一元凸函数的若干性质探讨

1 凸函数的定义

定义1.1 设)(x f 在[a,b]上连续，若对[a,b]中任意两点1x ，2x ，恒有

)2(

21x x f +2

)

()(21x f x f +≤， 则称)(x f 在[a,b]上是凸函数。

定义1.2 若f （x ）在[a ，b]上是凸函数，对于任意θ)1,0(∈，恒有

f )()1()())1((2121x f x f x x θθθθ-+≤-+.

定义1.3 f 为I 上的凸函数的充要条件是：对于I 上的任意三点321x x x <<，总有

2

3231212)

()()()(x x x f x f x x x f x f --≤

--.

定理1.1 以上三个定义是等价关系。

证明：1)定义1.1⇒定义1.2 ),(,b a y x ∈∀ 及有理数)1,0(∈θ 用二进制表示θ为

θ =

n

n a a a 22222

1+++ ，10或=i a ，（11-≤≤n i ）. 1=n a 时，则n

n b b b 222122

1+++=

- θ.其中1),11(,1=-≤≤-=n i i b n i a b ，且对于),(b a 内任意两点21,x x ，显然有

1,,2,1),()()(2121-=+≤+n i x f b x f a x b x a f i i i i .

此时

⎥⎦

⎤⎢⎣⎡+++++++++≤

⎥⎦⎤⎢⎣⎡+++++++++≤⎭⎬⎫

⎩⎨⎧+++++++++=+++++++=-+------21

23

21123221112123

2112

3221112

1232112322111222

1122121)222()222(2

1)(21)222()22

2(21)(21])222()222[()(2))222()222(())1((x b b b x a a a f x b x a f x b b b x a a a f x b x a f x b b b x a a a x b x a f x b b b x a a a f x x f n n n n n n n n n n n n n

n n n θθ

≤⎥⎦⎤

⎢⎣⎡+++++++++++≤⎭⎬⎫⎩

⎨⎧⎥⎦⎤⎢⎣⎡+++++++++++≤

----22243122

4322221122122

2431224322122111)222()222(21)()22()()22()222()222()(4

1)(2)(2x b b b x a a a f x f b b x f a a x b b b x a a a x b x a f x f b x f a n n n n n n n n ),()1()()222()22221222

11221x f x f x b b b x a a a n

n n n θθ-+=+++++++≤ 即有

)()1()())1((2121x f x f x x f θθθθ-+≤-+.

2)定义1.2⇒定义1.3 记1

32

3x x x x --=

θ，则312)1(x x x θθ-+=.由f 的凸性知道 )()1()())1(()(31312x f x f x x f x f θθθθ-+≤-+=

)()(31

31

211323x f x x x x x f x x x x --+--=

，

从而有

)()()()()()(31212323x f x x x f x x x f x x -+-≤-，

整理后即得

2

3231212)

()()()(x x x f x f x x x f x f --≤

--. 3)定义1.3⇒定义1.1 在I 上任取两点在),(,3131x x x x < []31,x x 上任取一点

312)1(x x x θθ-+= ，)1,0(∈θ ，即1

32

3x x x x --=

θ. 由必要性的推导逆过程，可证得 )()1()())1((3131x f x f x x f θθθθ-+≤-+，

即)(x f 是凸函数，取2/1=θ时可得定义1.1.

综上所述：关于凸函数的三个定义是互相等价的,知道一个即可证出另外两个。

2 凸函数的判别法

2.1凸函数定义的扩展

凸函数有多种定义方式本文给出了三种，一下两个定理是关于凸函数判别的两种方式，也可以充当凸函数的定义。

定理2.1 设)(x f 在],[b a 上定义，)(x f 是凸函数的充要条件为：],,[,,321b a x x x ∈21x x <

3x <，有

0)

(1)(1)(133

22

11≥=∆x f x x f x x f x .

证明：[必要性] 任取三点321x x x <<，因为之间，

与在312x x x )1,0(∈∃t ,使212)1(x t tx x -+=，事实上，取1

32

3x x x x t --=

即成 .由行列式性质得 )

(1)(1)(133

22

11x f x x f x x f x =∆

[]).

()()()1()()

(1

)

()1()()()1()1(1)

(11323133

3123

1211x x x f x f t x tf x f x x f t x tf x f x t tx x t t x f x ---+=---------=

若 )(x f 是凸函数，上式第一个因子大于等于零，所以;0≥∆若)(x f 是严格凸函数，上式第一个因子大于零，所以0>∆.

[充分性] 要证,],,[,3131x x b a x x <∈∀