数学物理方法第六章Fourier变换

数学物理方法2010.02
-l
l
第一节 Fourier级数 级数
例子： 例子：
设 f(x) = x+x2, x (- , )，试将其展开成Fourier级 数． 并验证： 1 1 1 π2 1+ 2 + 2 +L+ 2 +L = 2 3 n 6
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第一节 Fourier级数 级数
第n次谐波
nπ −i x i nlπ x f ( x ) = c0 + ∑ cn e + c− n e l n =1 ∞
cn = c− n =
1 2 2 an + bn 2
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Jean Baptiste Joseph Fourier, 1768～1830 ～
第一节 Fourier级数 级数
有限区域上的函数周期化的处理方法
设 f(x) 是定义在 处理 处理1：将 f(x) 区域(a,b)内的函 转化为 (-l, l) 内 数，其中a和b是 的函数 有限数 2l ( x − a) − l ⇒ x b−a 处理2：周期化为整个实数 处理 轴上的以2l为周期的周期函 数
函数 f(x) 复形式的Fourier展开式
f ( x) =
n =−∞
∑ce
n
∞
i
nπ x l
nπ −i ξ 1 l cn = ∫ f (ξ ) e l d ξ 2l − l
nπ nπ f ( x ) = a0 + ∑ an cos x + bn sin x l l n =1
∞
0, n ≠ m x = l , n = m
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第一节 Fourier级数 级数
函数 f(x) 的Fourier展开式
f (x ) ~ a 0 +
∑
nπ nπ a n cos x + bn sin x l l n =1
1 l nπ bn = ∫ f (ξ )sin ξdξ l −l l
a
b
-l
l
-l
l
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第一节 Fourier级数 级数
有限维空间的结构-n维欧几里德空间 有限维空间的结构 维欧几里德空间
z
r k
r P r j y
r i
x
r r r r P = xi + yj + zk r r x = (i , P ) r r y = ( j , P) r r z = (k , P)
∞
1 l a0 = ∫ f (ξ )dξ , 2l −l
1 l nπ an = ∫ f (ξ ) cos ξdξ , −l l l
完备性的概念
nπ nπ f ( x )? = a0 + ∑ an cos x + bn sin x l l n =1
∞
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第一节 Fourier级数 级数
∞
nπ 1, cos l
x = 0,
nπ x = 0, 1, sin l
(1,1) = 2l ,
nπ mπ cos x, cos l l
0, n ≠ m x = , l , n = m
nπ mπ sin x, sin l l
设 f(x)是定义在区域(- , + )上的函数
nπ nπ f ( x ) x∈( − l ,l ) = a0 + ∑ an cos x + bn sin x l l n =1
∞
其中
f ( x ) x∈( − l ,l )
a0 =
1 l ∫−l f (ξ )dξ 2l
1 an = l
m =1
n
f ( x ) = ∑ cm e m ( x )
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第一节 Fourier级数 级数
Fourier展开 展开
L2[-l, l]空间的概念 基本函数族
nπ nπ 1, cos x, sin l l x n =1
nπ mπ x, sin x = 0 cos l l
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Peter Gustav Lejeune Dirichlet, 1805～1859 ～
Dirichlet was born of a French family in Düren, Germany. From 1822 to 1827 he was in Paris, where he became a friend of Fourier. In 1827, he was appointed lecturer at the University of Breslau; in 1829, lecturer at the University of Berlin; and in 1839, professor at the University of Berlin. In 1855, he was invited as successor to Gauss to the University of Göttingen, where he spent his last four years as a professor.
R n ≡ {x | x = ( x1 , x2 , L, xn ), xm ∈ R, m = 1,2, L, n}
( x, y ) = ∑ xm y m
n m =1
x = x1e1 + x2e 2 + L + xne n
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第一节 Fourier级数 级数
无限维空间的结构-Hilbert空间 空间 无限维空间的结构
生于法国中部欧塞尔一个裁缝家庭。1795年任巴黎综合工科 大学助教，1798年随拿破仑军队远征埃及，受到拿破仑器重， 回国后被任命为格伦诺布尔省省长。由于对热传导理论的贡 献于1817年当选为巴黎科学院院士，1822年成为科学院终身 秘书。 1807年写成关于热传导的基本论文，但经拉格朗日、拉普拉斯和勒让德审阅 后被科学院拒绝。1811年又提交了经修改的论文，该文获科学院大奖，却未 正式发表。1822年出版了专著《热的解析理论》（Theorie ana1ytique de la Cha1eur，Didot，Paris，1822）。这部经典著作将欧拉、伯努利等人在 一些特殊情形下应用的三角级数方法发展成内容丰富的一般理论，三角级数 后来就以傅里叶的名字命名。傅里叶应用三角级数求解热传导方程，同时为 了处理无穷区域的热传导问题导出了“傅里叶积分”，这些研究成果极大地 推动了偏微分方程边值问题的研究。然而傅里叶的工作意义远不止此，它迫 使人们对函数概念作修正、推广，特别是引起了对不连续函数的探讨；三角 级数收敛性问题更刺激了集合论的诞生。因此，《热的解析理论》影响了整 个19世纪分析严格化的进程。
第六章 Fourier变换 变换
第一节 Fourier级数 级数 积分与Fourier变换 第二节 Fourier积分与 积分与 变换 函数 第三节 -函数
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第一节 Fourier级数 级数
有限区域上的Fourier展开 或周期函数的Fourier展开
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第一节 Fourier级数 级数
例2：设 f(x) = x, x (0,l)，试将其展开成余弦级数．
-l 例3：设 f(x) = x, x
l
(0,l)，试根据条件 f’ (0)= f (l)=0 将
其展开成Fourier级数．
-2l
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-l
l
2l
第一节 Fourier级数 级数
1 l nπ an = ∫ f (ξ ) cos ξdξ , −l l l
1 l nπ bn = ∫ f (ξ )sin ξdξ −l l l
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第一节 Fourier级数 级数
例子
例1：设 f(x) = x+1, x (0,l),试将其展开成正弦级数．
-l
l
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空间的范围 如何去构造
R n ≡ {x | x = ( x1 , x2 x ∈ [a, b]}
( x, y ) = ∑ xm y m
m =1
n
( f ( x), g ( x) ) = ∫a
∞ m =1
b
f ( x) g ( x)dx
x = ∑ xm e m
1 l 1 ∞ = ∫ f ( ξ ) d ξ + ∑ ∆ω 2l − l π n =1
(∫
π l
l
−l
f ( ξ ) cos ωn ξd ξ cos ωn x + ∫ f ( ξ ) sin ωn ξd ξ sin ωn x
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积分与Fourier变换 第二节 Fourier积分与 积分与 变换
无限区域上的Fourier展开
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积分与Fourier变换 第二节 Fourier积分与 积分与 变换
实形式的Fourier积分与 积分与Fourier变换 实形式的 积分与 变换
第一节 Fourier级数 级数
正弦级数和余弦级数
若函数 f(x) 是奇函数，则Fourier展开成正弦级数 若函数 f(x) 是偶函数，则Fourier展开成余弦级数
nπ nπ f ( x ) = a0 + ∑ an cos x + bn sin l l n =1
∞
x
1 l a0 = ∫ f (ξ )dξ , 2l −l
Dirichlet定理 定理-Fourier展开收敛定理 定理 展开收敛定理
若 f(x) 满足： (1)处处连续，或在每个周期内只有有限个第一类间断点； (2) 在每个周期内只有有限个极值点， 则
f ( x) 在连续点 x 函数f ( x )的 Fourier展开 = 1 2 [ f ( x − 0) + f ( x + 0)] 在间断点 x
设 f(x) 是以2 为周期的函数
0, − π ≤ x < 0 f ( x) = E , 0 ≤ x < π
试将其展开成Fourier级数，并验证：
∞ π 1 1 1 1 n +1 = 1 − + − + L = ∑ (−1) 4 3 5 7 2n − 1 n =1
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复形式的Fourier级数 级数 复形式的
nπ nπ f ( x ) = a0 + ∑ an cos x + bn sin x l l n =1
∞
1 l a0 = ∫ f (ξ )dξ , 2l −l
1 l nπ an = ∫ f (ξ ) cos ξdξ , l −l l
1 l nπ bn = ∫ f (ξ )sin ξdξ l −l l
−i nπ x l
写成复形式
f ( x ) = c0 + ∑ cn e
n =1 ∞ i nπ x l
+ ∑ c− n e
n =1
∞
c0 = a0 1 1 cn = ( an − ibn ) , c− n = ( an + ibn ) , n = 1, 2,L 2 2
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第一节 Fourier级数 级数
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His works cover many aspects of mathematics; However, those on number theory, analysis, and potential theory are most famous.
In analysis, he gave Dirichlet condition for the convergence of trigonometric series; In potential theory, he dealt with the Dirichlet problem concerning the existence of harmonic functon; In number theory, he created the Dirichlet series.
∫
l
−l
nπ f (ξ ) cos ξdξ l
1 bn = l
∫
l
−l
f (ξ ) sin
nπ ξdξ l
∞ 1 l nπ nπ 1 l nπ nπ 1 l = ∫ f ( ξ ) d ξ + ∑ ∫ f ( ξ ) cos ξd ξ cos x + ∫ f ( ξ ) sin ξd ξ sin x 2l − l l l l −l l l l −l n =1