专题1：集合、常用逻辑用语、不等式、函数与导数(文)

专题一：集合、常用逻辑用语、不等式、函数与导数
一、选择题
1．已知全集U ＝R ，集合2{|1}M x x =<，2{|0}N x x x =-<，则集合M ，N 的关系用韦恩（Venn ）图可以表示为 （ ）
2．已知()x f 是定义在R 上的奇函数，若()x f 的最小正周期为3，f (1)>0，f (2)=23
1
m m -+，则m 的取值范围是 （ ）
（A ）3(,)2-∞ （B ）3(,1)
(1,)2-∞ （C ）3(1,)2- （D ）3
(,1)(,)2
-∞-+∞ 3．下列函数既是奇函数，又在区间[]1,1-上单调递减的是 （ ） A.()sin f x x = B.()1f x x =-+ C.()1()2x x f x a a -=
+ D.2()ln 2x
f x x
-=+ 4．下列结论：
①命题“0,2>-∈∀x x R x ”的否定是“0,2≤-∈∃x x R x ”；
②当),1(+∞∈x 时，函数22
1
,x y x y ==的图象都在直线x y =的上方； ③定义在R 上的奇函数()x f ，满足()()x f x f -=+2，则()6f 的值为0.
④若函数()x x mx x f 2ln 2-+=在定义域内是增函数，则实数m 的取值范围为1
2m ≥.
其中，正确结论的个数是 （ ）
A ．1
B ． 2
C ． 3
D ． 4
5．已知,,22,,xy c y x R y x ==+∈+
那么c 的最大值为 ( )
A ．1
B ．
21 C ．2
2 D ．41 6．若曲线4
y x =的一条切线l 与直线480x y +-=垂直，则l 的方程为 （ ）
A ．4x y --3=0
B ．450x y +-=
C ．430x y -+=
D ．430x y ++= 7．已知a 是使表达式2x +1>42-x 成立的最小整数，则方程1-|2x -1|=a x -1实数根的个数为 （ ） A ．0 B ．1 C ．2 D ．3
8．已知)(x f 是定义在R 上的函数，且)2()(+=x f x f 恒成立，当)0,2(-∈x 时，2
)(x x f =，则当
[]3,2∈x 时，函数)(x f 的解析式为 （ ）
A ．42-x
B ．42+x
C ．2)4(+x
D ． 2)4(-x
9．条件:2p a ≥-；条件:q 函数()3f x ax =+在区间[-1，2]上存在零点0x ，则p ⌝是q 的 （ ）
A ．充分非必要条件
B ．必要非充分条件
C ．充分必要条件
D ．既非充分也非必要条件
10．已知命题p ：(,0),23x x x ∃∈-∞<；命题q ：
(0,),tan sin 2
x x x π
∀∈>，则下列命题为真命题的是（ ）
A. p ∧q
B. p ∨(﹁q)
C. (﹁p)∧q
D. p ∧(﹁q) 11．设Q P ,为两个非空实数集合，定义集合⎭
⎬⎫
⎩⎨
⎧∈∈-=⊕Q y P x y x Q P ,,2．{}5,2,0=P {}7,4,2=Q ，
Q P ⊕中元素的个数是 （ ）
A ．3
B ．4
C ．5
D ．6
12．函数)(x f 在定义域R 内可导，若)1()1(x f x f +=-，且当)1,(-∞∈x 时，0)()1(<'-x f x ，设
)0(f a =，)2
1
(f b =，)3(f c =，则（ ）
A ．c b a <<
B ．a c b <<
C ．a b c <<
D ．b a c <<
二、填空题
13．设函数⎩⎨⎧+∞∈-∞∈=-)
,1(log )1,(2)(81x x x x f x ，则满足4
1
)(=x f 的x 值是 ．
14．函数y =x 2(x >0)的图像在点(a k ，a k 2)处的切线与x 轴的交点的横坐标为a k +1，k N *
∈其中，若a 1=16，则a 1+a 3+a 5的值是_____ __．
15．在平面直角坐标系中，若不等式组 (a 为常数)所表示的平面区域的面积等于2，则a
的值为___ __．
16．已知偶函数()()y f x x R =∈在区间[1,0]-上单调递增，且满足(1)(1)0f x f x -++=，给出下列判断： （1）f (5)=0； （2）f (x )在[1,2]上减函数；（3）()x f 的图像关与直线1x =对称； （4）函数()x f 在0x =处取得最大值； （5）函数()y f x =没有最小值， 其中正确的序号是 ． 三、解答题
17．命题P ：对数)572(log 2-+-t t a (a >0,a ≠1)有意义；Q ：关于实数t 的不等式2(3)(2)0t a t a -+++<. （1）若命题P 为真，求实数t 的取值范围；
（2）若命题P 是命题Q 的充分不必要条件，求实数a 的取值范围．
18．已知函数()x f =ln x -
a
x
(a ∈R)． （1）当a ∈[-e ，-1]时，试讨论f (x )在[1，e ]上的单调性； （2）若()x f < x 在[1，+∞)上恒成立，试求a 的取值范围．
19．已知函数()2x c
f x ax b
+=+为奇函数，()()13f f <，且不等式()302f x ≤≤的解集是[][]2,12,4--⋃．
（1）求证：0)2(=f ； （2）求,,a b c 的值；
（3）是否存在实数m 使不等式()2
3
2sin 2
f m θ-+<-+
对一切R θ∈成立？若存在，求出m 的取值范围；若不存在，请说明理由．
20．已知函数()x f =
3
213
x ax b -+在x = -2处有极值． （Ⅰ）求函数()x f 的单调区间；
（Ⅱ）若函数()x f 在区间[-3,3]上有且仅有一个零点，求b 的取值范围．
21．已知x
x
x g e x x ax x f ln )(],,0(,ln )(=
∈-=，其中e 是自然常数，.a R ∈
（Ⅰ）讨论1=a 时, ()x f 的单调性、极值； （Ⅱ）求证：在（Ⅰ）的条件下，1()()2
f x
g x >+
; （Ⅲ）是否存在实数a ，使()x f 的最小值是3，若存在，求出a 的值；若不存在，说明理由.
参考答案
1．B. 2．C 3．D 4．C 5．B 6．A 7．C 8．D 9．A 10．C 11．B 12．D
13． 3 14． 21
15． 3 16．（1）（2）（4）
17．解析：（1）
由对数式有意义得，5
12
t <<
． （2）命题P 是命题q 的充分不必要条件 ∴512t <<是不等式2(3)(2)0t a t a -+++<解集的真子集．
法一：因方程2(3)(2)0t a t a -+++=两根为1,2a +故只需522a +> 解得：12a >．
法二：令
2
()(3)(2)f t t a t a =-+++，因5(1)0,()02f f =<故只需 解得：12
a >． 18．【解析】(1)f(x)的定义域为(0,+∞)，2221(),0a x a
f x x x x x
+'=
+=>显然 当-e≤a≤-1时，1≤-a≤e ，令f′(x)=0得x=-a ，于是当1≤x≤-a 时，f′(x)≤0， ∴f(x)在［1,-a ］上为减函数； 当-a≤x≤e 时，f′(x)≥0， ∴f(x)在［-a,e ］上为增函数.
综上可知，当-e≤a≤-1时f(x)在［1,-a ］上为减函数，在［-a,e ］上为增函数． (2)由f(x)<x 得lnx-
a
x
<x ． ∵x≥1， ∴a>xlnx-x 2． 令g(x)=xlnx-x 2，要使a>xlnx-x 2在［1,+∞)上恒成立，只需a>g(x)max ， g′(x)=lnx -2x+1，令φ(x)=lnx -2x+1，则φ′(x)=
1
x
-2，∵x≥1,∴φ′(x)<0,∴φ(x)在［1,+∞)上单调递减， ∴φ(x)≤φ(1)=-1<0，因此g′(x)<0，故g(x)在［1,+∞)上单调递减，则g(x)≤g(1)=-1， ∴a 的取值范围是(-1,+∞). 19．解答：（1）⎩
⎨
⎧≤-≥0)2(0
)2(f f ，)(x f 是奇函数得0)2(=f ． （2）4,0,2-===c b a ． （3）m 不存在．
20．解析：（Ⅰ）2()2f x x ax '=- 由题意知: (2)440f a '-=+=,得a=-1， ∴2()2f x x x '=+，
令()0f x '>，得x<-2或x>0, 令()0f x '<，得-2<x<0, ∴f(x)的单调递增区间是（-∞，-2）和（0，+∞），单调递减区间是（-2，0）． （Ⅱ）由（Ⅰ）知，f(x)=
3213x x b ++，f(-2)=4
3
b +为函数f(x)极大值，f(0)=b 为极小值． ∵函数f(x)在区间[-3,3]上有且仅有一个零点，
∴(3)0(0)0f f -≤⎧⎨>⎩或(3)0(2)0f f ≥⎧⎨-<⎩或(3)0(3)0f f ->⎧⎨<⎩或(2)0(3)0f f -=⎧⎨<⎩或(3)0
(0)0f f ->⎧⎨=⎩
，
即180
403
b b +≥⎧⎪⎨+<⎪⎩ ， ∴4183b -≤<-，即b 的取值范围是4[18,)3--． 21．解析：（Ⅰ） x x x f ln )(-=，x
x x x f 1
11)(-=-='
∴当10<<x 时，/
()0f x <，此时()f x 单调递减 当e x <<1时，/()0f x >，此时()f x 单调递增
∴()f x 的极小值为1)1(=f ……4分
（Ⅱ） ()f x 的极小值为1，即()f x 在],0(e 上的最小值为1， ∴ 0)(>x f ，min ()1f x =
令21ln 21)()(+=+
=x x x g x h ，x
x
x h ln 1)(-='， 当e x <<0时，0)(>'x h ，()h x 在],0(e 上单调递增
∴min max |)(|12121211)()(x f e e h x h ==+<+=
= ∴在（1）的条件下，1
()()2
f x
g x >+ （Ⅲ）假设存在实数a ，使x ax x f ln )(-=（],0(e x ∈）有最小值3，/
1()f x a x =-x ax 1-=
① 当0≤a 时，)(x f 在],0(e 上单调递减，31)()(min =-==ae e f x f ，e
a 4=（舍去），所以， 此时)(x f 无最小值. ②当e a
<<10时，)(x f 在)1,0(a 上单调递减，在],1(e a 上单调递增 3ln 1)1
()(min =+==a a
f x f ，2e a =，满足条件.
③ 当e a ≥1时，)(x f 在],0(e 上单调递减，31)()(min =-==ae e f x f ，e a 4
=（舍去），所以，此时)
(x f 无最小值.综上，存在实数2
e a =，使得当],0(e x ∈时()
f x 有最小值3.。