第3章基本图形光栅化

dxx,dyy tm ax,x y
dt
dt
取时间步长为1/△t，则可得上述微分方程数
值解的递推公式为
x i 1 x i x t,y i 1 y i y t
3.1.1DDA算法
通常情况下，直线的方向分为8个不同的区域， 每个区域的处理方法有所不同。
2b 2a
1b 1a
3a 3b
4a 4b
A
B
C
D
3.2 圆的光栅化
与直线的生成类似，圆的生成算法的好坏将 直接影响到绘图的效率。本节仅讨论圆心位于坐 标原点的圆弧光栅化，再平移到 原来的位置。
3.2.1中点画圆算法
假设圆的半径为R，则圆的方程为
F x ,y x 2 y 2 R 2 0
3.1.3 Bresenham画线算法
设直线的起点和终点分别为（x1,y1)和(x2,y2)， 则直线方程为y=y1+dy/dx(x-x1)，其中dx=x2-x1，dy=y2-y1
直线方程经变换后可表示为从（0，0）到(dx,dy)，方程 可简化为y=dy/dx*x
dy
s= dx *(xi-1+1)-yi-1
在d≥0的情况下，取正右方像素PB， 判断下一像素应计算
d1=a(x+2)+b(y+0.5)+c =d+a 在d<0的情况下，取右上方像素PT， 判断下一像素应计算
d2=a(x+2)+b(y+1.5) = d+a+b d的初始值d0 = a+0.5b
3.1.2 中点画线法
由于我们使用的只是d的符号，而且d的增量都是 整数，只是其初始值包含小数。因此，我们可以用2d代 替d，来摆脱小数。
设P（x,y）是直线上的一点，与P点最近的网格点为（xi, yi）,那 么，下一个与直线最近的像素只能是正右方的网格点PB（xi+1, yi） 或右上方的网格点PT（xi+1,yi+1）两者之一。再以点M（xi+1, yi+0.5）表示PB和PT的中点，设Q是直线与垂直线x= xi+1的交点。
显然，若M在Q的下方，则PT离直线较近，应取PT为下一个像素 点，否则应取PB做为下一个像素点，这就是中点画线算法的基本 思想。
x int(y+0.5) y
00
0
10
0.4
21
0.8
31
1.2
Line: P0(0, 0)-- P1(5, 2) 3 2 1
42
1.6
0 12 3 4 5
52
2.0
3.1.2 中点画线法
为了讨论方便，假设直线的斜率在0到1之间，若直线在x 方向上增加一个光栅单位，则在y方向上的增量只能在0到1之间。
如果进一步把算法中2*a改为a+a等等，那么这个 算法不仅只包含整数变量，而且不包含乘除法，适合硬 件实现。
3.1.3 Bresenham画线算法
原理:过各行各列像素中心构造一组虚拟网格线，按直 线从起点到终点的顺序计算直线与各垂直网格线的交点， 然后确定该列像素中与此交点最近的像素。
若s<t，则Si比较靠近理 想直线，应选Si; 若s≥t，则Ti比较靠近理 想直线，应选Ti。
PT
Q
P
M
PB
3.1.2 中点画线法
设程直为线F的(x起,y点)=和ax终+b点y+分c=别0 为（x0,y0)和(x1,y1)，则直线方
其中a=y0-y1，b=x1-x0，c=x0y1-x1y0。
构造判别式：采用增量计算 d=F(M)=F(x+1, y+0.5)=a(x+1)+b(y+0.5)+c
区域 1a 1b 2a 2b 3a 3b 4a 4b
dx 1 △x/△y -1 -△x/△y -1 -△x/△y 1 △y/△x
dy △y/△x 1 △y/△x 1 -△y/△x -1 -△y/△x -1
3.1.1 DDA算法
例：画直线段P0(0,0)--P1(5,2)
解：斜率K=2/5=0.4，所以X方向每次步长为1，Y方向 递增K. 初始点为（0，0）。
dy
t=(yi-1+1)-
dy
dx
*(xi-1+1)
s-t=2* dx *(xi-1+1)-2yi-1-1
dx(s-t)=2(xi-1dy-2yi-1dx)+2dy-dx
3.1.3Bresenham画线算法
令di=dx(s-t), 则 di=2(xi-1dy-2yi-1dx)+2dy-dx di+1=2(xidy-2yidx)+2dy-dx di+1-di=2dy(xi-xi-1)-2dx(yi-yi-1)
第3章基本图形光栅化
第3章 基本图形光栅化
3.1 直线的光栅化 3.2 圆的光栅化 3.3 区域填充 3.4 字符表示 3.5 反走样
3.1 直线的光栅化
在数学上，理想的直线是没有宽度的、由无 数个点构成的集合。当我们对直线进行光栅化时， 只能在显示器所给定的有限个像素组成的矩阵中， 确定最佳逼近该直线的一组像素，并且按扫描线 顺序对这些像素进行写操作，这就是通常所说的 直线的扫描转换。
通常用于直线光栅化的算法有数值微分法 （DDA）、中点画线法和Bresenham画线算法。
3.1.1DDA算法
DDA（Digital Differential Analyzer）法是根
据直线的微分方程来画直线的。
设直线的起点坐标为Ps(xs,ys)，终点坐标为 Pe(xe,ye)，令△x= xe- xs，△y= ye- ys，则要绘 制的直线的微分方程为
递推公式 ： d i 1 d i 2 d 2 y d (y ix y i 1 )
当di≥0时，选Ti, di1di2(d yd)x 当di<0时，选Si， di1di 2dy
di的初值： d12dydx
3.1.3Bresenham画线算法
上面讨论的是直线斜率0≤k≤1的情况。对于一般 情况可作如下处理：
当点（x,y）在圆内时，F（x,y）<0; 当点（x,y）在 圆外时，F（x,y）>0; 当点（x,y）在圆上时，F（x,y）
（1）当斜率的绝对值k>1时，将x、y和dx、dy对
换，即以y向作为增长方向，y总是增1（或减1）， x是否增减1，则根据的符号判断：d≥0时x增1 （或减1）；d<0时，x不变。 （2）根据dx和dy的符号来控制(x或y)增1还是减1。
双步算法
1987年有人提出二步法，即每循环一次不是绘制一 个象素，而是绘制二个象素，这样无疑可以把生成直线 的速度提高一倍。下图为双步算法的四种情况 。