67 离散时间的互惠系统的正周期解的存在性

文章编号：０１ ２（ ０） －２１ １０－６６ ０４ ３０７－９ ９ ２ ０ ０
０ 引 言
近年来许多学者利用拓扑度的方法，致力于研究非自 治微分方程系统的周期解的存在性 问 许多过去难以解决的高维问题因此也有了突破性的进展， 题， 得到了许多好的结果 【 ４ １ ］但 － 就作者所知，目 前利用这种方法研究离散时间差分系统的周期解的存在性的问题还不多见． 本文研究具有周期系数的互惠系统的差分方程， 它的连续时间的微分系统是如下形式：
ａ（ ） ｌ ｋ
同理，由 （３ 的第二个方程也可以得到 １） ．
（ １ Ｊ一
ｒ ＞ 又 ：（ ｅ（ ｅ ，ｒ ＜ 又 ｒ（） （） ２ ） ２ ｗ ：） ｋｙ ２ ｋ ２ ） ２ ｗ ｚ ｅ ｋｅ ＋ ａ（ ｋ２ ｙ ２ ｋ ｋ－ ０
因此，可以得到
ｘ（） ２ ｋ
（． ０２ ）
其中ｋ 是非负整数， 记作 ｋ ｏｘ（ 代表 ｉ物种在世代 ｋ Ｅ ． ） Ｚ ｉ ｋ 一 的密度． 、为给定的正整数， 设
ａ６ｃ： ｝ ｒ： Ｒ（ １ ） ＝ｉｉ －Ｒ ， ｏ ， ， Ｚ ， ｏ ＋ ｉ － ｉ ２均为。周期函 且９＞ Ｚ＋ ＝ 一 数， ＇ ． ｉ ０
｝ （ｉ Ｉ。（＊ ： ｉ｝，一 ｝｝ ｝Ｅ ：：（ 一１ １ｅ 、一， ＝： ｌ ：） ｚ Ｉｚ ｝／ 。 · ｙ 、 ｙ ｔ ｏ ｝
证 首先，作变量替换
ｘ（ ＝ｅｐｙｋ｝ （＝１ ） ｉ ） ｘ｛ （ ， ， ， ｋ ｉ ） ｉ ２
万方数据
生
物
数
学
学
报
第１ ９卷
因此有
ｘ（＋１ ； ） ｋ ＝ｅｐ （＋１一ｙ ｋ｝ ｘ｛ ｋ ） ＝） ｙ ， （
ｘ（ ） ， ｋ
＝ １２ ， ，
系统 （２ 可改写为 ０） ．
ｙ＋一ｋ “－（） １ ｅｐ （）一“ （， １ “一（‘１ ＋ｂ（） （２ ） ‘ｐ“ （‘１ ） ａ ｋ ｋ ｘ Ｙ ｋ ，ｙ， ｋ，（ （ ， ｅｌ） ｘ‘ ｅｐｙ（） ｘ （２ ） ｋ ｙ＋一ｋ “－（） ２ ｅｐ （）一“ｐｋ ２‘２一（，２ ＋ｂ（） （， ） ‘ （） （，（ ） ａ ｋ ｋ ｘ ｙ ｋ ，ｙ） ｋ ； （ ， ｅ２１ ｘ（
（． １） ４
所以 Ｍ。 ｔ的选取无关． 与 ｔ 至此，已 对方程 （３的每一个解 。 （ ， ） 证明 １） ． ＝ ｙ ｙ 满足腼日 Ｍ ． １２ ＜ Ｏ 定理 １５ 系统 （２至少存在一个正的、周期解， ． ０） ． 即Ｙ（ ＝（ （， （） ，存在一个 ＊ ｙ ， ｙ ｔＴ ｔ ｉ） ｚ ） ） 正常数 Ｍ 满足 ｌ＇ 三Ｍ， ｌｌ ｙｌ 其中
＞ｇｋ） － （＋１一９Ｓ ｝ ＿ ２一Ｔ Ｉｓ ） （ ｝ （ ｇ ）
、
了 ， 上
Ｃ ｊ ￣
／ 、！
万方数据
第 ３期
柏
灵等：离散时间的互惠系统的正周期解的存在性
先考察如下的代数方程：
ｗｉ ｋ 帅－ － ０ １ Ｌ ｆ ｒ ｗ２卜 ｋ（ －ｋ ０） ｉ（ ［ ｒ
证 由 （３ 可知 ） １ ．
万方数据
生
物
数
学
学
报
第 １ ９卷
ｆ ＝ｍｎｆ ，ｆｑ ＝ｍ ｘｆ ，Ｓ 。Ｅ （） ｉ （ ｝ （） ａＩ ｝（， ｌ） Ｓ ｉ ｛ ｋ ） ｉ （ ｋ ｉ、 ＇ ）
凡七ｊ ， Ｋ（Ｉ ： ，
利用与文 ８ ｝ 【９的同样的方法和技巧， ， 很容易得到系统 （ １的离散化近似， ０） ． 它是如下形式
ｇ
百 产
、
，
，尤
、 、 ． ． 产
＜ ｌ＋兄 ｌｓ ） ｇＳ ， ｇｋ） （ ｇ ＋１一 （ Ｉ （ ） ａ－ ０
、 、
廿万 １ ， １
｝Ｉ
、 １ 才护
：
ｇ
！
子
户允
、 、． ． 了
山一 １
（． １） ３
＝０ ，
其中（ ， Ｒ， ０１是参数。 ｙ ｙ Ｅ Ｎ ［ ］ １ ２ ２ ， ， ） Ｅ 那么我们有下面的引理
引理 １ 存在一个与参数 ｐ ． ４ 无关的常数 Ｍｏ 使得对于 （３ 的每一个解 ｙ ｙ， １） ． ＝（ ｙ） １ ２满足
Ｉｌ Ｍ ， 取范数 ｝日 （ ＋。 １ ｌｌ Ｏ 其中 ｙ ＜ － ！ ＝ 。 若／ 。 子 ）２
ＺＺ， ， 十 ｏ 分别代表所有整数集， 整数集和正整数集· Ｚ 非负
Ｃ任Ｚ ， ９＝ Ａ ＋ ）
山ｋ ＝０
，， １ ｋ几 ＝｛， ３… ， ｝ ） ０１２ ， 、一１ １ ｙ （
对给定的某个函数 ｆ ，
收稿ｅ期： ０ ２ ０ 一 ５ ２ ０－ ５ １
荟 项目 国 然 学 金资 项目（ １１１ 和 １２１０） 国 教 部 研 基 助 金 ： 家自 科 基 助 １ ７００ ０００５ ； 家 育 科 重点 金资 项目（１６） ０ ００１ 作 简 柏 １７勺， ， 蒙 海 人， 师 者 介： 灵（９３ 女 内 古 拉尔 讲 ·
本文的主要目 的是证明 系统 （２的正周期解的存在性， ０） ． 因此在下一节我们将利用重合度 理论中的延拓定理 （ａ ｅ ａｄ ｗ ｉ［］给出 Ｇ ｉ ｓ Ｍ ｈ １） 本文主要结果的证明 ｎ ｎ ａ ｎ ０ ． １ 主要结果
为了读者的方便， 首先我们引入这一小节用到的基本概念和定理 【］ １． ０
一一
． ． Ｌ 工． ． ． ．
曰又
ｒ ｅ ． ． ． ． Ｌ
’ ？ ｗ ２
ｆｉ ） ｌ ｉ （ｅ ｒｋ ｙ ＋：（） （） ｌ ： ｅ ｋｅ ｋｉ ｙ ａ（ ＋ｂ（） ２ ， ｉ ｅ ｋ ） ｋｙ ｐ２ ｅ ） ２ ＋ｒ（ Ｃ ｋ ｙ ｒ（ ｙ ｋ ２ ）（ｅ ｋ ２ ） ２
． ． ． ． ． ． Ｊ ， ． ． ． ． ｅｓ ｗｅ Ｊ
紧的．假设
（． ａ 对任意的ａ （ １ 方程 Ｌ ＝Ａ ｘ 解满足 二 ａ ； ） 〔０ ） ， ， ｘ Ｎ 的 Ｖ ｓ ｐ （． ｂ 对任意的 ｘ Ｓ（ ｅＬ Ｑ ｘ 并且 ） Ｅ １ 有 Ｎ ０ Ｏ Ｋｒ ２ ０
ｄｇ Ｊ Ｎ， ＫｅＬ ０ ０ ｅ｛ Ｑ Ｓｎ ｒ ， ０ ２ １ ．
（． ０１ ）
的连续函数．这个模型最初由 其中ａ ｂ ｃ ：Ｅ ［９） ０ ）（＝１ ） ｔ ｉ ｉ 、 Ｃ ０ ０， ， ｉ ， 是周期为。＞０ ， ， ， （， （ ０ ） ２ 种群 二 的存在有助于 ｘ 的增 ： １ 在时刻 ｔ 的密度． Ｍ ｙ ａ ＲＭ在 １ ６ ９ 年提出 【 ７ ｘ 代表种群 ‘ ７ ５］ 、 －． ： １ 长，换句话说， ｘ 的存在增大了 ｘ 的环境容纳量，反之亦然． 为行文方便，本文采用如下的记号．
ｒ ｋｅ ｚ ）２ （ ｙ
， ＊ ｛ ‘
、 － 一
“、 ｉ Ｉ一于 ‘ 二ｉ十 二下元 Ｉ ｉ ｃ ｒ
＼“！ ／
（＝１２ ｉ ，）
令 Ｈ ＝ｍ ｘ １； ， ， ｉ ａｆ １ ：＝１ ｝易知ｉ 与Ｐ Ｉ ， ｉ ２ Ｌ １ ｉ １ ｆ ： 无关， 并且满足
ｌ Ｈ，ｌ ＜ ’ Ｈ２／ ：Ｏ ｙ＜ Ｉｌ １ ｚ ＝Ｍ， ｉ ｉ ｙ＿Ｈ ＋ ）２ Ｉ ｌ （ １
ｅｐｙ（） ｘ （１ ） ｋ
（． １） ５
Ｘ＝Ｚ＝｛（ ＝（ （ ， ） Ｅ ， ｙ ＋ ） （ ｝ ｙ ） ｙ ｋ ｙ（） Ｃ Ｒ） （ 。 ＝ｙ ） ｋ ， ２ Ｔ （ ２ ｋ ） ｋ Ｚ ， ｋ， 其中， ｙ ｙ Ｅ ＝（ ， Ｒ １２ ２ ）
定义
（． １） ６
１＝｛ ＝｛（ ｝ ｙ ） ２ Ｅ ２ ｙ ｙ ）：（ Ｅ ｋ ） ｋ ｋ Ｒ， Ｚ
取范数
（－ １） ７
｝！ （， 。０１ ！卜 １１ Ｙ２ ２ 。 ｙ０ ： ， ２ ２ ＋１１１ ）
其中
｛ ｏ ｍｘ ＝ ） ‘ ， ， ‘ ． ｙ ＝ｋ ｌ（ １ ＝１ ） ｙ Ｘ ｄ Ｅ ｙ ｋ ，（ ２ ａ ｌ
为Ｘ中的有界开集， Ｎ卿 是有界的 若Ｑ （ 且Ｋ （一 ） 几＊Ｘ是紧的， ｐＩ ＱＮ： 则称Ｎ在０上是
Ｌ紧的．由于 Ｉ Ｑ和 Ｋ ｒ ｍ ｅＬ是同构，因而存在同构映射 Ｊ Ｑ Ｋ ｒ． ： － ｅＬ Ｉ ｍ ４
引 ．１ Ｃ ｔｕ ｉ ｈ ｒ （ ｎｎａｏ Ｔｅｅ）设Ｌ 指 为 理１ １ ｏ ｉ ｔｎ ｏｍ １０ １ 是 标 零的Ｆ ｈｍ映 ｅ ｏ 射，Ｎ在Ｑ 是Ｌ ｄｌ 上 －
Ｘ ，（ － １ （， 一，） ）（ 一‘ Ｘｒ （‘ ２ ，－ ＝ ） ２ （ （ ｔ ） 一
ｘ（ ｉ） ｔ ａ（ ＋ｂ（ｘ（ ｌ ） ｉ ）２ ） ｔ ｔ ｔ ｘ（ ２） ｔ ａ（ ＋ｂ（ｘ（ ２ ２ ｉ ） ｔ ） ｔ ｔ ）
一，， 。 （， １） （） ） 一 一ｔ， ｃ一） ２ １ （（ ））
ｘ ｘ ｏ Ｌ ０内至少存在一个解． 那么方程 Ｌ ＝Ｎ 在 ｄｍ ｎ
引理 １ 狱 ＝ｉ ｌ ２ ｉ Ｏ ＝ 关 系 （ ） 正 不 ． ２ （ ，自ｘ＞ ， １ ｝ 于 统（ 是 向 变的 ｘｘ ｉ ２ ， ０ ． ２ · 引理 １ ９ １ 设 。： － ｆｇ ＋。 ＝ｇ ．１ ３ Ｚ ｔ （ ） （， ａ ｋ ， ｋ、是正整数， ） 则对任意的 ｋ， ＇＝ ｉ２ ｌ ｋ 〔Ｉ ｛，，， ， １２３二 、一１ 及任意的 ｋ ， ｝ ＥＺ 有
一．
ａ（） ２ ） ｌ ２ ＋ｂ（ ｅ ｋ ｋｙ
由 （３ 的第一个方程可得 １） ．
ｗ一 １
ｒ ＞ 又 ｒ（ ｅ（ ｅ ，几 １ ｗ ｉ ） ｋ ｙ 、＜ 又 ｒ（）ｉ ） ｉ ｋ ｉ）ｌ ｉ ｅ（ ｅ ＋ ｋ ｋｙ
ｋ－ ０
ｒｋｙ ｉ ）， （ｅ
设 Ｘ， Ｚ是赋范向量空间， Ｌ： ｏ ＬＣＸ－ Ｚ是线性映射， Ｎ ： － Ｚ为连续映射． Ｄｍ ｝ Ｘ ４ 如
果ｄ Ｋ ｒ ＝ ｉＩ Ｌ＜＋ 且Ｉ Ｌ ｉ ｅ ｃ ｍｍ ｍ Ｌ ｏ ｄ ０ ｍ 为Ｚ中的闭 子集， 那么就称为映射Ｌ 是指标为零的
Ｆ ｄｏ ｒ ｈｌ ｅ ｍ映射．如果还存在投影映射 Ｐ： Ｘ一 Ｘ和 Ｑ： ＞ Ｚ－ Ｚ满足 Ｉ ｐ＝Ｋ ｒ， Ｑ＝ ｍ ｅＬＫ ｒ ｅ Ｉ Ｌ＝Ｉ （一Ｑ 则 Ｌ ｏ Ｌ ｅＰ： 一ＰＸ Ｉ Ｌ可逆， ｍ ｎ ｒ １ ） ｌ ｍ ｎ ｒ （ ） － ｍ ｄ Ｋ Ｉ ＞ 并设其逆映射为 Ｋ ． ｐ 又设 Ｑ
Ｊｏｕｒ ｌ ｏｆ ｎａ
生 物 数 学 学 报 ２０ ， ） １２９ ０４ （ ： －７ １３ ２ ９ ７
Ｂｉ ｍ ａ ｈ ｍ ａ ｉ ｓ ｏ ｔｅ ｔｃ
离散时间的互惠系统的正周期解的存在性
柏 灵 ‘ 范 猛’ 王 克’
（ 吉林大学 数学科学院 １ 数学中 吉 长 １０６ ； 东 心， 林 春 ３０ １ ２ 北师范 大学 数学系， 林 长春 １０２ 吉 ３０封 摘 要： 利用重合度理论中的延拓定理研究了 一类其有周期系数的离散时间的差分互惠系 统模型．得到了 该系统正周期解存在的充分条件． 关键词：互惠系统；周期解；差分方程；重合度 中图分类号： ０１５ ７ 分类号：９ ｌ ５ ３ Ｋ２ ＭＲ ２ ２ ； ０ ４ 文献标识码： Ａ
ｒｉ ｗ
一， “ｙ ‘ｉ （） “ 已 ２ （） ｋ ｅ ２ ａ（ ＋ｂ ｋ ｙ 一 ） ２ ２ ） ｌ ｃｙ ｋ ） （ｅ
， 卫 ｌ ｗｅ ｅｓ ｅｓ ｅｓ ｅｓ Ｊ 卜ｅｓ ｅｓ ｅｓ ． ． ． ． Ｊ
ｐｙ ｅｌ
赵ｙ ｅｅ
ａ（） ｉ ） ２ ， ｋ ＋ｂ（ ｅ ｋｙ
来自百度文库二０ ，
的差分方程： ｘ（＋１ ＝ １ ） ｋ ｘ（＋１ ＝ ２ ） ｋ
一ｅ一（ａ（）＋６（）２ｋ 一ｋ“ （ｐ（ｉ１ｋ １ｋｘ（） ｃ一） “ ｛） ） ‘－ ｘ １ ｝ （‘ ’， 一ｅ一（ａ（）＋６（）１ｋ 一 ’， （ｐ（Ｉ２ｋ ２ｋｘ（） ｃ一） “ ｛） ， “－ ｘ ２“ “ ｝
ｘ （） １ ｋ