圆锥曲线中的离心率问题

圆锥曲线中的离心率问题

离心率两大考点：求值、求范围

求值： 1.利用a与c的关系式（或齐次式）

2. 几何法

3. 与其它知识点结合

求范围：1.利用圆锥曲线相关性质建立a、c不等关系求解.

2. 运用数形结合建立a、c不等关系求解

3. 利用曲线的范围，建立不等关系

4. 运用函数思想求解离心率

5. 运用判别式建立不等关系求解离心率

一、求离心率的值

1. 利用a与c的关系式（或齐次式）

题1:（成都市2010第二次诊断性检测）已知椭圆的一个焦点为F，若椭圆上存在点P,满足以椭圆短轴为直径的圆与线段PF相切于线段PF的中点，则该椭圆的离心率为_________ 解斬记裟飪的中虑为

FFi-ZOM.

呼方程得

5

9 3 *

题2:已知以双曲线C的两个焦点及虚轴的两个端点为原点的四边形中，有一个内角为60°，则双曲线C的离心率为

-6

2

2 2

题3：设双曲线x 2 —爲=1 a >0, b >0的渐近线与抛物线y = x 2+1相切，则该双曲线的

a 2

b 2

离心率等于 （

)

（A ） .3

（B

）

2 (C )「5 (D ) , 6

解：由题双曲线

2 x

2

2

—y -1 a > 0, b > 0 的一条渐近线方程为 y bx

、、

，代入抛物线方程

a b 2

a 整理得ax 2

bx a 0 ,

因渐近线 与抛物线相切，

所 以 b 2 4a 2 0 ,即

c 2 5a 2 e .5，故选择 C 。

解析对r A3K 人则克线方程为工 丁一"一x 点线霸阿渐近线的交点7 B 岛届）・q 右-备卜则有

m 鵠—啤）.

1*11 — 6" Cf ; —/

打十焉岛.

因为2兀0=亘已胖以

4沖=护士=岳.

故选U

2. 几何法

题1 :以椭圆的右焦点F ，为圆心作圆，使这圆过椭圆的中心，且交椭圆于点 （F l 为左焦点）是圆F2的切线，M 是切点，则椭圆的离心率是 ________

MF 1 = IFF = 2,MF 1 = ■ 3,e= ^3- 1

题4: （2009浙江理）过双曲线

b 2

1（a 0,b 0）的右顶点A 作斜率为-1的直线，该

直线与双曲线的两条渐近线的交点分别为

ULUT 1 uuur

B ，c.若AB B

C ，则双曲线的离心率是

2

(B ) ,'3

（C ） 一 5

（ D ）帀

M ，若直线MF l

题2

: F i , F 2为椭圆的左、右两个焦点，过 F 2的直线交椭圆于P 、Q 两点，PF I A PQ ，且

PF 1 = PQ ，求椭圆的离心率.

题3：

（05全国）设椭圆的两个焦点分别为 吒、F 2,过F 2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点 P, 若F ,PF 2为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是（ ）

A. 2

B.

C. 2 - 2

D. . 2-1

2 2

（采用离心率的 定义以及椭圆的定义求解）

离心率的定义

c e

解：如右图所示，有

a

2c 椭圆的定义

2c

2a

|PF 1| |PF 2|

故选 D

2c

1 -4

2 1 2. 2c 2c 2 1

丨 I + t MF i :

____ wry 3“ … sin a 十 shi 2a

血

a -卷X 石

Mi ■：：3, \ 13'-、；；3 — 4sin? a “

,

如图2,设丨PFi 亠I,则

1

PQ 1= h I fiQ 1= 72.

'2a =

F

l , F 2是其两个焦点，且/ ）

MF i F 2= 2a ，/ MF 2F i =a (a 工 0,)

（A ）1 — 2si n a （B ）l — sin 2a

(C)1-cos2a (D)2cos a -1

解由已知及正弦定理，得

sin 3a '

峥 sin Q sin

叱例性喷.得

I [*1 .密 I sin u + sin la -F V F 2 I

J MF 】I

! F 血!

sin 3a '

PF t r + f PQ f + l QF ； 2 4. 2c = /l PF|V +fPF 2 l z

3.与其它知识点结合 题

1:已知M 为椭圆上一点，

则椭圆的离心率为（

题2 :已知P为双曲线右支上一点，F i、F2是其左、右两焦点，且/ PF I F2=15° / PF2F I=75°则双曲线的离心率为_______ .

2

练习:

2 2

X y

1.设双曲线—-r= 1（0< a< b）,半焦距为c,直线I过点（a,O）,（O,b）两点，已知原点到a

b

直线I的距离为—3c,则双曲线的离心率为（）

4

2、3

3

A

2.已知双曲线的渐近线为y=?3x，则双曲线的离心率为 5 5

3,4

3•过双曲线的一个焦点

双曲线的离心率等于F作垂直于实轴的弦MN ,A为双曲线的距F较远的顶点，/ MAN=90 2

a+ c

4.（07安徽卷）

2 2

酥吃分别是双曲线X2 -y21（a

a b

的圆与该双曲线左支的两个交点，且0,b 0）的两个焦点，A和B是以O为圆心，以|0划为半径F2AB是等边三角形，则双曲线的离心率为（ D ）

A. 3

B.

C.

D. 1 +■. 3