江苏2018高三数学一轮复习圆锥曲线

椭圆
考试要求 1.椭圆的实际背景，椭圆在刻画现实世界和解决实际问题中的作用，A级要求；2.椭圆的定义，几何图形，标准方程及简单几何性质，B级要求．
知识梳理
1．椭圆的定义
(1)第一定义：平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于定长(大于F1F2)的点的轨迹叫作椭圆．这两个定点叫作椭圆的焦点，两焦点间的距离叫作椭圆的焦距．用符号表示为PF1＋PF2＝2a(2a>F1F2)．
(2)第二定义：平面内到定点F和定直线l(F不在定直线l上)的距离之比是一个常数e(0<e<1)的点的轨迹叫作椭圆．
2．椭圆的标准方程及简单的几何性质
椭圆x2
a2＋y2
b2＝1(a>b>0)的离心率e＝
c
a(0<e<1)，离心率e等于椭圆上任意一点M
到焦点F的距离与M到F对应的准线的距离的比．椭圆越扁，离心率e越大；椭圆越圆，离心率越小.
x2 a2＋y2
b2＝1(a>b>0)
y2
a2＋
x2
b2＝1(a>b>0)
|x|≤a，|y|≤b|y|≤a，|x|≤b
诊 断 自 测
1．判断正误(在括号内打“√”或“×”)
(1)平面内与两个定点F 1，F 2的距离之和等于常数的点的轨迹是椭圆．( ) (2)椭圆的离心率e 越大，椭圆就越圆．( ) (3)椭圆既是轴对称图形，又是中心对称图形．( )
(4)方程mx 2＋ny 2＝1(m >0，n >0，m ≠n )表示的曲线是椭圆．( ) (5)x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)与y 2a 2＋x 2
b
2＝1(a >b >0)的焦距相同．( ) 解析 (1)由椭圆的定义知，当该常数大于F 1F 2时，其轨迹才是椭圆，而常数等于F 1F 2时，其轨迹为线段F 1F 2，常数小于F 1F 2时，不存在这样的图形． (2)因为e ＝c
a ＝a 2－
b 2a ＝
1－⎝ ⎛⎭
⎪⎫
b a 2，所以e 越大，则b a 越小，椭圆就越扁． 答案 (1)× (2)× (3)√ (4)√ (5)√ 2．(2015·广东卷改编)已知椭圆x 225＋y 2
m 2＝1(m >0)的左焦点为F 1(－4,0)，则m ＝________.
解析 依题意有25－m 2＝16，∵m >0，∴m ＝3. 答案 3
3．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，离心率为3
3，过F 2的直线l 交C 于A ，B 两点．若△AF 1B 的周长为43，则C 的方程为________． 解析 由椭圆的定义可知△AF 1B 的周长为4a ，所以4a ＝43，故a ＝3，又由e ＝c a ＝33，得c ＝1，所以b 2＝a 2－c 2
＝2，则C 的方程为x 23＋y 22＝1. 答案 x 23＋y 2
2＝1
4．(2016·江苏卷)如图，在平面直角坐标系xOy 中，F 是椭圆x 2a 2＋y 2
b 2＝1(a ＞b ＞0)
的右焦点，直线y ＝b
2与椭圆交于B ，C 两点，且∠BFC ＝90°，则该椭圆的离心率是________．
解析 联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧
x 2a 2＋y 2b 2＝1，
y ＝b
2，
解得B ，C 两点坐标为
B ⎝ ⎛⎭⎪⎫
－32a ，b 2，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫3a 2，b 2，又F (c,0)，
则FB →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－3a 2－c ，b 2，FC →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3a 2－c ，b 2， 又由∠BFC ＝90°，可得FB →·FC →＝0，代入坐标可得：
c 2
－34a 2＋b 2
4＝0，①
又因为b 2＝a 2－c 2.
代入①式可化简为c 2a 2＝23，则椭圆离心率为e ＝c
a ＝23＝6
3.
答案 6
3
5．已知点P 是椭圆x 25＋y 2
4＝1上y 轴右侧的一点，且以点P 及焦点F 1，F 2为顶点的三角形的面积等于1，则点P 的坐标为________． 解析 设P (x ，y )，由题意知c 2＝a 2－b 2＝5－4＝1，
所以c ＝1，则F 1(－1,0)，F 2(1,0)，由题意可得点P 到x 轴的距离为1，所以y ＝±1，把y ＝±1代入x 25＋y 24＝1，得x ＝±152，又x ＞0，所以x ＝15
2，∴P 点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫152，1或⎝ ⎛⎭⎪⎫
152，－1
. 答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫152，1或⎝ ⎛⎭
⎪⎫
152，－1
考点一 椭圆的定义及其应用 【例1】(1)如图，圆O 的半径为定长r ，A 是圆O 内一个定点，P 是圆上任意一点，线段AP 的垂直平分线l 和半径OP 相交于点Q ，当点P 在圆上运动时，点Q 的轨迹是________．
(2)已知F 1，F 2是椭圆C ：x 2a 2＋y 2
b 2＝1(a ＞b ＞0)的两个焦点，P 为椭圆C 上的一点，
且∠F 1PF 2＝60°，S △PF 1F 2＝33，则b ＝________. 解析 (1)连接QA . 由已知得QA ＝QP .
所以QO ＋QA ＝QO ＋QP ＝OP ＝r .
又因为点A 在圆内，所以，OA ＜OP ，根据椭圆的定义，点Q 的轨迹是以O ，A 为焦点，r 为长轴长的椭圆．
(2)由题意得PF 1＋PF 2＝2a ，又∠F 1PF 2＝60°，
所以PF 21＋PF 22－2PF 1PF 2cos 60°＝F 1F 2
2，
所以(PF 1＋PF 2)2－3PF 1PF 2＝4c 2， 所以3PF 1PF 2＝4a 2－4c 2＝4b 2， 所以PF 1PF 2＝4
3b 2，
所以S △PF 1F 2＝12PF 1PF 2sin 60°＝12×43b 2×3
2＝ 33b 2
＝33，所以b ＝3. 答案 (1)椭圆 (2)3
规律方法 (1)椭圆定义的应用主要有两个方面：一是判定平面内动点与两定点的轨迹是否为椭圆；二是利用定义求焦点三角形的周长、面积、弦长、最值和离心率等．
(2)椭圆的定义式必须满足2a ＞F 1F 2.
【训练1】 (1)已知椭圆x 24＋y 2
2＝1的两个焦点是F 1，F 2，点P 在该椭圆上，若
PF 1－PF 2＝2，则△PF 1F 2的面积是________．
(2)(2017·保定一模)与圆C 1：(x ＋3)2＋y 2＝1外切，且与圆C 2：(x －3)2＋y 2＝81内切的动圆圆心P 的轨迹方程为________．
解析 (1)由椭圆的方程可知a ＝2，c ＝2，且PF 1＋PF 2＝2a ＝4，又PF 1－PF 2
＝2，所以PF 1＝3，PF 2＝1.又F 1F 2＝2c ＝22，所以有PF 21＝PF 22＋F 1F 2
2，即△
PF 1F 2为直角三角形，且∠PF 2F 为直角， 所以S △PF 1F 2＝12F 1F 2PF 2＝1
2×22×1＝ 2.
(2)设动圆的半径为r ，圆心为P (x ，y )，则有PC 1＝r ＋1，PC 2＝9－r . 所以PC 1＋PC 2＝10＞C 1C 2，
即P 在以C 1(－3,0)，C 2(3,0)为焦点，长轴长为10的椭圆上， 得点P 的轨迹方程为x 225＋y 2
16＝1. 答案 (1)2 (2)x 225＋y 2
16＝1 考点二 椭圆的标准方程
【例2】 (1)已知椭圆的中心在原点，以坐标轴为对称轴，且经过两点⎝ ⎛⎭⎪⎫
－32，52，
(3，5)，则椭圆方程为________．
(2)过点(3，－5)，且与椭圆y 225＋x 2
9＝1有相同焦点的椭圆标准方程为________． 解析 (1)设椭圆方程为mx 2＋ny 2＝1(m ，n >0，m ≠n )． 由⎩⎪⎨⎪⎧
⎝ ⎛⎭⎪⎫－322m ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫522n ＝1，
3m ＋5n ＝1，
解得m ＝16，n ＝110
.
∴椭圆标准方程为y 210＋x 2
6＝1.
(2)法一 椭圆y 225＋x 2
9＝1的焦点为(0，－4)，(0,4)，即c ＝4.
由椭圆的定义知，2a ＝(3－0)2＋(－5＋4)2＋(3－0)2＋(－5－4)2，解得a ＝2 5.
由c 2＝a 2－b 2可得b 2＝4.
所以所求椭圆的标准方程为y 220＋x 2
4＝1.
法二 设所求椭圆方程为y 225－k ＋x 2
9－k ＝1(k <9)，将点(3，－5)的坐标代入可
得(－5)225－k ＋(3)29－k ＝1，解得k ＝5(k ＝21舍去)，所以所求椭圆的标准方程为y 220＋x 24＝1.
答案 (1)y 210＋x 26＝1 (2)y 220＋x 2
4＝1
规律方法 求椭圆标准方程的基本方法是待定系数法，先定形，再定量，即首先确定焦点所在位置，然后根据条件建立关于a ，b 的方程组，如果焦点位置不确定，可设椭圆方程为mx 2＋ny 2＝1(m ＞0，n ＞0，m ≠n )，求出m ，n 的值即可． 【训练2】 (1)(2017·常州监测)已知椭圆的中心在原点，离心率e ＝1
2，且它的一个焦点与抛物线y 2＝－4x 的焦点重合，则此椭圆标准方程为________． (2)已知椭圆的长轴长是短轴长的3倍，且过点A (3,0)，并且以坐标轴为对称轴，则椭圆的标准方程为________．
解析 (1)依题意，可设椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2
b 2＝1(a ＞b ＞0)，由已知可得抛物线的焦点为(－1,0)，所以
c ＝1，又离心率e ＝c a ＝1
2，解得a ＝2，b 2＝a 2－c 2＝3，所以椭圆标准方程为x 24＋y 2
3＝1.
(2)法一 若椭圆的焦点在x 轴上，设方程为x 2a 2＋y 2
b 2＝1(a ＞b ＞0)． 由题意得⎩⎪⎨⎪
⎧ 2a ＝3×2b ，9a 2＋0
b 2
＝1，解得⎩⎨⎧ a ＝3，b ＝1.
所以椭圆的标准方程为x 29＋y 2
＝1.
若焦点在y 轴上，设方程为y 2a 2＋x 2
b 2＝1(a ＞b ＞0)． 由题意得⎩⎪⎨⎪
⎧
2a ＝3×2b ，0a 2＋9
b 2
＝1，解得⎩⎨⎧
a ＝9，
b ＝3.
所以椭圆的标准方程为y 281＋x 2
9＝1.
综上所述，椭圆的标准方程为x 29＋y 2＝1或y 281＋x 2
9＝1.
法二 设椭圆的方程为x 2m ＋y 2
n ＝1(m ＞0，n ＞0，m ≠n )，则由题意知⎩⎪⎨⎪⎧
9
m ＝1，2m ＝3×2n
或⎩⎪⎨⎪⎧
9
m ＝1，2n ＝3×2m ，
解得⎩⎨⎧ m ＝9，n ＝1或⎩
⎨⎧
m ＝9，
n ＝81.
∴椭圆的标准方程为x 29＋y 2＝1或y 281＋x 2
9＝1. 答案 (1)x 24＋y 23＝1 (2)x 29＋y 2＝1或y 281＋x 2
9＝1 考点三 椭圆的几何性质
【例3】 (1)(2016·全国Ⅲ卷改编)已知O 为坐标原点，F 是椭圆C ：
x 2a 2＋y 2
b 2＝1(a >b >0)的左焦点，A ，B 分别为C 的左、右顶点．P 为C 上一点，且PF ⊥x 轴．过点A 的直线l 与线段PF 交于点M ，与y 轴交于点E .若直线BM 经过OE 的中点，则C 的离心率为________．
(2)已知椭圆x 2a 2＋y 2
b 2＝1(a ＞b ＞
c ＞0，a 2＝b 2＋c 2)的左、右焦点分别为F 1，F 2，若以F 2为圆心，b －c 为半径作圆F 2，过椭圆上一点P 作此圆的切线，切点为T ，且|PT |的最小值不小于3
2(a －c )，则椭圆的离心率e 的取值范围是________． 解析 (1)设M (－c ，m )，则E ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，am a －c ，OE 的中点为D ， 则D ⎝ ⎛
⎭⎪⎫0，am 2(a －c )，又B ，D ，M 三点共线，
所以m 2(a －c )＝m a ＋c
，所以a ＝3c ，所以e ＝13.
(2)因为PT ＝PF 2
2－(b －c )2(b ＞c )，
而PF 2的最小值为a －c ，所以PT 的最小值为(a －c )2－(b －c )2.依题意，有
(a －c )2
－(b －c )2
≥3
2(a －c )，所以(a －c )2≥4(b －c )2，所以a －c ≥2(b －c )，所
以a ＋c ≥2b ，所以(a ＋c )2≥4(a 2－c 2)，所以5c 2＋2ac －3a 2≥0，所以5e 2＋2e －3≥0.①
又b ＞c ，所以b 2＞c 2，所以a 2－c 2＞c 2，所以2e 2＜1.② 联立①②，得35≤e ＜22. 答案 (1)13 (2)⎣⎢⎡⎭
⎪⎫
35，22
规律方法 (1)求椭圆离心率的方法
①直接求出a ，c 的值，利用离心率公式直接求解．
②列出含有a ，b ，c 的齐次方程(或不等式)，借助于b 2＝a 2－c 2消去b ，转化为含有e 的方程(或不等式)求解． (2)利用椭圆几何性质求值或范围的思路
求解与椭圆几何性质有关的参数问题时，要结合图形进行分析，当涉及顶点、焦点、长轴、短轴等椭圆的基本量时，要理清它们之间的关系．
【训练3】 (2017·盐城模拟)已知椭圆：x 24＋y 2
b 2＝1(0＜b ＜2)的左、右焦点分别为
F 1，F 2，过F 1的直线l 交椭圆于A ，B 两点，若BF 2＋AF 2的最大值为5，则b 的值是________．
解析 由椭圆的方程可知a ＝2，由椭圆的定义可知，AF 2＋BF 2＋AB ＝4a ＝8，所以AB ＝8－(AF 2＋BF 2)≥3，由椭圆的性质可知过椭圆焦点的弦中，通径最短，则2b 2
a ＝3.所以
b 2＝3，即b ＝ 3. 答案
3
考点四 直线与椭圆的位置关系
【例4】 (2015·江苏卷)如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆x 2a 2＋y 2
b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为2
2，且右焦点F 到左准线l 的距离为3.。