx

+∞

-∞

⎰

发散.

注

()f x dx +∞

-∞

⎰

敛散性极其数值与式中所取的点C 无关.

⑵无界函数的积分——瑕积分

约定 在点0x x =,若对()()()00000,,,f x x x x x δδδ∀>-+在或有定义且是无界的,则称0

x 为()f x 的瑕点,也称()f x 在0x x =处无穷间断.

①设()f x 在[),a b 上有定义,且对[]()0,,,f R a b δδ∀>∈-在点x b =为()f x 的瑕点,若极限()0

lim b a

f x dx ε

ε+

-→⎰

存在,则称()f x 在[),a b 上（关于b ）的瑕积分收敛或存在,其极限值

为此瑕积分的值,并记为

()()0lim b b a

a

f x dx f x dx ε

ε+

-→⎰⎰

；否则称反常积分

()f x dx +∞

-∞

⎰

发散或不

存在.类似地可定义瑕点为a 时的瑕积分.

②设a c b <<,且积分

()(),b

d

a

c

f x dx f x dx ⎰

⎰均为瑕积分,其中,x a b =为()f x 的瑕点；