函数极限连续全程版-高等数学竞赛知识汇总

函数、极限、连续

一、考试内容

函数的概念及表示法、基本初等函数的性质及其图形、复合函数、反函数、初等函数、分段函数、隐函数、参数方程所确定的函数、函数的有界性.单调性.周期性和奇偶性、函数关系的建立；

数列极限与函数极限的定义及其性质、 函数的左极限和右极限、 无穷小量和无穷大量的概念及其关系、 无穷小量的性质及无穷小量的比较、 极限的四则运算、 极限存在的两个准则：单调有界准则和夹逼准则、 两个重要极限； 函数连续的概念、 函数间断点的类型、 初等函数的连续性 、闭区间上连续函数的性质。

（一）函数

1、函数(Function)的定义 设D 是一个非空实数集合，若∃对应关系f ，对于x D ∀∈，按照f ，

对应唯一确定的R y ∈，称f 是定义在D 上的函数, 习惯上也称y 是x 的函数，记为)(x f y =. notes ：10. 两个常用的数学符号：

:∀ “任意”或“任意一个”

，它是英文单词Arbitrary “表示任意的”打头字母A 的倒写； :∃ “存在，它是英文单词 Existence “表示存在” 打头字母E 的倒写.

2、基本初等函数为以下五类函数

(1) 幂函数 μ

x y =，μ是常数．

图Ⅰ—1

(2) 指数函数 x

a y = (a 是常数且01a a >≠，)，),(+∞-∞∈x ．

图Ⅰ—2

(3) 对数函数

x y a log =(a

是常数且01a a >≠，)，(0,)x ∈+∞．

对数（Logarithm ）是由英国人纳皮尔创立的, 是相对于真数的比率数.

图Ⅰ—3

(4) 三角函数

1.何谓正？何谓余？

正就是正角。余就是余角，就是90度减去正角. 2.何谓弦？何谓切？何谓割？

弦就是弦线，切就是切线，割就是割线.

圆上两点相连叫做"弦"；圆外与圆相切的线叫"切线"；圆外割入圆内的线叫"割线". 其实一切都是从一个半径为1的单位圆来的.

正弦函数 x y sin =，),(+∞-∞∈x ，]1,1[-∈y ．

图Ⅰ—4

余弦函数 x y cos =，),(+∞-∞∈x ，]1,1[-∈y ．

正切函数 x y tan =，

2π

π+

≠k x ，k Z ∈，),(+∞-∞∈y ．

图Ⅰ—6

余切函数 x y cot =，πk x ≠，k Z ∈，),(+∞-∞∈y ．

图Ⅰ—7

(5) 反三角函数

反正弦函数 x y arcsin =， ]1,1[-∈x ，

]2,2[π

π-

∈y ．

图Ⅰ—8

反余弦函数 x y arccos =，]1,1[-∈x ，],0[π∈y ．

图Ⅰ—9

反正切函数 x y arctan =，),(+∞-∞∈x ，

)2,2(π

π-

∈y ．

图Ⅰ—10

反余切函数 x y cot arc =，),(+∞-∞∈x ，),0(π∈y ．

图Ⅰ—11

3、初等函数：由基本初等函数，经过有限次四则运算和有限次函数复合步骤所得到的、能用一个式子表达的函数，称为初等函数．高等数学的主要讨论对象是初等函数．

（1）幂指函数：()

()ln

()

()v x v x u x

y u x e

==．

4、分段函数：分段函数是没有严格定义的，任意函数都可以是分段函数．

一般而言，把函数的定义域分成几个区间,在各个区间内,函数的解析式不一样的，这样的函数称为分段函数.

即便如此，有些分段函数也可称为初等函数．

（1）符号函数：

1,0

sgn0,0,sgn,sgn

1,0

x

y x x x x x x x x

x

>

⎧

⎪

=====

⎨

⎪-<

⎩

．

图I －12

（2）高斯函数：函数]

[x

y=，称为高斯函数，又称取整函数. 对任意实数]

[,x

x是不超过x的最大整数，称]

[x 为x的整数部分.与它相伴随的是小数部分函数].

[

}

{

},

{x

x

x

x

y-

=

=

1[][]1

x x x x

-<≤<+，]

[x

y=是不减函数，即若

2

1

x

x≤则]

[

]

[

2

1

x

x≤，其图像如图I －13；

}

{x

y=是以1为周期的周期函数，如图I －14.

图I －13 图I －14

（图I －13中，空心点与实心点应反调）

（3）极值函数：

(),{()()}1

max{(),()}[()()()()]

(),{()()}2

f x x x

g x f x

f x

g x f x g x f x g x

g x x x g x f x

⎧∈≤

⎪

==++-

⎨

∈>

⎪⎩

，

(),{()()}1

min{(),()}[()()()()]

(),{()()}2

f x x x f x

g x

f x

g x f x g x f x g x

g x x x f x g x

⎧∈≤

⎪

==+--

⎨

∈>

⎪⎩

．对数一、三而言，在概率论中有极值分布max{,},min{,}

X Y X Y．

1

1

-

y

o

x