量子力学讲义 第七章 7.1 7.2 7.5 7.6

ad 0
0 b 于是， x c 0 ˆ
0 ˆ b*
x
* c b
c* 0
ˆ
x
为厄米矩阵：
ˆx ˆ 0
b*

则
x
ˆ
b 0
(7.2 16)
而
ˆ 1 2 x
亦即
2 0 b 0 b b 0 b * 0 b * 0
0 1
自旋算符
（7.2-21）
(2)电子自旋角量子数 2
ˆ2 S ˆ2 S ˆ2 ˆ2 S ˆ2 ˆ2 ˆ2 S x y z 1 0 3 2 2 4 ˆ S z 4 0 1 2 1 0 1 0 1x 0 y 4 0 1 0 1 0 1 S2算符的本征值是 3 2
上面两条完全确定了电子自旋算符。
二、泡利算符
（1）定义：
ˆ ˆx Sx 2 ˆ ˆy ˆ ˆy S S 2 2 ˆ ˆz Sz 2
(7.2 6 )
(2) 性质 (A)对易关系
ˆS ˆ i S ˆ S
ˆ ˆ S 2
ˆ ˆ ˆ i 2 2 2
可知 s与角量子数 l相当，称 s为自旋量子数。 1 注意：s只能取一个数值，即 s 2
三、电子自旋态的表示方法
1. 考虑了电子的自旋，电子的波函数应写为：
( x, y , z , s z , t )
(7.2 11)
由于 s z 。所以（7.2-11） 式实际上上可以写为两个分量 1 ( x , y , z , t ) ( x , y , z , , t ) 2 2 ( x , y , z , t ) ( x , y , z , , t ) 2 2. 可以把这两个分量排成一个二行一列的矩阵： 1 ( x , y , z , t ) (7.2 12) 2 ( x , y , z , t )
目 录
§ 7.1
§ 7.2 § 7.5 § 7.6
电子的自旋
电子自旋算符和自旋函数 光谱的精细结构 全同粒子的特性
§ 7.1
电子的自旋
一、提出电子自旋的依据
1、施特恩— 格拉赫实验（1922年） s态的氢原 子束通过不均匀磁场后，分离成朝 相反方向的两束。如图：
由O处射出的处于s态的氢原子束通过狭缝和不均 匀磁场，最后射到照片P上，实验结果是照片上出 现了两条分立的线。
得到的泡利矩阵是
（7.2-20）
泡利矩阵
ˆ
x
0 1
1 0
ˆ
y
0 i
i 0
ˆ
z
1 0
0 1
ˆx s
2
0 1
1 0
ˆy s
0 2i
i 0
1 ˆz s 2 0
e M s s ,(CGS) c

(7.1 2)
Ms在空间任意方向上的投影只能取两个数值：
e , ( SI ) M sz M B 2 e M sz M B , ( C GS ) 2c 式 中 M B玻 尔 磁 子 。
(7.1 3)
e M s s ,( SI );
二、电子自旋的假设 针对以上难以解释的实验现象，1925年乌仑贝 克和哥德斯密脱提出假设： (1) 每个电子具有自旋角动量s，它在空间任何方 向上的投影只能取两个数值：
sz
; 2
( 7 .1 1 )
e M s s ,( SI );
(2) 每个电子具有自旋磁矩Ms，它和自旋角动量s 的关系是
U Bz Fz M cos z z
如果原子磁矩在空间可以取任何方向的话，cosθ应 该从+1连续变化到-1。但实验结果只有两条分立的 线，对应于： cosθ= +1和cosθ= -1
在实验中，所用射线是出于s态的氢原子，角量子数 等于0，原子没有轨道角动量，因而也没有轨道磁矩 ，所以原子所具有的磁矩是电子固有的磁矩，即自 旋磁矩。
x y y x 0 y z z y 0 z x x z 0
z
ˆ x ˆ y ˆ y ˆ x 2i ˆ 证明:由
ˆ x 左乘上式两边 ˆ x ˆ x ˆ ˆ x ˆ y ˆ x 2 i ˆ x ˆ 用
y z
ˆ x 右乘上式两边 用
在把上面两式相加得
ˆ x ˆ y ˆ x ˆ y ˆ x ˆx ˆ z ˆx 2i
ˆ x ˆz ˆ z ˆx 0
同样可以证明另外两式.
3、矩阵表示 上面我们引入了自旋算符，并讨论了 它的性质，在 适当表象中，可以将它们表示成矩 阵。习惯上选取 SZ 表象（即 σZ 表象）。 （1）泡利矩阵 算符在自身表象中的矩阵是对角 矩阵，对角元素 即算符的本征值。
第七章
引言
自旋与全同粒子
我们已经知道，从薛定谔方程出发可以解 释许多微观现象，例如计算谐振子和氢原子的 能级从而得出它们的谱线频率，计算原子对光 的吸收和发射系数等。计算结果在相当精确的 范围内与实验符合。但是这个理论还有较大的 局限性。首先，薛定谔方程没有把自旋包含进 去，因而用前面的理论还不能解释牵涉到自旋 的微观现象，如塞曼效应等。此外，对于多粒 子体系（原子、分子、原子核、固体等等）， 前面的理论也不能处理。
(7.2 7)
2 2 ˆ （单位算符） ˆy ˆ z2 I ˆx (B)
ˆ 2,S ˆ 2,S ˆ 2 的本征值都是 证明 ：S
x y z x y z
2
4 ˆ 2 , ˆ 2 , ˆ 2的本征值都是 1，即 2 2 2 1
x y z
2 ，即 s x2 s 2 s y z
只能取两个数值 2
若已知电子的自旋处于 S z 的自旋态 ， 2


2 2 2 S S S 或由 x y z
2
4
1 记 S 2 s s 1 （7.2-5），则 s ，将上与轨 2 2 2 L l l 1 道角动量平方算符的本征值 比较，
2
4 可得到自旋角动量平方算符的 2 本征值是 S 2 S x S 2 S z2 3 2 y 4
e e ML L,( SI ); M L L,(CGS ) 2 2c

(7.1 5)
e (SI); e (CGS)， 即轨道运动的回转磁比率是 2 2c
因而自旋回转磁比率等于轨道运动回转磁比率的两 倍。
§ 7.2 电子自旋算符和自旋函数
电子具有自旋角动量这一特性纯粹是量子特 性，它不可能用经典力学来解释。电子的自旋是 相对论效应，严格处理应当用Dirac 方程。 自旋角动量与其他力学量的根本差别：一般力 学量都可以表示为坐标和动量的函数，自旋角动 量则与电子的坐标和动量无关，它是电子内部状 态的表征，是描写电子状态的第四个变量。
2
4
算符在自表象中的矩阵是对角矩阵 ，对角元素即本征值 ， ˆ 2 , ˆ 2 , ˆ 2 在自身表象中都是单位矩阵 。 于是
x y z
单位矩阵在表象变换下是不变的 ，即 S IS I ˆ ˆ2 ˆy ˆ 所以有 I x z 2 2
(C)
反对易关系

ˆz 2 S 0
0 0 1 2 0 1 2
（
ˆ 的本征 S
z
值是
1 0 ˆz 0 1
2
ˆ S z
2
z
）
1 1 0 2
令 由
0 1 分别是 s 2 1 a b ˆ x c d
ˆ ˆ 2i ˆ
ˆ 所满足的对易关系： 同样可以得到
[ ˆ x , ˆ y ] 2 i ˆz ˆ ˆ ˆ ˆ y , ˆ z ] 2 i ˆx 2 i [ [ ˆ x ] 2 i ˆy ˆ z ,
自旋角动量应满足上面的作为角动量定义的对易 关系。 ˆ2 S ˆ2 S ˆ2 S ˆ2 引入 S
x y z
则有:
ˆ ,S ˆ 2] [S ˆ ,S ˆ 2] [S ˆ ,S ˆ 2] 0 [S
x
y
z
2.
2 2 S S Sx . y z 4 2 2
由 于 S在 任 何 方 向 的 投 影 只 能 取 两 个 值 2 ˆ ,S ˆ 的本征值都只能有两个值 所以 x , S y z 2 ˆ S 2 2 2 2 则S S S x y z 4
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结论：除具有轨道角动量外，电子还应具有自旋角 动量。自旋是一种相对论量子效应，无经典对应。
2、原子光谱的精细结构 对应于氢原子2p→1s的 跃迁存在两条彼此很靠 近的两条谱线，碱金属原子光谱也存在双线结构 等，即仔细观察其他原子光谱中也可以发现这种 双谱线现象。 这种双谱线结构称为光谱线的精细结构。 只 有考虑了电子的自旋，才能解释光谱线的精 细结构。
1 ˆ ˆ x ˆ z) ( z x 2i ˆ ˆ 1 1 0 0 1 0 1 1 0 2i 0 1 1 0 1 0 0 1
x
y
y
1 0 1 0 1 2 i 1 0 1 0 1 0 2 2i 2 0 0 i i 0
一、自旋算符
注：r p 的表示方式不适用
1. 自旋角动量满足的对易关系
ˆ ˆ ,S ˆ ] iS [ S x y z ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ S S iS [ S y , S z ] iS x [ S ˆ ,S ˆ ] iS ˆ y z x (7.2 2)
实验结果说明，氢原子具有磁矩。所以原子束通过非 均匀磁场时受到力的作用而发生偏转；而且因分立线 只有两条可知，原子的磁矩在磁场中只有两种取向， 即它们是空间量子化的。
讨论： 假设原子的磁矩为M，它在沿z方向的外磁场B 中的势能：
U =-M B MBz cos
式中θ是原子磁矩M 和外磁场B之间的夹角。原子在 z方向所受的力是
即
z
z
的本征矢量。 2
ˆ z ˆ ˆ x ˆ
x
1 0 a b 0 1 c d
a b 1 0 c d 0 1
a c
可得出
b a d c
b d
1 0 0 2 b 0 1
b
2
1 b e i
习惯上取α=0, 于是得到：
0 i x e ˆ
e i 0
0 1 ˆ 1 0 x
(7.2 17)
ˆ z ˆ ˆ x ˆ z 2i ˆ 再由对易关系式

e M s s ,(CGS) c

(7.1 2)
由（7.1-2）式，电子自旋磁矩和自旋角动量之比是 M Sz M Sz e e ,( SI ); ,(CGS ) (7.1 4) sz sz c 这个比值称为电子自旋的回转磁比率。 已知轨道角动量和轨道磁矩的关系是