第十章 对面积的曲面积分

4 R 2πH dx = = 2 ∫ dz ∫ 2 2 R R 0 0 R x
H R
例4 计算∫∫ | xyz | dS,
其中 ∑ 为抛物面 z = x2 + y2(0 ≤ z ≤ 1).
∑
解
依对称性知: 依对称性知:
z
抛物面 z = x 2 + y 2 轴对称, 关于z轴对称,
被积函数| xyz |关于 xoz , yoz 坐标面对称
∑
x2 + y2 + z2 = a2的八面体| x | + | y | + | z |= a表面 表面.
解 被积函数 f ( x , y, z ) = x 2 + y 2 + z 2 ,
关于坐标面,原点均对称 , 关于坐标面, 积分曲面∑ 也具有对称性 ,
故原积分 ∫∫ = 8∫∫ ,
∑ ∑1
(其中∑1表示第一卦限部分曲面 其中 表示第一卦限部分曲面)
这就是把对面积的曲面积分化为二重积分的计算公式 简述为:一代,二换, 简述为:一代,二换,三投影 代:将曲面的方程代入被积函数 换:换面积元 dS 投影: 投影:将曲面投影到坐标面得投影区域
注:
单值显函数, (1)这里积分曲面的方程必须是单值显函数,否则 )这里积分曲面的方程必须是单值显函数 可利用可加性,分块计算, 可利用可加性,分块计算,结果相加 (2)把曲面投影到哪一个坐标面,取决于曲面方程 )把曲面投影到哪一个坐标面, 即方程的表达形式 (3)将曲面的方程代入被积函数的目的和意义是 ) 把被积函数化为二元函数 (4)切记任何时候都要换面积元 )
∑
1 2
由上述定义可知 其性质与对弧长的曲线积分的 性质完全类似
ⅰ)线性性 ⅱ)可加性 ⅲ)存在性
∫∫ (λf + g )dS = λ ∫∫ fdS + ∫∫ gdS ∑ ∑ ∑
∫∫ fdS = ∫∫ fdS + ∫∫ fdS ∑ ∑ ∑
1 2
(∑ = ∑ 1 + ∑ 2 )
若f ( x , y , z )连续, 则∫∫ f ( x源自文库, y , z )dS存在
∑1 : x + y + z = a , 即 z = a x y
dS = 1 + z x + z y dxdy = 3dxdy
2 2
∫∫ ( x ∑
2
+ y + z )dS
2 2
= 8 ∫∫ ( x 2 + y 2 + z 2 )dS
∑1
= 8∫∫[ x 2 + y2 + (a x y)2 ] 3dxdy = 2 3a 4 .
2
2
+ y )dS
2
2
= ∫∫ ( x + y )dS = ∫ dθ ∫ r rdr =
2 2
2
2π
1
π
2
D
∫∫ ( x ∑
2
+ y )dS = ∫∫
∑1
1+ 2 + ∫∫ ( x + y )dS = π 2 ∑2
2 2
0
0
1 例3 计算 ∫∫ 2 2 dS x +y ∑
其中∑ 是介于平面
x2 + y2 = R2 z = 0 与 z = H 之间的圆柱面
Dxy
例8 求均匀曲面 z = a2 x2 y2 的重心坐标 解 由对称性 x = 0 , y = 0
∫∫ dS ∑ ∫∫ dS = ∫∫ ∑ D
= ∫∫
D
z=
∫∫ zdS ∑
2 1 + z x + z 2 dxdy y
2π
(D : x2 + y2 ≤ a2 )
a
a a dxdy = ∫ dθ ∫ 2 rdr 2 2 2 2 a x y 0 0 a r
显然
∑1
∫∫ xdS = ∫∫ xdxdy = 0,
D1
∫∫ xdS = ∫∫ x D ∑
2 1
1 + 1dxdy = 0,
讨论 ∑ 3 时, 将投影域选在 xoz 上.
注 : 左, 片) ( 意 y = ± 1 x 分 左 右 片) 为 , 两
2
(左右两片投影相同) 左右两片投影相同)
∫∫ xdS = ∫∫ xdS + ∫∫ xdS
λ →0
抽象概括得到对面积的曲面积分的概念
i =1
实例
是光滑的, 若曲面 ∑ 是光滑的 它的面密度为连
求它的质量. 续函数 ρ( x , y , z ) , 求它的质量
所谓曲面光滑 即曲面上各点处都 有切平面, 有切平面,且当点在 曲面上连续移动时, 曲面上连续移动时, 切平面也连续转动. 切平面也连续转动.
D′ xy
其中 D ′ = {( x , y ) | x 2 + y 2 ≤ 1, x ≥ 0, y ≥ 0} xy
利用极坐标
π
2 1 2
x = r cos t , y = r sin t ,
2
= 4 ∫0 dt ∫0 r cos t sin t r
π
2
1 + 4r rdr
2
= 2 ∫0 sin 2tdt ∫0 r 5 1 + 4r 2 dr
对面积的曲面积分
一,对面积的曲面积分的概念和性质
前面已经介绍了两类曲线积分, 前面已经介绍了两类曲线积分,对第一 n 类曲线积分 ρ ( x , y )ds = lim ρ (ξ ,η )s
∫L
λ →0
∑ i =1
i
i
i
其物理背景是曲线型构件的质量, 其物理背景是曲线型构件的质量,在此质量问 题中若把曲线改为曲面,线密度改为面密度, 题中若把曲线改为曲面,线密度改为面密度,小 段曲线的弧长改为小块曲面的面积, 段曲线的弧长改为小块曲面的面积,相应地得和 n 式 lim ∑ ρ (ξ i ,η i ,ζ i )Si
y
x
有 ∫∫ = 4 ∫∫ 成立,
∑ ∑1
( ∑ 1为第一卦限部分曲面 为第一卦限部分曲面)
2
dS = 1 + z′ + z′y dxdy x
2
= 1 + (2 x )2 + (2 y )2 dxdy
原式 =
∫∫ | xyz | dS = 4 ∫∫ xyz dS
∑
∑1
= 4 ∫∫ xy ( x 2 + y 2 ) 1 + ( 2 x )2 + ( 2 y )2 dxdy
是光滑的, 1.定义 1.定义 设曲面∑ 是光滑的, 函数 f ( x, y, z)在∑ 上有界, 上有界, 把∑ 分成n小块Si (Si 同时也表示 小块曲面的面积) 第i 小块曲面的面积)设点(ξi ,ηi ,ζ i )为Si 上任 , 意取定的点, 意取定的点,作乘积 f (ξi ,ηi ,ζ i ) Si , n
∑
∫∫ D
xz
f [ x , y( x , z ), z ] 1 + y′ + y′ dxdz; x z
2 2
3. 若曲面∑: x = x( y, z)
则
∫∫ f ( x , y , z )dS =
∫∫ D
yz
∑
′y 2 + x′ 2 dydz . f [ x ( y , z ), y , z ] 1 + x z
∑
二,对面积的曲线积分的计算法
按照曲面的不同情况分为以下三种: 按照曲面的不同情况分为以下三种:
1. 若曲面∑ :
则
∑
z = z( x, y)
∫∫ f ( x , y, z )dS =
∫∫ D
′x 2 + z′y 2 dxdy; f [ x , y , z ( x , y )] 1 + z
xy
则
∫∫ f ( x , y , z )dS =
(∑ 在第一卦限的部分
0≤ x≤ R
解 令 ∑ 1 : y = R2 x 2
)
∑ 1 在zox面的投影区域为
Dzx : 0 ≤ z ≤ H
由对称性
有
1 1 ∫∫ x 2 + y 2 dS = 4∫∫ x 2 + y 2 dS ∑ ∑1 1 2 = 4 ∫∫ 2 1 + y x + yz2 dxdz R Dzx
若 f(x , y , z ) 关于z(或 x ,或 y
∑
)是偶函数
∫∫ f ( x , y, z )dS = 2∫∫ f ( x , y, z )dS ∑ ∑
1
其中 ∑ 1 是 ∑ 位于对称坐标面一侧的 部分
完全类似于三重积分的对称性
例5 计算
∫∫ ( xy + yz + zx)dS ∑
∑
其中∑ 为
5
∑
2
64 2 4 a = 15
2
+ y2 = 1,
平面z = x + 2及z = 0所围成的空间立体的表面 所围成的空间立体的表面.
解
∫∫
∑
2
=
∫∫
∑1
+
∫∫
∑2
+
∫∫
∑3
2 2
其中 ∑ 1 : z = 0 ,
2
∑ 2: z = x + 2,
∑ 3 : x + y = 1. 投影域 D1 : x + y ≤ 1
2 2
π
D 2 2 a cosθ
= 2 ∫ dθ
π
∫ [r 0
2
sinθ cosθ + r (sinθ + cosθ )]rdr
2
2
π
1 = 2 ∫ [sinθ cosθ + sinθ + cosθ ] 16a 4 cos4 θdθ 4 π
2 4
2
π
= 8 2a
例6
∫ cos θdθ 0 计算∫∫ xdS, 其中∑是圆柱面 x
z x 锥面 = x2 + y2被柱面 2 + y2 = 2ax所截得的部分
解 ∑ 在 xoy 面的投影区域
D : x 2 + y 2 ≤ 2ax
x x2 + y2 zy = y x2 + y2
z=
∑
x +y
2
2
zx =
故 ∫∫ ( xy + yz + zx )dS = 2 ∫∫ [ xy + ( x + y ) x + y ]dxdy
例1 计算∫∫ ( x + y + z)ds, 其 ∑ 为 面 中 平
y + z = 5被 面x + y = 25所 得 部 . 柱 截 的 分
2 2
∑
解
积分曲面 ∑:z = 5 y ,
投影域 : Dxy = {( x , y ) | x 2 + y 2 ≤ 25}
dS = 1 + z′x + z′y dxdy
并作和∑ f (ξi ,ηi ,ζ i ) Si , 如果当各小块曲面
i =1
的直径的最大值λ → 0时, 这和式的极限存在, 这和式的极限存在, 则称此极限为函数 f ( x, y, z)在曲面∑ 上对面积 曲面积分或第一类曲面积分. 的曲面积分或第一类曲面积分.
记为
即
∫∫ f ( x , y, z )dS . n ∫∫ f ( x , y, z )dS = lim ∑ f (ξ i ,η i , ζ i )Si λ →0
∑
∑
i =1
叫被积函数, 其中 f ( x , y , z )叫被积函数,
其物理背景是面密度为 f ( x , y , z ) 的曲面块的质量
2.对面积的曲面积分的性质 2.对面积的曲面积分的性质
若 ∑ 可分为分片光滑的曲面 ∑ 1及 ∑ 2 , 则
∫∫ f ( x, y, z)dS =∫∫ f ( x, y, z)dS +∫∫ f ( x, y, z)dS. ∑ ∑ ∑
= 2πa 2
∫∫ zdS = ∫∫ ∑ D
D
a a x y 2 dxdy 2 2 a x y
2 2 2
= a ∫∫ dxdy = πa 3
2 2
= 1 + 0 + (1) dxdy = 2dxdy,
2
故
∫∫ ( x + y + z )ds
∑
D xy
= 2 ∫∫ ( x + y + 5 y )dxdy = 2 ∫∫ ( 5 + x)dxdy
D xy
5
= 2 ∫ dθ∫ ( 5 + r cos θ)rdr = 125 2π. 0 0
2π
2 2
z
∑2 : z = 1
故 ∫∫ ( x 2 + y 2 )dS
∑1
= ∫∫ ( x + y ) 1 + z + z dxdy
2 2 2 x 2 y D
∑1
o
= 2 ∫∫ ( x + y )dxdy
2 2 D 2π 1 2
y
x
2 π = 2 ∫ dθ ∫ r rdr = 2 0 0
∫∫ ( x ∑
( x2 + y2 )dS 其中 是锥面z = x2 + y2 ∑ 例2 计算 ∫∫
与平面 z = 1 所围成的区域的整个边界曲面 解
∑
将 ∑ 分成两部分
∑1 : z = x2 + y2
0≤ z≤1
∑ 2 : z = 1 x2 + y2 ≤ 1
∑ 1 , ∑ 2 在 xoy 内的投影区域
D: x + y ≤1
∑3 ∑ 31 ∑ 32
= 2 ∫∫ x 1 + y′ + y′ dxdz x z
2 2 D xz
x2 dxdz = 2 ∫∫ x 1 + 2 1 x Dxz
= 2 ∫1
1 x+2 x dx ∫0 dz = π , 2 1 x
xoz
∴
∫∫ xdS = 0 + 0 + π = π .
∑
例7
计算∫∫ ( x2 + y2 + z2 )dS, 其中∑为内接于球面
1
令u = 1 + 4r
2
1 5 u1 2 125 5 1 ) du = = ∫1 u( . 4 4 420
注
对面积的曲面积分有类似与三重积分的对称性
设 ∑ 对称于xoy (或yoz ,或 zox )坐标面
若 f(x , y , z ) 关于z(或 x ,或 y )是奇函数
则 ∫∫ f ( x , y , z )dS = 0