2020年中考数学函数型综合问题
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函数型综合问题
y ax2 bx c(a 0)
函数与方程 的综合问题
一.一次函数y kx b(k 0) 1.b 0时,函数为y kx,这时y叫做x的正比例函数.
性质：1、正比例函数的图象必经过原点（0，0）。 2、当k>0时，y随x的增大而增大。 当k<0时，y随x的增大而减小。
2.b 0时,一次函数为y kx b,
对于方程1 x2 (m 1)x m2 5 0 4
(m 1)2 4 1 (m2 5) 4
2m 4
2(m 2)
对于方程1 x2 (m 1)x m2 5 0 4
(m 1)2 4 1 (m2 5) 4
2m 4 2(m 2)
m2 2(m 2) 0 此方程无实数根.
解 : (1)关于x的一元二次方程 ( p m)x2 2nx ( p m) 0 有两个相等的实数根. (2n)2 4( p m)( p m) 0 即p2 m2 n2 则PMN为直角三角形 又由二次函数的对称性知PM PN 故这个三角形是等腰直角三角形.
( 2)抛物 线的 顶点 为( 2,1), 代入 解析 式中 得
即1+2m+m-7<0
所以m<2 (法二)设y x2 2mx m 7与x轴的两 个交点为( x1,0),( x2 ,0) 据题意则有: ( x1 1)( x2 1) 0 即x1x2 ( x1 x2 ) 1 0 又x1 x2 2m, x1 x2 m 7 m 7 2m 1 0 m 2
y (a2 3a 2)x2 (a 1)x 1 4
的图象与x轴总有交点
(1)求a的取值范围
(2)设函数的图象与x轴有两个不同的交点
A、B,其坐标为 A( x1,0), B( x2,0), 当
1 1 a2 3时 ,求a的值. x1 x2
解 : (1)i当a2 3a 2 0时, a 1或a 2,
解(1)依题意 0,即(4)2 8t 0
t 2 (2)设方程的两根为x1, x2 ,且x1 x2 0, 则x1 x2 4, x1 x2 2t s 1 1 x1 x2 2
x1 x2 x1 x2 t (其中t 2且t 0)
(3)图象如图示
[例2](十堰市,2001)已知:关于x的函数
4.与x轴的交点 由 b2 4ac 来决定
5.与y轴的交点(0,c)
三.反比例函数y k (k 0) x
[例1](陕西省,2001)已知关于x的方程
x2 4x 2t 0 有两个实数根.
(1)求t的取值范围
(2)设方程的两个根的倒数和为S,求S 与t之间的函数关系式.
(3)在直角坐标系内画出(2)中所得到 的函数的图象.
求得 : k 1 5 1 2
圆心O'的坐标为(2, 1 5 ) 2
a2 4a 1 0
a 2 3 a 1,而 2 3 1舍去
a 2 3
[例3](鄂州市 ,2001)已知抛物线
y x2 2mx m 7 与x轴的两
个交点在点(1,0)的两旁,试判断关于x
的方程 1 x2 (m 1)x m2 5 0 4
的根的情况,并说明理由.
解:(法一)如图示,当x=1,y<0
解得: a 1
抛物线的解析式为y x2 4 x 3
(3)设来自百度文库行于x轴的直线为y k
则如图示,圆心o,坐标为(2, k)
y k与抛物线y x2 4x 3
相交于A, B两点
yk
一定有两个不相等的实数根
y x2 4x 3
方程x2 4x 3 k即x2 4x 3 k 0
一定有两个不相等的实数根
(4)2 4(3 k) 0
求得 : k 1
以AB为直径的圆恰 好与x轴相切 AB 2 k 即AB2 4k 2
而AB x1 x2 ( x1 x2 )2 4 x1 x2 在方程x2 4 x 3 k 0中 x1 x2 4, x1 x2 3 k 42 4(3 k ) 4k 2 化简得: k2 k 1 0
整理得 : 2x2 2(1 b)x b2 1 0 由于原方程组只有一个实数解
方程2x2 2(1 b)x b2 1 0有 两个相等的实根
即: [2(1 b)]2 4 2(b2 1) 0 化简求解得: b 1或b 3
反比例函数y 1 b的图象在每一个象限 x
都随x的增大而增大 1 b 0即b 1
b 3则反比例函数为y 2 x
(a,3)在y 2 上 x
3 2 a
a 2 3
[例5](甘肃,2001)抛物线y ax2 bx c(a 0) 的顶点为P,与x轴的两个交点为M , N (点M在 点N的左侧), PMN的三个内角P,M和N 所对的边分别为p, m, n,若关于x的一元二次方 程( p m)x2 2nx ( p m) 0有两个相等的实 数根. (1)试判定PMN的形状. ( 2)当 顶 点P的 坐 标 为( 2,1)时, 求 抛 物 线 的 解 析 式 (3)平行于x轴的直线与抛物线交于A, B两点,以AB 为 直 径 的 圆 恰 好 与x轴 相 切, 求 该 圆 的 圆 心 坐 标.
y ax2 4ax 4a 1 又由(1)知MPC为等腰直角三角形, 如图示, MN 2PQ 2
又MN x1 x2 ( x1 x2 )2 4 x1 x2
( x1 x2 )2 4 x1 x2 MN 2 4
而x1
x2
4,
x1 x2
4a 1 a
42 4 4a 1 4 a
即a 1 0
a 1 又a 1且a 2,所以a 1且a 2时,二次函数
y (a2 3a 2) x2 (a 1) x 1的图象与x轴有两个交点. 4
综上所述,当a 1时,函数的图象与x轴有交点.
1
(2)
x1
x2
a2
a
1 3a
2
,
x1
x2
a2
4 3a
2
1 1 x1 x2 4(a 1) a2 3 x1 x2 x1 x2
[例4](黄冈市,2000)已知关于x.y的方程组
( x 1)2 y2 2有一个实数解,且反比例函 y xb
数 y 1 b 的图像在每个象限内,y都随x的增
x
大而增大,如果点(a,3)在双曲线 上,求a的值.
解:由 ( x 1)2 y2 2
(1)
y x b
(2)
把(2)代入(1)中得 : ( x 1)2 ( x b)2 2
性质： 1、一次函数图象必经过点（0，b）。 2、当k>0时，y随x的增大而增大。 当k<0时，y随x的增大而减小。
二.二次函数y ax2 bx c(a 0)
性质:1.开口方向 a>0,开口向上 a<0,开口向下
2.对称轴 x b 2a
3.顶点坐标 ( b , 4ac b2 ) 2a 4a
当a 1时,原函数为y 1 与x轴平行,没有交点 4
当a 2时,原函数为y x 1 是一个一次函数, 4
与x轴有一个交点.
ii.当a2 3a 2 0时, a 1且a 2,此时函数为二次函数 如果图象与x轴有交点,则有
(a 1)2 4(a2 3a 2) 1 0 4
y ax2 bx c(a 0)
函数与方程 的综合问题
一.一次函数y kx b(k 0) 1.b 0时,函数为y kx,这时y叫做x的正比例函数.
性质：1、正比例函数的图象必经过原点（0，0）。 2、当k>0时，y随x的增大而增大。 当k<0时，y随x的增大而减小。
2.b 0时,一次函数为y kx b,
对于方程1 x2 (m 1)x m2 5 0 4
(m 1)2 4 1 (m2 5) 4
2m 4
2(m 2)
对于方程1 x2 (m 1)x m2 5 0 4
(m 1)2 4 1 (m2 5) 4
2m 4 2(m 2)
m2 2(m 2) 0 此方程无实数根.
解 : (1)关于x的一元二次方程 ( p m)x2 2nx ( p m) 0 有两个相等的实数根. (2n)2 4( p m)( p m) 0 即p2 m2 n2 则PMN为直角三角形 又由二次函数的对称性知PM PN 故这个三角形是等腰直角三角形.
( 2)抛物 线的 顶点 为( 2,1), 代入 解析 式中 得
即1+2m+m-7<0
所以m<2 (法二)设y x2 2mx m 7与x轴的两 个交点为( x1,0),( x2 ,0) 据题意则有: ( x1 1)( x2 1) 0 即x1x2 ( x1 x2 ) 1 0 又x1 x2 2m, x1 x2 m 7 m 7 2m 1 0 m 2
y (a2 3a 2)x2 (a 1)x 1 4
的图象与x轴总有交点
(1)求a的取值范围
(2)设函数的图象与x轴有两个不同的交点
A、B,其坐标为 A( x1,0), B( x2,0), 当
1 1 a2 3时 ,求a的值. x1 x2
解 : (1)i当a2 3a 2 0时, a 1或a 2,
解(1)依题意 0,即(4)2 8t 0
t 2 (2)设方程的两根为x1, x2 ,且x1 x2 0, 则x1 x2 4, x1 x2 2t s 1 1 x1 x2 2
x1 x2 x1 x2 t (其中t 2且t 0)
(3)图象如图示
[例2](十堰市,2001)已知:关于x的函数
4.与x轴的交点 由 b2 4ac 来决定
5.与y轴的交点(0,c)
三.反比例函数y k (k 0) x
[例1](陕西省,2001)已知关于x的方程
x2 4x 2t 0 有两个实数根.
(1)求t的取值范围
(2)设方程的两个根的倒数和为S,求S 与t之间的函数关系式.
(3)在直角坐标系内画出(2)中所得到 的函数的图象.
求得 : k 1 5 1 2
圆心O'的坐标为(2, 1 5 ) 2
a2 4a 1 0
a 2 3 a 1,而 2 3 1舍去
a 2 3
[例3](鄂州市 ,2001)已知抛物线
y x2 2mx m 7 与x轴的两
个交点在点(1,0)的两旁,试判断关于x
的方程 1 x2 (m 1)x m2 5 0 4
的根的情况,并说明理由.
解:(法一)如图示,当x=1,y<0
解得: a 1
抛物线的解析式为y x2 4 x 3
(3)设来自百度文库行于x轴的直线为y k
则如图示,圆心o,坐标为(2, k)
y k与抛物线y x2 4x 3
相交于A, B两点
yk
一定有两个不相等的实数根
y x2 4x 3
方程x2 4x 3 k即x2 4x 3 k 0
一定有两个不相等的实数根
(4)2 4(3 k) 0
求得 : k 1
以AB为直径的圆恰 好与x轴相切 AB 2 k 即AB2 4k 2
而AB x1 x2 ( x1 x2 )2 4 x1 x2 在方程x2 4 x 3 k 0中 x1 x2 4, x1 x2 3 k 42 4(3 k ) 4k 2 化简得: k2 k 1 0
整理得 : 2x2 2(1 b)x b2 1 0 由于原方程组只有一个实数解
方程2x2 2(1 b)x b2 1 0有 两个相等的实根
即: [2(1 b)]2 4 2(b2 1) 0 化简求解得: b 1或b 3
反比例函数y 1 b的图象在每一个象限 x
都随x的增大而增大 1 b 0即b 1
b 3则反比例函数为y 2 x
(a,3)在y 2 上 x
3 2 a
a 2 3
[例5](甘肃,2001)抛物线y ax2 bx c(a 0) 的顶点为P,与x轴的两个交点为M , N (点M在 点N的左侧), PMN的三个内角P,M和N 所对的边分别为p, m, n,若关于x的一元二次方 程( p m)x2 2nx ( p m) 0有两个相等的实 数根. (1)试判定PMN的形状. ( 2)当 顶 点P的 坐 标 为( 2,1)时, 求 抛 物 线 的 解 析 式 (3)平行于x轴的直线与抛物线交于A, B两点,以AB 为 直 径 的 圆 恰 好 与x轴 相 切, 求 该 圆 的 圆 心 坐 标.
y ax2 4ax 4a 1 又由(1)知MPC为等腰直角三角形, 如图示, MN 2PQ 2
又MN x1 x2 ( x1 x2 )2 4 x1 x2
( x1 x2 )2 4 x1 x2 MN 2 4
而x1
x2
4,
x1 x2
4a 1 a
42 4 4a 1 4 a
即a 1 0
a 1 又a 1且a 2,所以a 1且a 2时,二次函数
y (a2 3a 2) x2 (a 1) x 1的图象与x轴有两个交点. 4
综上所述,当a 1时,函数的图象与x轴有交点.
1
(2)
x1
x2
a2
a
1 3a
2
,
x1
x2
a2
4 3a
2
1 1 x1 x2 4(a 1) a2 3 x1 x2 x1 x2
[例4](黄冈市,2000)已知关于x.y的方程组
( x 1)2 y2 2有一个实数解,且反比例函 y xb
数 y 1 b 的图像在每个象限内,y都随x的增
x
大而增大,如果点(a,3)在双曲线 上,求a的值.
解:由 ( x 1)2 y2 2
(1)
y x b
(2)
把(2)代入(1)中得 : ( x 1)2 ( x b)2 2
性质： 1、一次函数图象必经过点（0，b）。 2、当k>0时，y随x的增大而增大。 当k<0时，y随x的增大而减小。
二.二次函数y ax2 bx c(a 0)
性质:1.开口方向 a>0,开口向上 a<0,开口向下
2.对称轴 x b 2a
3.顶点坐标 ( b , 4ac b2 ) 2a 4a
当a 1时,原函数为y 1 与x轴平行,没有交点 4
当a 2时,原函数为y x 1 是一个一次函数, 4
与x轴有一个交点.
ii.当a2 3a 2 0时, a 1且a 2,此时函数为二次函数 如果图象与x轴有交点,则有
(a 1)2 4(a2 3a 2) 1 0 4