高等结构动力学(云大土木系)03-多自由度系统r1

或缩写成： y K y 0 M
1、刚度法4
m
[例] 按刚度法求解（与前述方法结果相同 k32=-k/5 k31=0 ）
k/5
1 k21=-k/3 1 k22=8k/15 k12=-k/3
k33=k/5
m k/3
2m k 1 k11=4k/3
k23=-k/5 k13=0

K
1
ij 表示 在第j各坐标方向作用单位力引起的i个方向的位移。
影响系数法
[例] 试用影响系数法写出图示集中质量多自由度系 统的质量矩阵和刚度矩阵
每个弹簧刚 度均为k m1 x1 m2 m2 x2 m1 m3 x3 k1 k2 m3 k3
m4 x4 层间刚度k=相对剪力/ 相对位移
T U u( x, y, z), v( x, y, z), w( x, y, z)
X
ˆ1 u
（2）应变
e x , x , z , xy , yz , zx
T
ˆ5 u
ˆ4 u
ˆ3 u
ˆ2 u
（3）应力
S x , y , z , xy , yz , zx
Fra Baidu bibliotek 3k k 0
k k 4k k
k 0 k 3k
影响系数法
[例] 试用影响系数法写出图示集中质量多自由度系 统的质量矩阵和刚度矩阵
m3 k3
m2
k2 m1 k1
m1 M 0 0
0 m2 0
0 0 m3
k1 k 2 K k2 0
1 c12 c1n x x c22 c2 n 2 CX n cn 2 cnn x
k12 k1n x1 x k22 k2 n 2 KX kn 2 knn xn
m1 y1
yi
m i yi
m j yj
yj
mn yn
位移方程：
1 ) 12 ( my 2 ) 1n ( my n ) y1 11 ( my 1 ) 22 ( my 2 ) 2 n ( my n ) y2 21 ( my 1 ) n2 ( my 2 ) nn ( my n ) yn n1 ( my
m2
y1 0 0 y 2 mn y n 0
或： y 0 y M
2、柔度法3
[例 ] 如图所示三层刚架，横梁刚度为无穷大，用 柔度法求其自振频率和主振型。
解： 1）求质量矩阵:
2 0 0 [M ] m 0 1 0 0 0 1
2）求刚度矩阵:
20 5 0 k [ K ] 5 8 3 15 0 3 3
2、柔度法1
基本思路: 质体动位移是由n个惯性力引起的 mn mi m1 。 mj
k2 k 2 k3 k3
0 k3 k3
层间刚度k=相对剪力/ 相对位移
1、刚度法1
基本思路:
yn mn yi mi
y1
取质点为隔离体，列力的平衡方程。
mn yn
K n mn mn yn Kn
yn
mi yi
Ki mi mi yi
Ki
yi
m1
m1 y1
y1 K1 m1 m1
K1
y1
（1）惯性力作用 （2）取质量为隔离体 （3）结构弹性力
mi yi (t ) Ki 0
Ki ki1 y1 ki 2 y2 kin yn
1、刚度法2
Ki的求解：
m
y3
K3
3 k31=0 3 k32=-k 3 k22=2k 2 1 k11=2k 1 1 1 k12=-k 1 2 k13=0 1 k23=-k k33=k
◆广义位移法：针对“连续结构体系” （直接平衡法、虚位移原理、哈密顿原理）
◆有限单元法：针对“分布参数体系” （虚位移原理、拉格朗日原理）
直接平衡法
把每个质量隔离开，求出所有力，在每个动力自由度方向上列出 平衡方程：
f I 1 f D1 f s1 p1 (t ) f f f p (t ) I2 D2 s2 2 f In f Dn f sn pn (t )
k y2 m k y 1 K 1 m k
K2
2
k21=-k
K1 k11 y1 k12 y2 k13 y3 K2 k21 y1 k22 y2 k23 y3 K3 k31 y1 k32 y2 k33 y3
1、刚度法3
运动方程 ： 1 k11 y1 k12 y2 k1n yn 0 my
31
解： 1）求柔度系数
m k/5
21
32 4
P=1
33 9 22 4 23 4
P=1
m
2m
k/3
P=1
k
11
12
13
11 1/ k 1 1 22 22 4 23 21 31 11 k k /3
2、柔度法5
[习题]
求如图所示悬臂梁运动方程。
EI
m1
L 2
EI
m2
L 2
2、柔度法6
[习题] 求如图所示悬臂梁运动方程。（图乘法）
EI
m1
L 2
EI
m2
L 2
L/2
p 1
m1 0 M 0 m 2
L3 11 24EI L3 22 3EI 5 L3 12 21 48EI
11 12 22 21
L
M 1图
p 1
M 2图
§3-2 动力有限单元法
有限元法简介
有限元法优点
有限元法的离散化
一、动力有限元法列式
假设： 1、任意三维单元，建立XYZ坐标系，其中任意点 （x,y,z）的有关力学量： （1）位移
Z Y
ˆm u
1 1 1 22 9 33 k k /3 k /5
2、柔度法4
11 1/ k 柔度法求解结果： 21 11 1 311 1 柔度矩阵: [ ] 1 4 4 1 4 9
2 0 0 质量矩阵: [ M ] m 0 1 0 0 0 1
影响系数法
[例] 试用影响系数法写出图示集中质量多自由度系 统的质量矩阵和刚度矩阵
每个弹簧刚 度均为k m1 x1
m2 x2
m1 0 M 0 0
0 m2 0 0
0 0 m3 0
0 0 0 m4
m3 x3
m4 x4
4k k K k k
2 k21 y1 k22 y2 k2 n yn 0 my n kn1 y1 kn 2 y2 knn yn 0 my
写成矩阵形式：
m1 m2 y1 k11 k y 2 21 mn yn kn1 k12 k22 kn 2 k1n y1 0 y 0 k2 n 2 knn y n 0
影响系数法
按直接平衡法写出的方程组，可以用影响系数矩阵表示出来：
f I 1 m11 m12 f m m I 2 21 22 f In mn1 mn 2 f s1 k11 f k s 2 21 f sn kn1
B
T
（4）外力 体力 f
f ,f ,f
S

m1n x1 m2 n x 2 MX mnn xn
f D1 c11 f c D 2 21 f Dn cn1 p1 (t ) p (t ) 2 P(t ) pn (t )
j ) ( i 1, 2, , n) yi ij ( my
j 1 n
2、柔度法2
m1 mi
yi
mj
yj
mn
m1 y1
柔度系数物理意义： 写成矩阵形式：
m i yi
i
ij
m j yj 1 j jj
mn yn
y1 11 12 1n m1 y 2 21 22 2 n yn n1 n 2 nn
刚度法求解结果：
20 5 0 k 刚度矩阵: [ K ] 5 8 3 15 0 3 3
2 0 0 质量矩阵: [ M ] m 0 1 0 0 0 1
1 1 1 20 5 0 15 0 0 1 0 0 1 1 0 1 0 K 1 4 4 5 8 3 0 15 0 15 15 1 4 9 0 3 3 0 0 15 0 0 1
CX KX P(t ) MX
影响系数法
按直接平衡法写出的方程组，可以用影响系数矩阵表示出来：
mij cij k ij
加速度 分别为坐标j的单位 速度 引起的对应于i坐标的力。 位移
CX KX P(t ) MX
其中M、K可以直接求得，C常常需要间接计算——瑞利阻尼或柯西阻尼
第三章 多自由度系统
§3-1 §3-2 §3-3 §3-4 §3-5 §3-6 多自由度体系微分方程组的建立 动力有限单元法 特征方程与动力特性 振型分解法 逐步积分法 实用振动分析
§3-1 多自由度体系微分方程组的建立
集中质量法结构的离散化
绪论部分所提到的运动微分方程组的建立方法 ◆集中质量法：针对“质量弹簧体系” （直接平衡法、影响系数法）
影响系数法
1、若不考虑质量的转动，集中质量法得到的质量矩阵就是对角矩 阵，且平动自由度对角元素 mii 就是对应位置的质量 mi ，转动自 由度对角元素mii 的值为0。 2、对于弹簧质量体系、承受剪切变形的框架体系，当每个质量仅 考虑一个方向的自由度时。刚度矩阵对角元素 kii 为联结在质量mi 上的所有弹簧刚度之和；非对角元素 kij 都是负值，其大小等于联 结质量 mi 和 m j 的弹簧刚度之和。 3、除了上述两种特殊情况可以直接写出刚度矩阵外，其余均需按 结构力学的刚度法或柔度法计算得到。其中柔度矩阵 与刚度矩 阵 K互为逆矩阵。