1.1 极限、导数与微分

*函数 f x 当x x0时极限存在的充分必要条件是左右极限相等 .
所以在例3中称 x0 是函数 y x当x x0时的右极限.
* 我们构造函数 x 1 x 0 f x 0 x0 x 1 x 0 来进一步说明左右极限 的概念与函数极限存在的充分必要条件. 可证当x 0时f x 的左极限 x 1 1, lim f x lim
推论1 如果 lim f x 存在, 而c为常数, 则 limcf x c lim f x . 推论2 如果 lim f x 存在, 而n为整数, 则 lim f x lim f x .
n n
定理4 如果 x x , 而 lim x a, lim x b, 那么a b.
限, 与f x 在点x0是否有定义并无关系 . * 定义1可以简单地表述为:
x x0
* 我们指出, 定义中0 x x0 表示x x0 , 所以x x0时f x 有没有极
lim f x A 0, 0, 当 0 x x0 时, 有 f x A .
叫做函数 f x 当x x0时的左极限, 记作 lim f x A 或 f x 0 A. x x0 x x0

在 lim f x A的定义中, 把0 x x0 改为x0 x x0 , 那么A就
叫做函数 f x 当x x0时的右极限, 记作 lim f x A 或 f x 0 A. x x0 x x0
x x0
A h x A 同时成立. 又因当x U x0 , r 时,

即 lim f x A.定理证毕.对x 证法完全类似
* 两个重要极限 sin x tan x 1 lim lim 1 x 0 x 0 x x
在如图所示的四分之一 的单位圆中 , 设圆心角AOB x 0 x , 2 由已知, sin x CB, x 弧 AB, tan x AD.因为S△ AOB S 扇AOB S△ AOD , 所
1.1 极限、导数与微分
1.函数极限与无穷小 2.导数基础 3.微分基础 4.习题1.1 (P2) (P2
1.函数极限 2.函数极限的性质 3.极限运算法则 4.函数极限存在准则(夹逼定理) 5.无穷小与无穷大 6.函数的连续性 7.函数的间断点 8.闭区间上连续函数的性质 (P3) (P9) (P10) (P12) (P16) (P18) (P20) (P24)
1 1 1 以 sin x x tan x,即sin x x tan x.不等号各边都除以 sin x, 就有 2 2 2 x 1 sin x 1 , 或 cos x 1. D sin x cos x x
B 1 sin x x O cos x C A t an x
因为当x用 x代替时, cos x与
x x0
那么存在常数 0, 使得当0 x x0 时, 有 f x 0或 f x 0.
A U x0 , 当x U x0 时, 就有 f x . 取 可证 2 2 推论 如果在x0的某去心邻域内 f x 0或f x 0, 而且
x x0 u u 0
夹逼定理 1.1.1.4 函数极限存在准则
如果
1当x U x0 , r 或 x M 时, g x f x h x , 2 xlim g x A, lim h x A, x x x

y A
y h x y f x y g x
定理5复合函数的极限运算法 则 设函数 y f g x 是由函数u

g x 与函数 y f u 复合而成, f g x 在点x0的某去心邻域内有定义 ,
x x0 u u 0
若 lim g x u0 , lim g u A, 且存在 0 0, 当x U x0 , 0 时, 有g x u0 , 则 lim f g x lim g u A.
y y f x A A A
O
x
* 常见函数极限举例试自行证明 例1 lim c c c为任一常数.
x x0
例2
x x0 x x0
lim x x0 .
例3 lim x x0 x0 0 * 左右极限的概念 在 lim f x A的定义中, 把0 x x0 改为x0 x x0 , 那么A就
y f x

O x0 x0

x0 x
定义2 自变量趋向于无穷大时 函数的极限 设函数f x 当 x 大于某一正数时有定义 .如果存在常数A, 对于任意给 定的正数 不论它多么小, 总存在正数X , 使得当x满足不等式 x X 函数f x 当x 时的极限, 记作
1 1 2 xlim 1 lim1 x x e. x 0 x 在此不作证明, 下面展示这个重要极限 的两个应用.
x
loga 1 x 例1 lim x 0 x 1 loga 1 x 1 x lim lim loga 1 x loga e . x 0 x 0 x ln a a x 1 例2 lim x 0 x 令a x 1 t , 则x loga 1 t , 且当x 0时, 有t 0, a x 1 t lim lim ln a x 0 t 0 log x a 1 t
M 0和 0, 使得当0 x x0 时, 有 f x M .
x x0 x x0 x x0
如果 lim f x A, 且A 0或A 0， 定理3函数极限的局部保号性
定理3 如果 lim f x A A 0, 那么就存在着x0 的某一去心邻域
*函数 f x 当x x0时的极限为A的几何解释如下: 任意给定一正数
, 作平行于x轴的两条直线y A 和 y A , 介于这两条直线之 间是一横条区域. 根据定义, 对于给定的 , 存在着点x0 的一个 邻域
如下图所示. 亦即这些点落在上面所 作的横条区域内
x x x
* 定义2可以简单地表述为:
定义.
*函数 f x 当x 时的极限为A的几何解释如下: 任意给定一正数
, 作平行于x轴的两条直线y A 和 y A , 介于这两条直线之
间是一横条区域. 根据定义, 总存在一个正数 X的存在, 使得当 x X 时函数f x 的图像落在上面所作的横条区域内.这时, 直线 y A是函 数 f x 的图形的水平渐近线如下图所示.
x 0 x 0
y
而右极限 x 1 1, lim f x lim
x 0 x 0
y x 1 1 O 1 y x 1 x
因为左极限和右极限存 在但不相等, 所以lim f x 不存在.
x 0
1.1.1.2 函数极限的性质
如果 lim f x 存在, 那么这极限唯一. 定理1函数极限的唯一性 如果 lim f x A, 那么存在常数 定理2函数极限的局部有界性
y A A A
x0 , x0 , 当 y f x 的图形上的点的横坐标x在邻域x0 , x0 内, 但x x0时, 这些点的纵坐标 f x 满足不等式 f x A , 或A f x A .
那么 lim f x 存在, 且 lim f x A.
x x0 x x x0 x x x0 x x0
x
0
x
0
O
x0
x
证 因为 lim g x A, lim h x A, 根据极限的定义 , 0, 有 g x A , h x A 同时成立, 即A g x A , g x f x h x , 所以有 A g x f x h x A 成立,
1.1.1.1 函数极限 定义1 自变量趋向于有限值时 函数的极限 设函数f x 在点x0的某一去心邻域内有定 义.如果存在常数 A, 对于任 意给定的正数 不论它多么小, 总存在正数 , 使得当x满足不等式 常数A就叫做函数f x 当x x0时的极限, 记作
x x0
0 x x0 时, 对应的函数值 f x 都满足不等式 f x A , 那么 lim f x A 或 f x A当x x0 .
x
时, 对应的函数值 f x 都满足不等式 f x A , 那么常数 A就叫做 lim f x A 或 f x A当x . lim f x A 0, X 0, 当 x X 时, 有 f x A . * 如果 x 0且无限增大记作x , 那么只要把上面定义中 的x X 改为 x X , 就可得 lim f x A的定义.同样, 如果 x 0而 x 无限增 大记作x , 那么只要把 x X改为x X , 便得 lim f x A的
sin x 都不变, 所以上面的不等式对于 开 x
1 区间 ,0 内的一切x也是成立的 .由于 lim cos x 1, lim1 1, 于是由 x 0 x 0 2 sin x 前面证得的不等式并应 用夹逼定理,即得 lim 1. x 0 x tan x sin x 1 sin x 1 又有 lim lim lim lim 1. x 0 x 0 x x cos x x0 x x0 cos x * 这个重要极限告诉我们 , 当x 0时, x ~ sin x ~ tan x. 通俗地讲, 当一 个角度趋向于零时 , 在实际计算时可以近似 处理成其正弦或正切值 .

A
x x0
lim f x A, 那么A 0或A 0.
1.1.1.3极限运算法则 定理1 有限个无穷小的和也是 无穷小. 定理2 有界函数与无穷小的乘 积是无穷小 . 推论1 常数与无穷小的乘积是 无穷小. 定理3 如果 lim f x A, lim g x B, 那么 1 lim f x g x lim f x lim g x A B; 2 lim f x g x lim f x lim g x A B; f x lim f x A 3若又有B 0, 则 lim . g x lim g x B 推论2 有限个无穷小的乘积也 是无穷小.