数学模型--分形简介

则点集 {Zk的} 聚点集合称为一个IFS吸引子。
• 用IFS绘制分形的方法
１、设图形可视区域为
V [xmin, xmax] [ ymin, ymax]
假设采用L 级灰度的图像绘制，总迭代次数 为N。
２、将 V 分成 a b 的网格，格点为(xi, y j ) 用
V表ij 示[x矩i , x形i1]区[域y j ,。y j用1] 表示在N次迭代中ij落入
考虑复变函数迭代
Z n1
Z
2 n
c,
n 0,1,
(2)
固定复参数 c，使得迭代序列 {Zn} 有界
的初值 在Z复0 平面上的分布图形称为 Julia集，亦即
Jc 迭{Z代0 |序列 有界{Z}n}
• Mandelbrot集
固定初值 Z，0 使得迭代序列（2）有界 的参数 c 在复平面上的分布图形称为 Mandelbrot集。即
Julia 集
Mandelbrot集
４、IFS迭代产生分形
• 混沌游戏
给定平面上三点A, B, C。再任意给定初
始点 Z0 , 做下列迭代
Z n 1
(Z (Z
n n
A) / 2, B) / 2,
当掷出的硬币呈正面 当掷出的硬币呈反面
(Zn C) / 2, 当掷出的硬币呈侧面
按上述方式迭代数百次，呈现极不规则的图 形。故称为混沌游戏。
数学模型 • 分形简介
北京理工大学 王宏洲
一、分形简介
1、分形的起源
大自然的不规则性：
树木花草、山川河流、烟雾云彩等是不规则的。晶 体的生长，分子的运动轨迹等也是不规则的。如何 用几何来描述它？
B. Mandelbrot 观察到英国海岸线与Van Koch 曲线 的关系，提出了一门描述大自然的几何形态的学科-
Sierpinski地毯
花草树木(L系统）
• 生物学家Lindenmayer提出。一个L系统 可表示为一个有序的三元素集合：
G V, w, P
其中：V是一些运动过程集合， w是初始形状， P是生成式。
• 例如，F表示向前距离d, +表示左转弯a, -表示右转弯，[表示压栈，]表示出栈。
V {F,,,[, ]}, w F,
中点的个数。记 Vij
则象素 (i,j)的 灰m度ax ij
为
G(i, j) ij / L
5、一些分形图片
分形并不只是能 产生一些毫无意 义的怪异曲线！
关键如何去设计迭 代方式和过程，分 形就能描绘出与现 实世界惊人相似的 图像！
三、分形的应用
• 欧几里得几何学它无法描写大自然中的云彩 、 山岭、海岸线或树木的形状。云彩不是球体，山 岭不是锥体，海岸线不是圆周，树皮并不 光滑， 闪电更不是沿着直线传播的。 自然界的许多图 样都是如此地不规则和支离破碎。
--分形(Fractal)：英国的海岸线有多长？
• 分形的特性 1、具有无限精细的结构 2、局部与整体的相似性 3、具有非拓扑维数，并且它大于对应的
拓扑维数 4、具有随机性 5、在大多数情况下，分形可以用非常
简单的方法确定，可能由迭代产生。
• 分形的应用领域 1、数学：动力系统 2、物理：布朗运动，流体力学中的湍流 3、化学：酶的构造， 4、生物：细胞的生长 5、地质：地质构造 6、天文：土星上的光环 其他：计算机，经济，社会，艺术等等
P : F F[F ]F[F ]F
花草树木(L 系统）
3、函数迭代产生的分形
Z表示复数，在复平面上定义函数f(Z)。 任意给定初始复数值 Z0，定义复数序列
Zn1 f (Zn ), n 0,1,2, (1) 对于什么样的初始值 Z，0 复数序列 {Zn} 收敛或有界？
• Julia集
2、图形迭代生成分形
• 给定初始图形 F0，依照某一规则 R
对图形反复作用
Fk1 RFk , k 0,1,...
得到图形序列 F1, F2 , ...
其极限图形元是 Van Koch 雪花曲线的生成元是
Minkowski “香肠”
• IFS迭代 IFS--Iterated Function System 取定 n 个仿射变换
wi (Z ) aiZ bi , i 1,2,..., n
以及 n 个概率 p1, p2 ,..., pn ( p1 ... pn 1)
任给初值
Z
，以概率
0
p选i 取变换
wi
进行迭代
Zk1 wi (zk ), k 0,1,...
自然界中的分形几何
• 自然界存在的一些 形状及其结构诸如 星系、闪电、泥裂、 材料断口、水系、 晶簇、蜂窝石、小 麦须根系、树冠、 支气管、小肠绒毛、 大脑皮层等等。尽 是分形。
自然界中的分形几何
• 我们周围见到的最不规则而复杂的现象：山峦和云团的外形， 星系在宇宙中的分布，金融市场价格的起伏等，获取这种数 学描述的一条途径在于找到“模型”。需构想或发现一些数 学规则，使之能对实现的某些部分做“数学上的伪造”—— 做成山峦或云团的照片、最深层空间的天体图、报纸金融版 的图表等。
3、将区域 R [M , M ][M , M ] 分成 a b 的网格，分别以每个网格点为初值 (x0, y0) 利用（3）做迭代。如果对所有的 n N 都有 xn2 yn2 M 2 ，则将象素(i, j) 置为黑 色。如果从某一步 n 开始，xn2 yn2 M 2 ， 则将象素 (i,j)置为颜色 n mod K。
J Z迭0 代{c序| 列 有界{Z}n} 记
Z x i y, c p i q
则（2）变为
xn1
xn 2
yn2
p
(3)
yn1 2xn yn q
• Julia 集的绘制方法：
1、设定初值 p,q, 最大的迭代次数 N, 图 形的大小 a,b, 及使用的颜色数 K.
2、设定区域的界值 M max(2, p2 q2 )
• 这些图样的存在，使我们去探索那些被欧几里得 认为是“无形状可言的 ”形状，去研究“无定 形”的形态学。于是就产生了分形几何学。
自然界中的分形几何
• 分形几何学它描述了大自然和我们周围的许多 不规则和支离破碎的形状.分形理论是一门交叉 性的学科，从振动力学到流体力学、天文学和 计算机图形学，从分子生物学到生理学、生物 形态学，从材料科学到地球科学、地理科学， 从经济学到语言学、 社会学等等，都与分形融 合与关联。分形理论对方法论和自然观产生了 强烈影响，从分形的观点看世界，我们发现， 这个世界是以分形的方式存在和演化着的.