二节可测函数的收敛

f
|
]）)
m( N 1
nN
E[| fn
f
|
]
)
0
下证 Egoroff 定理
由引理知:
0,
有
lim m(
N nN
E[| fn f | ] ) 0
从而
0,
1 k
0, N k
0,有m( nN k
E ) [|
fn
f
|
1 k
]
2k
令e
(
k 1 n N k
E[|
fn
f
|
1 k
]
),
m( nN
E[|
fn
f
|
]
)
0
证明这个引理要用到下面的结论
{x : lim n
fn (x)
f (x)}
{x :|
fn (x)
f (x) |
1 k
}
k 1 N 1n N
lim
n
fn (x)
f (x)
:
1 k
1, N
1, n
N,有|
fn (x)
f
(x) |
1 k
UI U {x : fn (x)不收敛于f (x)}
注：近似地说一致收敛是函数列 收敛慢的程度能有个控制
近似地说一致连续是fn(x)=xn
0.4
0.2
0.2
0.4
0.6
0.8
1
⑶几乎处处收敛: 记作 fn f a.e.于E (almost everywhere）
E[ fn f ] 0
即：去掉某个零测度集，在留下的集合上处处收敛
取 1 , N ,
2
n max{ N , n0}, 当x [n, ) E e 时
| fn (x) 1| 1
结合定理1和定理2，我们有下面结论
结论： 设 mE , 则
fn f a.e.于E fn f a.u.于E
注：这个结论也为后面的L积分与极限交换 只要求函数列几乎处处收敛提供了理论基础， 也进一步说明L积分比R积分优越.
不依测度收敛
0,
使得mE[|
fn
f
|
不收敛于
]
0
0, 0, N 0, n N , 使得mE[| fn f | ]
依测度收敛
0,
有 lim n
mE[| fn
f
|
]
0
0, 0, N 0, n N , 有mE[| fn f | ]
三.可测函数各种收敛之间的关系
下面都假设 f , fn (n 1,2, , )是定义在可测集E上 a.e.有限的可测函数.
➢ 1. 几乎处处收敛与几乎一致收敛的关系
定理1：若 fn f a.u.于E, 则 fn f a.e.于E.
注: 定理1表明几乎一致收敛比几乎处处收 敛强
证明：由于 fn f a.u.于E, 于是k , ek E且ek ,
使得
1)
{ fn}在 E ek 上一致收敛 f ; 2)
mek
注: 黎斯定理只是说明依测度收敛的函数列存在几 乎处处收敛的子函数列，并不能保证整个函数列几 乎处处收敛，而且我们完全可以找到一个依测度收 敛但不是几乎处处收敛的函数列. 如教材P92
Riesz定理的证明
证明：由fn
f 于E,可知k, Nk
0, n
Nk
, 有mE[|
f
n
f
|
1 2k
]
1 2k 1
k 1
从而 fn f (n ), 所以 fn f a.e.于E.
收敛的联系（叶果洛夫定理的引入）
1
0.8
fn(x)=xn
0.6
0.4
0.2
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1-δ
例：函数列fn(x)=xn 在(0,1)上处处收敛到 f(x)=0,但不一致收敛， 但去掉一小测度集合
(1-δ,1),在留下的集合 上一致收敛
定理2： (叶果洛夫(Egoroff)定理)
设 mE ,
若 fn f a.e.于E, 则 fn f a.u.于E
即 0, 可测子集e E, m(e ) , 使得
f
在
n
E
E e
上一致收敛于f .
证明：首先证明一个引理.
引理： 设 mE ,
若fn
f
a.e.于E ，则
0,
有
lim
N
⑸依测度收敛: 记作 fn f于E
0,
有
lim
n
mE[|
f
n
f
|
]
0
0, 0, N 0,n N ,有mE[| fn f | ]
注：从定义可看出，
➢ 几乎处处收敛强调的是在点上函数值的收敛（除一零 测度集外）
➢ 依测度收敛并不 指出函数列在哪个点上的收敛，其要 点在于误差超过σ的点所成的集的测度应随n趋于无穷 而趋于零，而不论点集的位置状态如何
从而可取得n1< n2< n3<…< nk<…，使得
mE [| fnk
f
|
1 2k
]
1 2k 1
(k
1, 2,3,L
)
故对任意ε>0，
当
1 2N
时,有
故fnk f a.e.于E
m( kN
E[| fnk
f
| ] )
m( kN
E[| fnk
f
|
1 2k
])
对Riesz定理证明 的说明：其实从
m(E ) kN
[|
f nk
f
|
1 2k
]
1
1
k N 2k1
2N
证明中的(*)式我 们可看出
从而
lim
N
m( kN
E[|
f nk
f
|
]
)
0
(*)
fnk f a.u.于E
定理5：（Lebesgue定理）
设 mE ,
若fn f a.e.于E ，则fn f 于E
证明： 由定理2和定理3即得
总结：三种收敛之间的关系，可 以列出图表如下：
第四章 可测函数
第二节 可测函数的收敛性
一. 几乎成立的命题
设 E , 是与E中点x有关的命题. 如果 0, 存在 e E且e , 使得
(1) 在(E e )上恒成立；(2) me .
则称 在E上几乎成立或基本成立.
注 : 若 在E上几乎处处成立, 则 在E上几乎成立.
反之不成立.
则e可测，e
E且
me m(
k 1
nN k
E ) [|
f
n
f
|
1 k
]
k 1 2k
,
而E
E e
E ec
( k 1 nN k
E ) [|
f
n
f
|
1 k
]
故
1 k
，N
k
，n
N k，x E，有 |
fn (x)
f
(x) |
1 k
即{ fn (x)}在上E一致收敛到f (x)
注： Egoroff 定理中条件 mE 不可少.
{x :| fn (x) f (x) | 1k}
k 1 N 1 nN
fn (x)不收敛f (x)
:
1 k
1,N
1, n
N,使|
fn(x)
f
(x) |
1 k
下面证明引理
由于
E*
E[| f |]
( n1
E[|
f
n
|
]
)
为零测度集，
故不妨令 fn ，f在E上处处有限，从而有：
fn
f
a.e.于E mE[ fn f ]
如：狄利克雷函数是几乎连续的，但不是几乎 处处连续.
二. 可测函数列的几种收敛定义 ⑴点点收敛: 记作 fn f 于 E
x E, 0,N x 0,n N x,有 | fn (x) f (x) |
⑵一致收敛: 记作
f n
f
0, N 0, n N , x E, 有 | fn (x) f (x) |
如： 设 E (0, ), 定义函数列
1 fn (x) 0
x (0, n) n 1,2,
x [n, )
易知： fn 1 (n ), 然而 f 不是几乎一致收敛于1.
因为 1, e E且e , 当 m(e ) 1时,
存在n0 , 使得 e (0, n0 ),
于是 [n0 , ) E e ,
0
m( k 1
N 1
nN
E[|
fn
f
|
1 k
]
)
0
m( N 1 n N
E ) [|
f
n
f
|
1 k
]
0
m( N 1 n N
E[| fn
) f | ]
0
(
1 k
)
( )
关于N 单调减小
从而当mE 时， 0,有
lim
N
m( nN
E[| fn
f
|
]
)
m( lim（ N nN
E[| fn
fn f a.e.于E
mE
(Lebesgue 定理)
(Riesz定理)
fn f 于E
存在几乎一致 收敛的子列
mE
(Egoroff定理)
fn f a.u.于E
| fn (x) f (x) |
即当 n N 时, E[| fn f | ] e , 从而 mE[| fn f | ] me ,
注: 定理3表明几 乎一致收敛比依 测度收敛强
所以 fn f 于E.
➢3. 几乎处处收敛与依测度收敛的关系
定理4： (黎斯(Riesz)定理)
若 fn f 于E, 则存在{ fn}的子序列{ fnj }, 使得 fnj f a.e.于E.
1 k
.
令 P ek , 则
k 1
1
mP
m( ek
k 1
)
m(ek
)
k
(k 1,2, , )
由k的任意性得 : mP 0. 而
E P E Pc E ( ek )c E ( ekc ) (E ek )
k 1
k 1
k 1
于是x E P (E ek ), k0 , 使得x E ek0 ,
⑷几乎一致收敛:记作 fn f a.u.于E (almost uniformly)
即：去掉某个小（任意小）测度集，在留下的集合上一致收敛
0, 可测子集e E, me ,
使得fn在E E e上一致收敛于f 0, 可测子集e E, me , 0, N 0,n N ,x E e,有 | fn (x) f (x) |
➢ 2. 几乎一致收敛与依测度收敛的关系
定理3： 若 fn f a.u.于E, 则 fn f 于E.
证明：由于 fn f a.u.于E, 则 0, e E且e ,
使得
1) { fn}在 E e 上一致收敛 f ; 2) me .
于是 0, N, 当n N 时, x E e , 恒有