大学物理-力矩的功 刚体绕定轴转动的动能定理

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4-4 力矩的功 刚体绕定轴转动的动能定理
讨论
子细 弹绳 击质 入量 沙不 袋计
o
以子弹和沙袋为系统
动量守恒；
v
角动量守恒； 机械能不守恒 .
（重力为外力，也做功） （非保守内力摩擦力做功）
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4-4 力矩的功 刚体绕定轴转动的动能定理
以子弹和杆为系统
子 弹 击 入 杆
o
动量不守恒；
角动量守恒；
2 2
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4-4 力矩的功 刚体绕定轴转动的动能定理
例2 留声机的转盘绕通过盘心垂直盘 面的轴以角速率 ω 作匀速转动．放上唱片 后，唱片将在摩擦力作用下随转盘一起转 动．设唱片的半径为R，质量为m，它与转 盘间的摩擦系数为 ，
求：(1)唱片与转盘间的摩擦力矩；
(2)唱片达到角速度 ω时需要多长时间；
4-4 力矩的功 刚体绕定轴转动的动能定理
力的时间累积效应： 冲量、动量、动量定理． 力矩的时间累积效应： 角冲量、角动量、角动量定理． 力的空间累积效应： 力的功、动能、动能定理． 力矩的空间累积效应： 力矩的功、转动动能、动能定理．
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4-4 力矩的功 刚体绕定轴转动的动能定理
一
力矩作功 dW F dr F ds

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因此得
( M J / R2 )v 2 (kx 2 2 Mgx sin ) 0 (1)
滑到最远处时,
v 0 ,由(1)式得 2 Mg sin x max k 0 2 2 9.8 sin 37 1.18m 20 (1)式对 x 求导:
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4-4 力矩的功 刚体绕定轴转动的动能定理
四
刚体绕定轴转动的动能定理 1 2 2 d d Jd W Md J 1 1 1 dt 2 1 1 2 2 W Md J 2 J1 1 2 2
——刚体绕定轴转动的动能定理
比较
1 1 2 2 W F dr mv2 mv1 2 2
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例：图中滑轮半径R=0.3m,转动惯量J=0.5kg.m2 ,弹簧的倔强系数为 K=20N/m,物体质量M=2kg,斜面倾角 37 0 ,若物体从静止释放, 释放时弹簧无伸长.摩擦不计.问 (1)物体最多能下滑多远？ (2)当物体速率最大时,物体己下滑多远？
定轴转动的动能定理
4-4 力矩的功 刚体绕定轴转动的动能定理
由此得
l 1 mg J 2 2 2 mgl J
1 2 因 J ml 代入上式得 3
3g J
所以细棒在竖直位置时，端点A和中心点C的速度 分别为
v A l 3 gl l 1 vC 3 gl 2 2
mA
(2) 物体 B 从静止落下 距离 y 时，其速率是多少？
mC
mB B
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例5 一长为 l 、质量为 m 匀质细杆竖直放置，其 下端与一固定铰链O相接， 并可绕其转动．由于此竖 直放置的细杆处于非
Hale Waihona Puke Baidum,l
θ
O mg
稳定平衡状态，当其受到微小扰动时，细 杆将在重力作用下由静止开始绕铰链O 转 动．试计算细杆转动到与竖直线成 角时 的角速度．
J.R
解：设弹簧伸长X时,物体的速度为V, 滑轮的角速度为 v / R ,由机械能守 恒,对M、滑轮、弹簧、地这系统有 k
E p E k 0
M
其中
1 1 1 2 2 Ek Mv J ( M J / R 2 )v 2 2 2 2 1 E p kx 2 Mgx sin 2
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射入竿后，以子弹、细 杆和地球为系统，E =常量．
o
30

1 1 2 2 2 ( ml ma ) 2 3
o
a
m v
'
l o mga 1 cos30 ) mg (1 cos 30 ) ( 2
v g (2 3 )( ml 2ma )( ml 3ma ) 6 ma
v
d
F
F
F rd
dW Md
力矩的功 W
dr
o
r
x

2
1
Md
2
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二
dW d 力矩的功率 P M M dt dt 比较 W F dr P F v
三
转动动能
1 2 Ek mi vi i 2 1 1 2 2 2 ( mi ri ) J 2 i 2
在使棒从水平位置下摆到竖直位置过程中，重力 矩所作的功是
A dA

2 0
应该指出：重力矩作的功就是重力作的功，也可 用重力势能的差值来表示。棒在水平位置时的角 速度0＝0，下摆到竖直位置时的角速度为 ，按 18 力矩的功和转动动能增量的关系式得
l l mg cos d mg 2 2
v
机械能不守恒．
（o点有水平外力， 竖直方向有重力）
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（重力为外力，也做功）
（非保守内力摩擦力做功）
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o
圆 锥 摆
'
圆锥摆系统
动量不守恒；
R
T
m
p
o
v
角动量守恒； 机械能守恒．
（小球所受合外力不为0）
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于是，在宽为dr的 圆环上，唱片所受的摩 擦力矩为
df
πR R 2 mg 2 r dr 2 R 2 mg R 2 2 M 2 0 r dr 3 Rmg R
2
dM
mg
o
r
dl dr
rdr (2 πr )
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M 4 g （作匀加速转动） J 3R 3R 由 0 t 可求得 t 4g 2 2 (3) 由 0 2 可得在 0 到 t 2 的时间内，转过的角度为 3 R 8g 1 驱动力矩做的功为 W M mR 2 2 4
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4-4 力矩的功 刚体绕定轴转动的动能定理
例1 一长为 l , 质量为m o 的竿可绕支点O自由转动．一 30 质量为m’、速率为v 的子弹射 a ' 入竿内距支点为a 处，使竿的 m o 偏转角为30 . 问子弹的初速 v 率为多少? 解 子弹、竿组成一系统，应用角动量守恒
1 3mva 2 2 mva ( ml ma ) 2 2 3 m'l 3ma
课堂练习 用刚体绕定轴转动的动能定理重解4-2 例4、例5第二问.
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4-4 力矩的功 刚体绕定轴转动的动能定理 例4 质量为mA的物体A 静止在光滑水平面上，和一质量 不计的绳索相连接，绳索跨过一半径为R、质量为mC的 圆柱形滑轮C，并系在另一质量为mB 的物体B上，B 竖 直悬挂．滑轮与绳索间无滑动， 且滑轮与轴承间的摩擦 力可略去不计． A (1) 物体A运动的加速度 C
2
dv 2( M J / R )v (2kx 2 Mg sin ) 0 dx dv 令 0( v 达最大值时,己不会随x变化) dx 8 Mg sin 1 x xmax、 0.59m k 2
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(3)在这段时间内，转盘的驱动力矩做 了多少功？
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解 (1) 如图取面 积元ds = drdl，该面元 所受的摩擦力为
df
df
mg
πR
2
o
r
dl dr
drdl
R
此力对点o的力矩为
rdf
mg
πR
2
rdrdl
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(2) 由转动定律求 ，(唱片J=mR2/2)
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例题4-8 一根质量为m、长为 l 的均匀细棒OA（如 图），可绕通过其一端的光滑轴O在竖直平面内转 动，今使棒从水平位置开始自由下摆，求细棒摆到 竖直位置时其中点C和端点A的速度。 解 先对细棒OA所受的力作 一分析；重力 G 作用在棒 的中心点C，方向竖直向下 ；轴和棒之间没有摩擦力 ，轴对棒作用的支承力 N 垂直于棒和轴的接触面且 通过O点，在棒的下摆过程 中，此力的方向和大小是 随时改变的。
O

A
A G

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4-4 力矩的功 刚体绕定轴转动的动能定理 在棒的下摆过程中，对转轴O而言，支撑力N通过 O点，所以支撑力N的力矩等于零，重力G的力矩则是 变力矩，大小等于 mg( l / 2)cos ，棒转过一极小的 角位移d 时，重力矩所作的元功是
l dA mg cos d 2