1.1 极限、导数与微分

1.1.1.1 函数极限 定义1 自变量趋向于有限值时 函数的极限 设函数f x 在点x0的某一去心邻域内有定 义.如果存在常数 A, 对于任 意给定的正数 不论它多么小, 总存在正数 , 使得当x满足不等式 常数A就叫做函数f x 当x x0时的极限, 记作
x x0
0 x x0 时, 对应的函数值 f x 都满足不等式 f x A , 那么 lim f x A 或 f x A当x x0 .
x x0 u u 0
夹逼定理 1.1.1.4 函数极限存在准则
如果
1当x U x0 , r 或 x M 时, g x f x h x , 2 xlim g x A, lim h x A, x x x

y A
y h x y f x y g x
定理5复合函数的极限运算法 则 设函数 y f g x 是由函数u

g x 与函数 y f u 复合而成, f g x 在点x0的某去心邻域内有定义 ,
x x0 u u 0
若 lim g x u0 , lim g u A, 且存在 0 0, 当x U x0 , 0 时, 有g x u0 , 则 lim f g x lim g u A.
x x x
* 定义2可以简单地表述为:
定义.
*函数 f x 当x 时的极限为A的几何解释如下: 任意给定一正数
, 作平行于x轴的两条直线y A 和 y A , 介于这两条直线之
间是一横条区域. 根据定义, 总存在一个正数 X的存在, 使得当 x X 时函数f x 的图像落在上面所作的横条区域内.这时, 直线 y A是函 数 f x 的图形的水平渐近线如下图所示.
推论1 如果 lim f x 存在, 而c为常数, 则 limcf x c lim f x . 推论2 如果 lim f x 存在, 而n为整数, 则 lim f x lim f x .
n n
定理4 如果 x x , 而 lim x a, lim x b, 那么a b.
y f x

O x0 x0

x0 x
定义2 自变量趋向于无穷大时 函数的极限 设函数f x 当 x 大于某一正数时有定义 .如果存在常数A, 对于任意给 定的正数 不论它多么小, 总存在正数X , 使得当x满足不等式 x X 函数f x 当x 时的极限, 记作
x
时, 对应的函数值 f x 都满足不等式 f x A , 那么常数 A就叫做 lim f x A 或 f x A当x . lim f x A 0, X 0, 当 x X 时, 有 f x A . * 如果 x 0且无限增大记作x , 那么只要把上面定义中 的x X 改为 x X , 就可得 lim f x A的定义.同样, 如果 x 0而 x 无限增 大记作x , 那么只要把 x X改为x X , 便得 lim f x A的
M 0和 0, 使得当0 x x0 时, 有 f x M .
x x0 x x0 x x0
如果 lim f x A, 且A 0或A 0， 定理3函数极限的局部保号性
定理3 如果 lim f x A A 0, 那么就存在着x0 的某一去心邻域
那么 lim f x 存在, 且 lim f x A.
x x0 x x x0 x x x0 x x0
x
0
x
0
O
x0
x
证 因为 lim g x A, lim h x A, 根据极限的定义 , 0, 有 g x A , h x A 同时成立, 即A g x A , g x f x h x , 所以有 A g x f x h x A 成立,

A
x x0
lim f x A, 那么A 0或A 0.
1.1.1.3极限运算法则 定理1 有限个无穷小的和也是 无穷小. 定理2 有界函数与无穷小的乘 积是无穷小 . 推论1 常数与无穷小的乘积是 无穷小. 定理3 如果 lim f x A, lim g x B, 那么 1 lim f x g x lim f x lim g x A B; 2 lim f x g x lim f x lim g x A B; f x lim f x A 3若又有B 0, 则 lim . g x lim g x B 推论2 有限个无穷小的乘积也 是无穷小.
1 1 2 xlim 1 lim1 x x e. x 0 x 在此不作证明, 下面展示这个重要极限 的两个应用.
x
loga 1 x 例1 lim x 0 x 1 loga 1 x 1 x lim lim loga 1 x loga eቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ . x 0 x 0 x ln a a x 1 例2 lim x 0 x 令a x 1 t , 则x loga 1 t , 且当x 0时, 有t 0, a x 1 t lim lim ln a x 0 t 0 log x a 1 t
限, 与f x 在点x0是否有定义并无关系 . * 定义1可以简单地表述为:
x x0
* 我们指出, 定义中0 x x0 表示x x0 , 所以x x0时f x 有没有极
lim f x A 0, 0, 当 0 x x0 时, 有 f x A .
*函数 f x 当x x0时的极限为A的几何解释如下: 任意给定一正数
, 作平行于x轴的两条直线y A 和 y A , 介于这两条直线之 间是一横条区域. 根据定义, 对于给定的 , 存在着点x0 的一个 邻域
如下图所示. 亦即这些点落在上面所 作的横条区域内
1.1 极限、导数与微分
1.函数极限与无穷小 2.导数基础 3.微分基础 4.习题1.1 (P2) (P25) (P34) (P41)
1.1.1 函数极限与无穷小
1.函数极限 2.函数极限的性质 3.极限运算法则 4.函数极限存在准则(夹逼定理) 5.无穷小与无穷大 6.函数的连续性 7.函数的间断点 8.闭区间上连续函数的性质 (P3) (P9) (P10) (P12) (P16) (P18) (P20) (P24)
y y f x A A A
O
x
* 常见函数极限举例试自行证明 例1 lim c c c为任一常数.
x x0
例2
x x0 x x0
lim x x0 .
例3 lim x x0 x0 0 * 左右极限的概念 在 lim f x A的定义中, 把0 x x0 改为x0 x x0 , 那么A就
x 0 x 0
y
而右极限 x 1 1, lim f x lim
x 0 x 0
y x 1 1 O 1 y x 1 x
因为左极限和右极限存 在但不相等, 所以lim f x 不存在.
x 0
1.1.1.2 函数极限的性质
如果 lim f x 存在, 那么这极限唯一. 定理1函数极限的唯一性 如果 lim f x A, 那么存在常数 定理2函数极限的局部有界性
sin x 都不变, 所以上面的不等式对于 开 x
1 区间 ,0 内的一切x也是成立的 .由于 lim cos x 1, lim1 1, 于是由 x 0 x 0 2 sin x 前面证得的不等式并应 用夹逼定理,即得 lim 1. x 0 x tan x sin x 1 sin x 1 又有 lim lim lim lim 1. x 0 x 0 x x cos x x0 x x0 cos x * 这个重要极限告诉我们 , 当x 0时, x ~ sin x ~ tan x. 通俗地讲, 当一 个角度趋向于零时 , 在实际计算时可以近似 处理成其正弦或正切值 .
y A A A
x0 , x0 , 当 y f x 的图形上的点的横坐标x在邻域x0 , x0 内, 但x x0时, 这些点的纵坐标 f x 满足不等式 f x A , 或A f x A .
x x0
那么存在常数 0, 使得当0 x x0 时, 有 f x 0或 f x 0.
A U x0 , 当x U x0 时, 就有 f x . 取 可证 2 2 推论 如果在x0的某去心邻域内 f x 0或f x 0, 而且
叫做函数 f x 当x x0时的左极限, 记作 lim f x A 或 f x 0 A. x x0 x x0

在 lim f x A的定义中, 把0 x x0 改为x0 x x0 , 那么A就
叫做函数 f x 当x x0时的右极限, 记作 lim f x A 或 f x 0 A. x x0 x x0
1 1 1 以 sin x x tan x,即sin x x tan x.不等号各边都除以 sin x, 就有 2 2 2 x 1 sin x 1 , 或 cos x 1. D sin x cos x x
B 1 sin x x O cos x C A t an x
因为当x用 x代替时, cos x与

*函数 f x 当x x0时极限存在的充分必要条件是左右极限相等 .
所以在例3中称 x0 是函数 y x当x x0时的右极限.
* 我们构造函数 x 1 x 0 f x 0 x0 x 1 x 0 来进一步说明左右极限 的概念与函数极限存在的充分必要条件. 可证当x 0时f x 的左极限 x 1 1, lim f x lim
x x0
A h x A 同时成立. 又因当x U x0 , r 时,

即 lim f x A.定理证毕.对x 证法完全类似
* 两个重要极限 sin x tan x 1 lim lim 1 x 0 x 0 x x
在如图所示的四分之一 的单位圆中 , 设圆心角AOB x 0 x , 2 由已知, sin x CB, x 弧 AB, tan x AD.因为S△ AOB S 扇AOB S△ AOD , 所