理科数学新课标总复习导与练教师用书配套课件:第一篇末总结
【新课标】2012高三数学理《导与练教师用书》总复习配套课件第1篇篇末总结
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(对应学生用书第 8 页)
集合与常用逻辑用语是高中数学的基础知识,也是每年高考必考内容,题量一般为 2 ~ 3 道,多以选择题或填空题的形式出现,难度不大,重点考查集合的基本运算 ( 如 2010年高考山东卷,理1),充要条件的判断(如2010年高考浙江卷,理4)和命题真假判断 (如2009年高考辽宁卷,文6).题目内容和思想方法可涉及或渗透到高中数学的各个章 节.
1.(2010年高考山东卷,理1)已知全集U=R,集合M={x||x-1|≤2},则∁UM等于( (A){x|-1<x<3} (B){x|-1≤x≤3}
C )
(C){x|x<-1或x>3} (D){x|x≤-1或x≥3}
解析:∵U=R, M={x||x-1|≤2}={x|-1≤x≤3}, ∴∁UM={x|x<-1或x>3}, 故选C.
真题解析: 充分性显然成立,必要性不成立,如数列- 2 ,- 1 , 0,1,2 , … 中 a2<|a1| ,不满足 “ an + 1>|an|(n=1,2,…)”,故选B.
核心规律: (1)关于充分条件、必要条件的判断问题,首先应理解充分条件、必要条件、充要条 件的概念,即若p⇒q,q⇒/ p,则p是q的充分不必要条件;若p⇒/ q,q⇒p,则p是q的必要不充 分条件;若p⇒q,q⇒p,则p是q的充要条件. (2)解题中可运用集合的观点来理解充分、必要条件. (3)进行判断推理时,可充分利用反例、特值的方法.
3. (2009 年高考辽宁卷,文 6)下列 4 个命题: 1 1 p1:∃x∈(0,+∞),( )x<( )x 2 3 1 1 p2:∃x∈(0,1),log x>log x 2 3 1 1 p3:∀x∈(0,+∞),( )x>log x 2 2 1 1 1 p4:∀x∈(0, ),( )x<log x 3 2 3 其中的真命题是( D ) (A)p1,p3 (B)p1,p4 (C)p2,p3 (D)p2,p4
高三一轮总复习理科数学新课标第章第节38页PPT
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落实·固基础
高考体验·明
【解析】 依据排列,组合的定义,可知(1)、(2)错;
由Cxn=Cmn 可得x=m或Exv=alnu-amti,on(3)o不n正ly确. .(4)正确.
ed with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2 C【o答p案y】righ(t1)2×00(42-)×201(13)×Asp(4o)√se Pty Ltd.
探究·提知能性质
(1)①0!= 1 ;②Ann= n! (2)①Cmn =Cnn-m;②Cmn+1=Cnm+Cmn -1
课时作
菜单
高三一轮总复习数学·新课标(理科)
1.(固基升华)判断下列结论的正误.(正确的打“√”,错
落实·固基础
高考体验·明
误的打“×”)
(1)所有元素完全E相va同lu的a两tio个n排o列n为ly相. 同排列( ) ed with(2A)一s个po组s合e.中S取lid出e的s元fo素r 讲.N究E元T素3的.5先C后l顺ie序nt( Pro)file 5.2
高考体验·明
ed
公式
with
A(2s)Cpmno=sAAemnmm.=SnlEidnv-eas1lufano-trimo2.!Nn…EonTn-ly3m..+51C=liem! ntnnP! -rmof!ile
5.2
C(on,pymr∈igNh*t,2且0m0≤4-n2),0特11别A地sCp0n=o1se Pty Ltd.
高三一轮总复习理科数学新课标第 章第节
31、园日 涉 以 成 趣 , 门 虽 设 而 常 关 。 32、鼓腹 无 所 思 。 朝 起 暮 归 眠 。 33、倾壶 绝 余 沥 , 窥 灶 不 见 烟 。
【新课标】2012高三数学理《导与练教师用书》总复习配套课件第1篇第1节
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【例2】 (2010年高考新课标全国卷 ) 已知集合 A={x||x|≤2 , x∈R},B={x|≤4,x∈Z},则 A∩B等于( ) (A)(0,2) (B)[0,2] (C){0,2} (D){0,1,2}
解析:∵|x|≤2,∴- 2≤x≤2, 即 A={x|- 2≤x≤2}. ∵ x≤4,∴0≤x≤16, 又 x∈ Z,∴B= {0,1,2,3,…,16}. ∴A∩B={0,1,2},故选 D.
② 当 B= ∅时, 2a> a+ 3,解之得 a> 3. 综合①②得 a≥1.故应选 C.
(对应学生用书第 240 页)
【选题明细表】
知识点、方法 集合的基本概念 集合的基本关系 集合的基本运算
题号 1、9 3、4 2、3、5、6、7、8、10
一、选择题 1.(2010年焦作市期末)已知M={y|y=x2},N={y|x2+y2=2},则M∩N等于( D (A){(1,1),(-1,1)} (B){1} )
错源二:忽略空集 【例2】 设A={x|2≤x≤6},B={x|2a≤x≤a+3},若B⊆A,则实数a的取值范围是( (A) [1,3] (B)(3,+∞) (C)[1,+∞) (D)(1,3) )
2a≥2 错解:∵ B⊆A,∴ ,解得 1≤a≤3,故选 A. a+3≤6
错解分析:空集是任何集合的子集,忽视这一点,会导致漏解,产生错误结论.对于形 如 {x|a<x<b}一类的集合,当 a≥b 时,它表示空集,解题时要引起注意. 2a≤a+ 3 正解:①当 B≠∅时,则有2a≥2 a+3≤6 ,解之得 1≤a≤3,
解析:由 a=1, b2=1 知, b=- 1, ∴c2=-1,∴c= i 或 c=- i. 若 c= i,则 d=- i;若 c=- i,则 d=i. ∴b+ c+d=-1+ i-i=-1 或 b+ c+d=-1-i+i=-1, 故(2009年高考江苏卷)已知集合A={x|log2x≤2},B=(-∞,a),若A⊆B,则实数a的 取值范围是(c,+∞),其中c=________.
高考理科数学一轮总复习课标课件第章导数及其应用
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VS
几何意义
函数$y = f(x)$在点$x_0$处的导数 $f'(x_0)$在几何上表示曲线$y = f(x)$在 点$(x_0, f(x_0))$处的切线的斜率。
可导与连续关系
可导必连续
如果函数在某点可导,则该函在某点连续,也不一定 在该点可导。例如,函数$y = |x|$在$x = 0$处连续但不可导。
单调性证明方法
采用导数定义或中值定理等方法,证明函数 在指定区间内的单调性。
凸凹性判断与拐点求解
导数与函数凸凹性关系
当二阶导数大于0时,函数为凹函数 ;当二阶导数小于0时,函数为凸函 数。
凸凹性判断方法
拐点求解方法
找到二阶导数变号的点,即为拐点。
通过求解二阶导数,判断其正负性, 从而确定函数的凸凹性。
典型例题分析与解答
例题一
求解不等式$e^x - x - 1 > 0$的 解集。
例题二
证明不等式$frac{1}{2}x^2 - ln x geq 1$对任意$x > 0$恒成立。
例题三
已知函数$f(x) = x^3 - ax^2 - 3x$ 在区间$[1, + infty)$上是增函数, 求实数$a$的取值范围。
导数的应用
通过选择题,让学生熟悉导数在解决实际问题中的应用,如最值问题 、单调性问题等。
填空题专项训练
导数的基本公式与运算法则
通过填空题,让学生熟练掌握导数的基本公式和运算法则,提高 解题效率。
高阶导数
通过填空题,让学生理解高阶导数的概念,掌握高阶导数的计算方 法。
隐函数与参数方程求导
通过填空题,让学生熟悉隐函数和参数方程求导的方法,提高解题 能力。
02
人教版理科数学一轮复习教学ppt第一篇 第1讲 集合的概念和运算
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则m2m+-1≥1≤-7,2, m+1<2m-1,
解得 2<m≤4.
综上,m 的取值范围为 m≤4. (1)集合中元素的互异性,可以作为解题的依据
和突破口;(2)对于数集关系问题,往往利用数轴进行分 析;(3)对含参数的方程或不等式求解,要对参数进行分 类讨论.
【训练2】 已知集合A={x|log2x≤2},B=(-∞,a),若 A⊆B,则实数a的取值范围是(c,+∞),其中c=
4.设全集U={1,2,3,4,5,6},集合A={1,2,4},B= {3,4,5},则图中的阴影部分表示的集合为 ( ).
• A.{5} B.{4}
C.{1,2} D.{3,5}
• 解析 由题图可知阴影部分为集合(∁UA)∩B,∵∁UA={3,5,6},∴(∁UA)∩B={3,5}.
• 答案 D
( ).
• 答案 B
• 2.(2012·辽宁)已知全集U={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9},集合A
={0,1,3(,5,).8},集合B={2,4,5,6,8},则(∁UA)∩(∁UB)等于
•
A.{5,8}
B.{2,4,6}
•
解析 根据集合运算的性质求解.因为A∪B={0,1,2,3,4,5,6,8},所以
第1讲 集合的概念与运算
• 1.考查集合的交、并、补的基本运算,常与一次不等式、一元二次不等式、 简单的分式不等式、指数不等式、对数不等式的求解或函数定义域相结合.
• 2.利用集合运算的结果确定某个集合,主要是有限数集的基本运算,可用 韦恩图解决,多以选择题的形式进行考查.
考点梳理
1.集合的基本概念
• ③A∪A=A,A∪∅=A;
• ④A∩∁UA=∅,A∪∁UA=___,∁U(∁UA)=A.
新教材高考数学一轮复习第3章导数及其应用第1节导数的概念与运算课件新人教A版
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1.判断下列说法的正误,对的打“√”,错的打“×”.
(1)f ′(x0)与[f (x0)]′表示的意义相同.
(× )
(2)求 f ′(x0)时,可先求 f (x0)再求 f ′(x0).
(× )
(3)曲线的切线不一定与曲线只有一个公共点.
(√ )
(4)与曲线只有一个公共点的直线一定是曲线的切线. ( × )
(2)曲线的切线与曲线的公共点不一定只有一个,而直线与二次 曲线相切时只有一个公共点.
(3)函数 y=f (x)的导数 f ′(x)反映了函数 f (x)的瞬时变化趋势,其 正负号反映了变化的方向,其大小|f ′(x)|反映了变化的快慢,|f ′(x)|越 大,曲线在这点处的切线越“陡峭”.
(4)奇函数的导数是偶函数,偶函数的导数是奇函数,周期函数 的导数还是周期函数.
f (x)=sin x f (x)=cos x
导函数 f ′(x)=_0_ f ′(x)=___α_xα_-_1__ f ′(x)=_c_o_s__x_ f ′(x)=_-__s_i_n_x__
基本初等函数 f (x)=ax(a>0,且 a≠1)
f (x)=ex f (x)=logax(a>0,a≠1,x>0)
第一节 导数的概念与运算
01 必备知识•回顾教材重“四基”
一、教材概念·结论·性质重现
1.函数 y=f (x)在 x=x0 处的导数
(1)定义:如果当 Δx→0 时,平均变化率ΔΔyx无限趋近于一个
_确__定__的__值_,即ΔΔyx有极限,则称 y=f (x)在 x=x0 处可导,并把这个确定
第三章 导数及其应用
课程标准 1.了解导数概念的实际背景,体会导数的内涵与思想. 2.通过函数图象直观理解导数的几何意义. 3.能利用基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则,求简单 函数的导数. 4.了解函数的单调性与导数的关系;能利用导数研究函数的单调 性.
适用于新教材2024版高考数学一轮总复习:导数的概念运算及几何意义课件北师大版
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y=f(u)和u=φ(x)的复合函数,记作
y=f(φ(x))
,其中u为中间变量.
y'x表示y对x的导数
(2)复合函数y=f(φ(x))对x的导数为y'x=[f(φ(x))]'=
f'(u)φ'(x)
,其中u=φ(x).
常用结论
1.奇函数的导数是偶函数,偶函数的导数是奇函数,周期函数的导数还是周
期函数.
.
2 - 1
(2)函数 y=f(x)在 x=x0 处的导数:对于 f(x),当 x1 趋于 x0,即 Δx 趋于 0 时,如果平
均变化率趋于一个固定的值,那么这个值就是函数 y=f(x)在点 x0 的瞬时变化
率.在数学中,称瞬时变化率为函数 y=f(x)在点 x0 处的导数,通常用符号 f'(x0)
第四章
第一节 导数的概念、运算及几何意义
内
容
索
引
01
强基础 固本增分
02
研考点 精准突破
1.理解导数概念的实际背景,知道导数是关于瞬时变化率的数学表达,
体会导数的内涵与思想,体会极限思想.
课标
解读
2.能通过函数图象直观理解导数的几何意义.
3.能根据导数定义求函数y=c,y=x,y=x2,y=x3,y=
度与时间的关系式.
2.导数的几何意义
函数y=f(x)在x0处的导数f'(x0),是曲线y=f(x)在点(x0,f(x0))处的切线的斜率.
函数y=f(x)在x0处切线的斜率反映了导数的几何意义.
微思考 “曲线在点P处的切线”与“曲线过点P的切线”有何区别?
提示 “曲线在点P处的切线”与“曲线过点P的切线”含义是不同的,“曲线在
高考理科数学一轮总复习课标课件
![高考理科数学一轮总复习课标课件](https://img.taocdn.com/s3/m/b0ec1152640e52ea551810a6f524ccbff121caa8.png)
备考策略调整和心态调整
策略调整
根据学生的复习情况和考 试要求,适时调整备考策 略,如加强薄弱环节的训 练、提高解题技巧等。
心态调整
鼓励学生保持积极的心态 ,面对考试压力和挑战, 保持自信和冷静,合理安 排时间和精力进行备考。
合作与分享
倡导学生之间的合作与分 享精神,互相学习和借鉴 好的学习方法和经验,共 同提高备考效果。
难度适中,区分度高
模拟测试卷的难度设置适中, 既不过于简单也不过于复杂, 能够准确反映学生的真实水平 。同时,试题具有良好的区分 度,能够区分出不同水平的学 生。
模拟测试卷采用多种题型,包 括选择题、填空题、解答题等 ,从不同角度考查学生的数学 素养和解题能力。
学生答题情况分析报告
总体情况
通过对模拟测试卷的分析,发现大部分学生能够较好地掌握基础知识和基本技能,但在一些重点、难点知识点 的理解和应用上还存在不足。
圆锥曲线的性质和应用
包括椭圆、双曲线、抛物线等圆锥曲线的性质和应用。
解析几何中的最值问题
如利用基本不等式、柯西不等式等解决解析几何中的最值问题。
立体几何证明与计算
空间几何体的性质和应用
包括柱体、锥体、球体等空间几何体的性质和应用。
空间向量的应用
利用空间向量解决立体几何中的角度、距离等问题。
立体几何中的证明问题
感谢您的观看
THANKS
04
实例分析
结合具体题目,分析解题思路 和方法,加深对知识点的理解 和应用。
填空题答题技巧及实例分析
审题技巧
认真阅读题目,理解题意和要求,明确所填 内容。
知识储备
根据题目条件,运用数学知识和推理能力进 行计算和求解。
推理计算
人教A版高考总复习一轮理科数学精品课件 第3章 导数及其应用 第1节 导数的概念及运算
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2
f'(x0)= ,所以切线方程为
0
解得
1
x0=e ,
则直线 l:y=2ex-4,所以 b=-4.
y-2ln
2
x0= (x-x0),则
0
2
x0),f'(x)= ,
提示:不一定.
2.基本初等函数的导数公式
基本初等函数
f(x)=c(c为常数)
f(x)=xα(α∈Q*)
f(x)=sin x
f(x)=cos x
f(x)=ex
f(x)=ax(a>0,a≠1)
f(x)=ln x
f(x)=logax(a>0,a≠1)
导函数
f'(x)= 0
f'(x)= αxα-1
f'(x)= cos x
C.6
D.14
(3)(2021 广西南宁模拟)下列函数求导运算正确的是(
ln2
A.(log2x)'=
C.(xcos x)'=cos x+xsin x
)
B.(e-x)'=e-x
2
D.[ln(2x+1)+f'(1)]'=2+1
)
)
答案:(1)D (2)C
解析:(1)由题意得
(3)D
1
f'(x)= +3x2,所以
导数就是质点在x=x0时的 瞬时 速度,在(a,b)内的导数就是质
点在(a,b)内的 速度 方程
微点拨(1)一般地,如果一个函数f(x)在区间(a,b)内的每一点x处都有导数,导
数值记为f'(x),则f'(x)是关于x的函数,称f'(x)为f(x)的导函数,简称为导数.
2025版高考数学一轮总复习第3章导数及其应用第1讲导数的概念及运算pptx课件
![2025版高考数学一轮总复习第3章导数及其应用第1讲导数的概念及运算pptx课件](https://img.taocdn.com/s3/m/92e65ce5e43a580216fc700abb68a98270feac31.png)
(4)sin
π3′=
23′=0.
(5)(2x)′=2xln 2.
究函数的极
Ⅱ,11,22
求参数范围 运算求解
值、最值
综合性
逻辑推理 数学运算
考题
考点
考向
关键能力 考查要求 核心素养
利用导数研 2022新高考 究函数的单 比较大小
Ⅰ,7 调性
逻辑思维
数学运算
综合性
运算求解
逻辑推理
2022新高考 利用导数研
Ⅰ,22;
求 值 ; 研 究 不 逻辑思维
究函数的零
2021新高考
逻辑思维
综合性
数学运算 逻辑推理
2022新高考 导数的概念 由 切 线 条 数 求 运算求解 综合性 数学运算
Ⅰ,15 和运算 取值范围
考题
考点
考向
关键能力 考查要求 核心素养
2021新高考
Ⅰ,7; 导数的概念 求切线方程
2022新高考 和运算
运算求解 创新性 数学运算
Ⅱ,14
求解函数的单 2021新高考 利用导数证 调 性 、 极 值 点 逻辑思维
第一讲 导数的概念及运算
知识梳理 · 双基自测
知识梳理 知识点一 导数的概念与导数的运算 1.函数的平均变化率 一般地,已知函数 y=f(x),把式子fxx22--fx1x1称为函数 y=f(x)从 x1 到 x2 的平均变化率,还可以表示为ΔΔyx=fxx22--fx1x1.
2.导数的概念
导数及其应用
考题
考点
考向
关键能力 考查要求 核心素养
2023新课标 利用导数研 讨 论 函 数 的 单
Ⅰ,19;
调 性 ; 由 单 调 逻辑思维 究函数的单
2022年高考数学(理)总复习教师用书:第一单元 Word版含解析
![2022年高考数学(理)总复习教师用书:第一单元 Word版含解析](https://img.taocdn.com/s3/m/471b3bfb05a1b0717fd5360cba1aa81144318fac.png)
第一单元 ⎪⎪⎪集合与常用规律用语第1课集__合[课前回扣教材] [过双基]1.集合的含义及表示(1)集合的含义:争辩对象叫做元素,一些元素组成的总体叫做集合.集合中元素的性质:确定性、无序性、互异性.(2)元素与集合的关系:①属于,记为∈;②不属于,记为∉. (3)集合的表示方法:列举法、描述法和图示法.(4)常用数集的记法:自然数集N ,正整数集N *或N +,整数集Z ,有理数集Q ,实数集R. 2.集合间的基本关系表示关系文字语言符号语言 记法基本关系子集集合A 的元素都是集合B的元素x ∈A ⇒ x ∈BA ⊆B 或B ⊇A真子集集合A 是集合B 的子集,且集合B 中至少有一个元素不属于A A ⊆B ,且∃x 0∈B ,x 0∉A A B 或 B A相等 集合A ,B 的元素完全相同A ⊆B , B ⊆A A =B空集不含任何元素的集合.空集是任何集合A 的子集∀x ,x ∉∅,∅⊆A∅3.集合的基本运算表示 运算文字语言符号语言图形语言记法交集属于集合A 且属于集合B 的元素组成的集合{x |x ∈A ,且x ∈B }A ∩B并集属于集合A 或属于集合B 的元素组成的集合 {x |x ∈A ,或x ∈B }A ∪B补集全集U 中不属于集合A 的元素组成的集合{x |x ∈U ,且x ∉A }∁U A4.集合问题中的几个基本结论 (1)集合A 是其本身的子集,即A ⊆A ;(2)子集关系的传递性,即A ⊆B ,B ⊆C ⇒A ⊆C ;(3)A ∪A =A ∩A =A ,A ∪∅=A ,A ∩∅=∅,∁U U =∅,∁U ∅=U . [小题速通]1.(2021·云南统一检测)已知集合S ={x |3x +a =0},假如1∈S ,那么实数a 的值为( ) A .-3 B .-1 C .1D .3解析:选A ∵1∈S ,∴3+a =0,∴a =-3.2.(2021·江西临川一中期中)已知集合A ={2,0,1,4},B ={k |k ∈R ,k 2-2∈A ,k -2∉A },则集合B 中全部的元素之和为( )A .2B .-2C .0D. 2解析:选B 若k 2-2=2,则k =2或k =-2,当k =2时,k -2=0,不满足条件,当k =-2时,k -2=-4,满足条件;若k 2-2=0,则k =±2,明显满足条件;若k 2-2=1,则k =±3,明显满足条件;若k 2-2=4,则k =±6,明显满足条件.所以集合B 中的元素为-2,±2,±3,±6,所以集合B 中的元素之和为-2,故选B.3.已知集合P ={x |x <2},Q ={x |x 2<2},则( ) A .P ⊆QB .P ⊇QC .P ⊆∁R QD .Q ⊆∁R P解析:选B 解x 2<2,得-2<x <2,∴P ⊇Q .4.(2021·河南适应性测试)已知集合A ={0,1,2},B ={y |y =2x ,x ∈A },则A ∪B 中的元素的个数为( )A .6B .5C .4D .3解析:选C 由于B ={0,2,4},所以A ∪B ={0,1,2,4},其元素的个数为4,故选C. 5.(2022·全国丙卷)设集合S ={x |(x -2)(x -3)≥0},T ={x |x >0},则S ∩T =( ) A .[2,3]B .(-∞,2]∪[3,+∞)C.[3,+∞) D.(0,2]∪[3,+∞)解析:选D由题意知S={x|x≤2或x≥3},则S∩T={x|0<x≤2或x≥3}.故选D.6.设全集U={n∈N|1≤n≤10},A={1,2,3,5,8},B={1,3,5,7,9},则(∁U A)∩B=________.解析:由题意U={1,2,3,4,5,6,7,8,9,10},则∁U A={4,6,7,9,10},即(∁U A)∩B={7,9}.答案:{7,9}[清易错]1.在写集合的子集时,易忽视空集;在应用条件A∪B=B⇔A∩B=A⇔A⊆B时,易忽视A=∅的状况.2.在解决含参数的集合问题时,要留意检验集合中元素的互异性,否则很可能会由于不满足“互异性”而导致解题错误.3.Venn图图示法和数轴图示法是进行集合交、并、补运算的常用方法,其中运用数轴图示法时要特殊留意端点是实心还是空心.1.(2021·西安质检)已知集合M={1,2,3,4},则集合P={x|x∈M,且2x∉M}的子集的个数为()A.8 B.4C.3 D.2解析:选B由题意,得P={3,4},所以集合P的子集有22=4个,故选B.2.已知A={x|x2-3x+2=0},B={x|ax-2=0},若A∩B=B,则实数a的值为()A.0或1或2 B.1或2C.0 D.0或1解析:选A由题意A={1,2},当B≠∅时,∵B⊆A,∴B={1}或{2},当B={1}时,a·1-2=0,解得a=2;当B={2}时,a·2-2=0,解得a=1.当B=∅时,a=0.故a的值为0或1或2.3.设全集U=R,A={x|2x(x-2)<1},B={x|y=ln(1-x)},则右图中阴影部分表示的集合为()A.{x|x≥1} B.{x|x≤1}C.{x|0<x≤1} D.{x|1≤x<2}解析:选D由2x(x-2)<1,得x(x-2)<0,解得0<x<2,由1-x>0,得x<1.图中阴影部分表示的集合为A∩∁U B,由于∁U B=[1,+∞),画出数轴,如图所示,所以A∩∁U B=[1,2).[课堂争辩高考][全国卷5年命题分析]考点考查频度考查角度集合的基本概念5年2考集合的表示、集合元素的性质集合间的基本关系5年1考子集概念集合的基本运算5年7考交、并、补运算,多与不等式相结合集合的基本概念[典例](1)设集合A=M中的元素个数为() A.3B.4C.5 D.6(2)(2021·厦门模拟)已知P={x|2<x<k,x∈N},若集合P中恰有3个元素,则k的取值范围为________.[解析](1)∵a∈A,b∈B,∴x=a+b为1+4=5,1+5=2+4=6,2+5=3+4=7,3+5=8.共4个元素.(2)由于P中恰有3个元素,所以P={3,4,5},故k的取值范围为5<k≤6.[答案](1)B(2)(5,6][方法技巧]与集合中的元素有关问题的求解策略(1)确定集合的元素是什么,即集合是数集还是点集.(2)看这些元素满足什么限制条件.(3)依据限制条件列式求参数的值或确定集合中元素的个数,但要留意检验集合是否满足元素的互异性.[即时演练]1.(2021·莱州一中模拟)已知集合A={x∈N|x2+2x-3≤0},B={C|C⊆A},则集合B中元素的个数为() A.2 B.3C.4 D.5解析:选C A={x∈N|(x+3)(x-1)≤0}={x∈N|-3≤x≤1}={0,1},共有22=4个子集,因此集合B中元素的个数为4,选C.2.已知集合A={m+2,2m2+m},若3∈A,则m的值为________.解析:由题意得m+2=3或2m2+m=3,则m=1或m=-32,当m=1时,m+2=3且2m2+m=3,依据集合中元素的互异性可知不满足题意;当m=-32时,m+2=12,而2m2+m=3,故m=-32.答案:-32集合间的基本关系[典例] (1)(2021·忻州一中期中)已知集合A 满足条件{1,2}⊆A {1,2,3,4,5},则集合A 的个数为( ) A .8 B .7 C .4D .3(2)已知集合A ={x |1≤x <5},B ={x |-a <x ≤a +3},若B ⊆(A ∩B ),则a 的取值范围为________. [解析] (1)由题意可知,集合A 中必含有元素1和2,可含有3,4,5中的0个、1个、2个,则集合A 可以为{1,2},{1,2,3},{1,2,4},{1,2,5},{1,2,3,4},{1,2,3,5},{1,2,4,5},共7个.故选B.(2)由于B ⊆(A ∩B ),所以B ⊆A . ①当B =∅时,满足B ⊆A , 此时-a ≥a +3,即a ≤-32;②当B ≠∅时,要使B ⊆A ,则⎩⎪⎨⎪⎧-a <a +3,-a ≥1,a +3<5,解得-32<a ≤-1.由①②可知,a 的取值范围为(-∞,-1]. [答案] (1)B (2)(-∞,-1] [方法技巧]已知两集合的关系求参数时,关键是将两集合的关系转化为元素间的关系,进而转化为参数满足的关系,解决这类问题经常要合理利用数轴、Venn 图挂念分析.[即时演练]1.(2021·兰州模拟)已知集合A ={x |y =ln(x +3)},B ={x |x ≥2},则下列结论正确的是( ) A .A =B B .A ∩B =∅ C .A ⊆BD .B ⊆A解析:选D 由于A ={x |x >-3},B ={x |x ≥2},所以结合数轴可得B ⊆A .2.已知集合A ={x |log 2x ≤2},B =(-∞,a ),若A ⊆B ,实数a 的取值范围是(c ,+∞),则c =________. 解析:由log 2x ≤2,得0<x ≤4, 即A ={x |0<x ≤4}, 而B =(-∞,a ),由于A ⊆B ,如图所示,则a >4,即c =4.答案:4集合的基本运算集合运算多与解简洁的不等式、函数的定义域、值域相联系,考查对集合的理解及不等式的有关学问;有些集合题为抽象集合题或新定义型集合题,考查同学的机敏处理问题的力量.,常见的命题角度有:(1)求交集或并集; (2)交、并、补的混合运算; (3)集合的新定义问题. 1.(2022·全国乙卷)设集合A ={x |x 2-4x +3<0},B ={x |2x -3>0},则A ∩B =( ) A.⎝⎛⎭⎫-3,-32 B.⎝⎛⎭⎫-3,32 C.⎝⎛⎭⎫1,32 D.⎝⎛⎭⎫32,3解析:选D ∵x 2-4x +3<0,∴1<x <3,∴A ={x |1<x <3}. ∵2x -3>0,∴x >32,∴B =⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x >32. ∴A ∩B ={x |1<x <3}∩⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x >32=⎝⎛⎭⎫32,3. 2.(2022·山东高考)设集合A ={y |y =2x ,x ∈R},B ={x |x 2-1<0},则A ∪B =( ) A .(-1,1) B .(0,1) C .(-1,+∞)D .(0,+∞)解析:选C 由已知得A ={y |y >0},B ={x |-1<x <1},则A ∪B ={x |x >-1}.故选C.角度二:交、并、补的混合运算3.(2021·开封模拟)设集合A ={n |n =3k -1,k ∈Z},B ={x ||x -1|>3},则A ∩(∁R B )=( ) A .{-1,2} B .{-2,-1,1,2,4} C .{1,4}D .∅解析:选A ∵B ={x |x >4或x <-2},∴∁R B ={x |-2≤x ≤4}, ∴A ∩(∁R B )={-1,2}.4.(2021·沈阳教学质量监测)设全集U =R ,集合A ={x |y =lg x },B ={-1,1},则下列结论中正确的是( )A.A∩B={-1} B.(∁R A)∪B=(-∞,0)C.A∪B=(0,+∞) D.(∁R A)∩B={-1}解析:选D由题意知,集合A={x|x>0},则∁R A={x|x≤0}.又B={-1,1},所以A∩B={1},(∁R A)∪B=(-∞,0]∪{1},A∪B={-1}∪(0,+∞),(∁R A)∩B={-1},故选D.角度三:集合的新定义问题5.设A,B是非空集合,定义A⊗B={x|x∈A∪B且x∉A∩B}.已知集合A={x|0<x<2},B={y|y≥0},则A⊗B=________.解析:由已知,A∪B={}x|x≥0,A∩B={x|0<x<2},故由新定义结合数轴得A⊗B={0}∪[2,+∞).答案:{0}∪[2,+∞)[方法技巧]解集合运算问题4个留意点(1)看元素构成:集合是由元素组成的,从争辩集合中元素的构成入手是解决集合运算问题的关键.(2)对集合化简:有些集合是可以化简的,先化简再争辩其关系并进行运算,可使问题简洁明白、易于解决.(3)应用数形:常用的数形结合形式有数轴、坐标系和Venn图.(4)创新性问题:以集合为依托,对集合的定义、运算、性质进行创新考查,但最终化为原来的集合学问和相应数学学问来解决.1.(2022·全国甲卷)已知集合A={1,2,3},B={x|(x+1)(x-2)<0,x∈Z},则A∪B=()A.{1} B.{1,2}C.{0,1,2,3} D.{-1,0,1,2,3}解析:选C由于B={x|(x+1)(x-2)<0,x∈Z}={x|-1<x<2,x∈Z}={0,1},A={1,2,3},所以A∪B={0,1,2,3}.2.(2021·全国卷Ⅱ)已知集合A={x|-1<x<2},B={x|0<x<3},则A∪B=()A.(-1,3) B.(-1,0)C.(0,2) D.(2,3)解析:选A将集合A与B在数轴上画出(如图).由图可知A∪B=(-1,3),故选A.3.(2022·全国卷Ⅱ)已知集合A={-2,0,2},B={ x|x2-x-2=0},则A∩B=()A.∅B.{2}C.{0} D.{-2}解析:选B由于B={x|x2-x-2=0}={-1,2},A={-2,0,2},所以A∩B={2},故选B.4.(2021·全国卷Ⅰ)已知集合A={x|x2-2x>0},B={x|-5<x<5},则()A.A∩B=∅B.A∪B=RC.B⊆A D.A⊆B解析:选B由于集合A={x|x>2或x<0},所以A∪B={x|x>2或x<0}∪{x|-5<x<5}=R,故选B.5.(2021·全国卷Ⅱ)已知集合M={x|(x-1)2<4,x∈R},N={-1,0,1,2,3},则M∩N=()A.{0,1,2}B.{-1,0,1,2}C.{-1,0,2,3} D.{0,1,2,3}解析:选A不等式(x-1)2<4等价于-2<x-1<2,得-1<x<3,故集合M={x|-1<x<3},则M∩N ={0,1,2},故选A.[高考达标检测]一、选择题1.(2021·郑州质量猜测)设全集U={x∈N*|x≤4},集合A={1,4},B={2,4},则∁U(A∩B)=() A.{1,2,3}B.{1,2,4}C.{1,3,4} D.{2,3,4}解析:选A由于U={1,2,3,4},A∩B={4},所以∁U(A∩B)={1,2,3},故选A.2.(2021·福州模拟)集合A={-3,-1,2,4},B={x|2x<8},则A∩B=()A.{-3} B.{-1,2}C.{-3,-1,2} D.{-3,-1,2,4}解析:选C由题意知,集合A={-3,-1,2,4},B={x|2x<8}={x|x<3},则A∩B={-3,-1,2},故选C.3.(2021·重庆适应性测试)设全集U=R,集合A=⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x∈R⎪⎪⎪x-1x-2>0,B={x∈R|0<x<2},则(∁U A)∩B=()A.(1,2] B.[1,2)C.(1,2) D.[1,2]解析:选B依题意得∁U A={x|1≤x≤2},(∁U A)∩B={x|1≤x<2}=[1,2),选B.4.(2021·武汉调研)已知集合A={x|-2≤x≤3},B={x|x2+2x-8>0},则A∪B=()A.(-∞,-4)∪[-2,+∞)B.(2,3]C.(-∞,3]∪(4,+∞)D.[-2,2)解析:选A由于B={x|x>2或x<-4},所以A∪B={x|x<-4或x≥-2},故选A.5.(2022·浙江高考)已知集合P={x∈R|1≤x≤3},Q={x∈R|x2≥4},则P∪(∁R Q)=()A.[2,3]B.(-2,3]C.[1,2) D.(-∞,-2]∪[1,+∞)解析:选B∵Q={x∈R|x2≥4},∴∁R Q={x∈R|x2<4}={x∈R|-2<x<2}.∵P={x∈R|1≤x≤3},∴P∪(∁R Q)={x∈R|-2<x≤3}=(-2,3].6.设集合A={-1,0,1},集合B={0,1,2,3},定义A*B={(x,y)|x∈A∩B,y∈A∪B},则A*B中元素的个数是()A.7 B.10C.25D.52解析:选B由于A={-1,0,1},B={0,1,2,3},所以A∩B={0,1},A∪B={-1,0,1,2,3}.由x∈A∩B,可知x可取0,1;由y∈A∪B,可知y可取-1,0,1,2,3.所以元素(x,y)的全部结果如下表所示:所以A*B中的元素共有10个.7.(2021·吉林一模)设集合A={0,1},集合B={x|x>a},若A∩B中只有一个元素,则实数a的取值范围是()A.{a|a<1} B.{a|0≤a<1}C.{a|a≥1} D.{a|a≤1}解析:选B由题意知,集合A={0,1},集合B={x|x>a},画出数轴(图略).若A∩B中只有一个元素,则0≤a<1,故选B.8.设P和Q是两个集合,定义集合P-Q={x|x∈P,且x∉Q},假如P={x|log2x<1},Q={x||x-2|<1},那么P-Q=()A.{x|0<x<1} B.{x|0<x≤1}C.{x|1≤x<2} D.{x|2≤x<3}解析:选B由log2x<1,得0<x<2,所以P={x|0<x<2}.由|x-2|<1,得1<x<3,所以Q={x|1<x<3}.由题意,得P-Q={x|0<x≤1}.二、填空题9.(2021·辽宁师大附中调研)若集合A={x|(a-1)·x2+3x-2=0}有且仅有两个子集,则实数a的值为________.解析:由题意知,集合A有且仅有两个子集,则集合A中只有一个元素.当a-1=0,即a=1时,A=⎩⎨⎧⎭⎬⎫23,满足题意;当a-1≠0,即a≠1时,要使集合A中只有一个元素,需Δ=9+8(a-1)=0,解得a=-18.综上可知,实数a的值为1或-18.答案:1或-1810.(2021·湖南岳阳一中调研)已知集合A={x|x<a},B={x|1<x<2},且A∪(∁R B)=R,则实数a的取值范围是________.解析:由∁R B={x|x≤1或x≥2},且A∪(∁R B)=R,可得a≥2.答案:[2,+∞)11.(2021·贵阳监测)已知全集U={a1,a2,a3,a4},集合A是全集U的恰有两个元素的子集,且满足下列三个条件:①若a 1∈A ,则a 2∈A ;②若a 3∉A ,则a 2∉A ;③若a 3∈A ,则a 4∉A .则集合A =________.(用列举法表示)解析:假设a 1∈A ,则a 2∈A ,由若a 3∉A ,则a 2∉A 可知,a 3∈A ,故假设不成立;假设a 4∈A ,则a 3∉A ,a 2∉A ,a 1∉A ,故假设不成立.故集合A ={a 2,a 3}.答案:{a 2,a 3}12.(2022·北京高考)某网店统计了连续三天售出商品的种类状况:第一天售出19种商品,其次天售出13种商品,第三天售出18种商品;前两天都售出的商品有3种,后两天都售出的商品有4种.则该网店①第一天售出但其次天未售出的商品有________种; ②这三天售出的商品最少有________种.解析:设三天都售出的商品有x 种,第一天售出,其次天未售出,且第三天售出的商品有y 种,则三天售出商品的种类关系如图所示.由图可知:①第一天售出但其次天未售出的商品有19-(3-x )-x =16(种). ②这三天售出的商品有(16-y )+y +x +(3-x )+(6+x )+(4-x )+(14-y )=43-y (种).由于⎩⎪⎨⎪⎧16-y ≥0,y ≥0,14-y ≥0,所以0≤y ≤14.所以(43-y )min =43-14=29. 答案:①16 ②29 三、解答题13.设全集U =R ,A ={x |1≤x ≤3},B ={x |2<x <4},C ={x |a ≤x ≤a +1}. (1)分别求A ∩B ,A ∪(∁U B );(2)若B ∪C =B ,求实数a 的取值范围.解:(1)由题意知,A ∩B ={x |1≤x ≤3}∩{x |2<x <4}={x |2<x ≤3}. 易知∁U B ={x |x ≤2或x ≥4},所以A ∪(∁U B )={x |1≤x ≤3}∪{x |x ≤2或x ≥4}={x |x ≤3或x ≥4}.(2)由B ∪C =B ,可知C ⊆B ,画出数轴(图略),易知2<a <a +1<4,解得2<a <3.故实数a 的取值范围是(2,3). 14.(2021·青岛模拟)若集合M ={x |-3≤x ≤4},集合P ={x |2m -1≤x ≤m +1}.(1)证明M 与P 不行能相等;(2)若集合M 与P 中有一个集合是另一个集合的真子集,求实数m 的取值范围. 解:(1)证明:若M =P ,则-3=2m -1且4=m +1,即m =-1且m =3,不成立. 故M 与P 不行能相等.(2)若PM ,当P ≠∅时,有⎩⎪⎨⎪⎧-3≤2m -1,m +1<4,m +1≥2m -1或⎩⎪⎨⎪⎧-3<2m -1,m +1≤4,m +1≥2m -1,解得-1≤m ≤2;当P =∅时,有2m -1>m +1,解得m >2,即m ≥-1;若MP ,则⎩⎪⎨⎪⎧-3≥2m -1,4<m +1,m +1≥2m -1或⎩⎪⎨⎪⎧-3>2m -1,4≤m +1,m +1≥m -1,无解.综上可知,当有一个集合是另一个集合的真子集时,只能是P M ,此时必有m ≥-1,即实数m 的取值范围为[-1,+∞).第2课命题及其关系__充分条件与必要条件[课前回扣教材] [过双基] 1.命题概念 使用语言、符号或者式子表达的,可以推断真假的陈述句特点 (1)能推断真假;(2)陈述句分类真命题、假命题2.四种命题及其相互关系 (1)四种命题间的相互关系:(2)四种命题中真假性的等价关系:原命题等价于逆否命题,原命题的否命题等价于逆命题.在四种形式的命题中真命题的个数只能是0,2,4.3.充要条件若p ⇒q ,则p 是q 的充分条件,q 是p 的必要条件p 成立的对象的集合为A ,q 成立的对象的集合为Bp 是q 的充分不必要条件p ⇒q 且q ⇒/ pA 是B 的真子集集合与 充要条件p 是q 的必要不充分条件 p ⇒/ q 且q ⇒pB 是A 的真子集p 是q 的充要条件 p ⇔q A =B p 是q 的既不充分也不必要条件P ⇒/ q 且q ⇒/ pA ,B 互不包含[小题速通]1.设m ∈R ,命题“若m >0,则方程x 2+x -m =0有实根”的逆否命题是( ) A .若方程x 2+x -m =0有实根,则m >0 B .若方程x 2+x -m =0有实根,则m ≤0 C .若方程x 2+x -m =0没有实根,则m >0 D .若方程x 2+x -m =0没有实根,则m ≤0解析:选D 命题“若m >0,则方程x 2+x -m =0有实根”的逆否命题是“若方程x 2+x -m =0没有实根,则m ≤0”,故选D.2.原命题为“若z 1,z 2互为共轭复数,则|z 1|=|z 2|”,关于其逆命题,否命题,逆否命题真假性的推断依次如下,正确的是( )A .真,假,真B .假,假,真C .真,真,假D .假,假,假 解析:选B 原命题正确,所以逆否命题正确.模相等的两复数不肯定互为共轭复数,同时由于逆命题与否命题互为逆否命题,所以逆命题和否命题错误.故选B.3.(2022·天津高考)设x >0,y ∈R ,则“x >y ”是“x >|y |”的( )A .充要条件B .充分而不必要条件C .必要而不充分条件D .既不充分也不必要条件解析:选C 当x =1,y =-2时,x >y ,但x >|y |不成立; 若x >|y |,由于|y |≥y ,所以x >y . 所以x >y 是x >|y |的必要而不充分条件.4.(2021·保定调研)在△ABC 中,“A =B ”是“tan A =tan B ”的( ) A .充分不必要条件 B .必要不充分条件 C .充要条件D .既不充分也不必要条件解析:选C 由A =B 得tan A =tan B ,反之,若tan A =tan B ,则A =B +k π,k ∈Z.∵0<A <π,0<B <π,∴A =B .故选C.[清易错]1.易混淆否命题与命题的否定:否命题是既否定条件,又否定结论,而命题的否定是只否定命题的结论. 2.易忽视A 是B 的充分不必要条件(A ⇒B 且B ⇒/ A )与A 的充分不必要条件是B (B ⇒A 且A ⇒/B )两者的不同.1.已知条件p :x +y ≠-2,条件q :x ,y 不都是-1,则p 是q 的( ) A .充分不必要条件 B .必要不充分条件 C .充要条件D .既不充分也不必要条件解析:选A 由于p :x +y ≠-2,q :x ≠-1,或y ≠-1, 所以綈p :x +y =-2,綈q :x =-1,且y =-1,由于綈q ⇒綈p 但綈p ⇒/ 綈q ,所以綈q 是綈p 的充分不必要条件,即p 是q 的充分不必要条件. 2.“在△ABC 中,若∠C =90°,则∠A ,∠B 都是锐角”的否命题为:________________. 解析:原命题的条件:在△ABC 中,∠C =90°, 结论:∠A ,∠B 都是锐角.否命题是否定条件和结论. 即“在△ABC 中,若∠C ≠90°,则∠A ,∠B 不都是锐角”. 答案:在△ABC 中,若∠C ≠90°,则∠A ,∠B 不都是锐角 [课堂争辩高考] [全国卷5年命题分析]考点 考查频度 考查角度 四种命题及其关系 5年1考 复数相关命题的推断充分条件、必要条件未考查命题的相互关系及真假性 [典例] (1)(2021·西安八校联考)已知命题p :“正数a 的平方不等于0”,命题q :“若a 不是正数,则它的平方等于0”,则q 是p 的( )A .逆命题B .否命题C .逆否命题D .否定(2)原命题为“若a n +a n +12<a n ,n ∈N *,则{a n }为递减数列”,关于其逆命题,否命题,逆否命题真假性的推断依次如下,正确的是( )A .真,真,真B .假,假,真C .真,真,假D .假,假,假[解析] (1)命题p :“正数a 的平方不等于0”可写成“若a 是正数,则它的平方不等于0”,从而q 是p 的否命题.(2)原命题即“若a n +1<a n ,n ∈N *,则{a n }为递减数列”为真命题,则其逆否命题为真,逆命题是:“若{a n }为递减数列,n ∈N *,则a n +1<a n ”为真命题,所以否命题也为真命题.[答案] (1)B (2)A [方法技巧]命题的关系及真假推断(1)在推断命题之间的关系时,首先要分清命题的条件与结论,再分析每个命题的条件与结论之间的关系,要留意四种命题关系的相对性.(2)推断命题真假的方法:一是联系已有的数学公式、定理、结论进行正面直接推断;二是利用原命题和其逆否命题的等价关系进行推断.[即时演练]1.(2021·河北承德模拟)已知命题α:假如x <3,那么x <5;命题β:假如x ≥3,那么x ≥5;命题γ:假如x ≥5,那么x ≥3.关于这三个命题之间的关系,下列三种说法正确的是( )①命题α是命题β的否命题,且命题γ是命题β的逆命题; ②命题α是命题β的逆命题,且命题γ是命题β的否命题; ③命题β是命题α的否命题,且命题γ是命题α的逆否命题. A .①③ B .② C .②③D .①②③解析:选A 命题的四种形式,逆命题是把原命题中的条件和结论互换,否命题是把原命题的条件和结论都加以否定,逆否命题是把原命题中的条件与结论先都否定,然后交换条件与结论所得,因此①正确,②错误,③正确,故选A.2.(2021·黄冈调研)给出命题:若函数y =f (x )是幂函数,则函数y =f (x )的图象不过第四象限.在它的逆命题、否命题、逆否命题三个命题中,真命题的个数是( )A .3B .2C .1D .0解析:选C 易知原命题是真命题,则其逆否命题也是真命题,而逆命题、否命题是假命题,故它的逆命题、否命题、逆否命题三个命题中,真命题只有一个.充分、必要条件的判定[典例] (1)(2022·a 和直线b 相交”是“平面α和平面β相交”的( )A .充分不必要条件B .必要不充分条件C .充要条件D .既不充分也不必要条件(2)(2021·浙江名校联考)一次函数y =-m n x +1n 的图象同时经过第一、三、四象限的必要不充分条件是( )A .m >1,且n <1B .mn <0C .m >0,且n <0D .m <0,且n <0[解析] (1)由题意知a ⊂α,b ⊂β,若a ,b 相交,则a ,b 有公共点,从而α,β有公共点,可得出α,β相交;反之,若α,β相交,则a ,b 的位置关系可能为平行、相交或异面.因此“直线a 和直线b 相交”是“平面α和平面β相交”的充分不必要条件.故选A.(2)由于y =-m n x +1n 的图象经过第一、三、四象限,故-m n >0,1n <0,即m >0,n <0,但此为充要条件,因此,其必要不充分条件为mn <0.[答案] (1)A (2)B [方法技巧]充要条件的3种推断方法(1)定义法:直接推断若p 则q ,若q 则p 的真假.(2)等价法:即利用A ⇒B 与綈B ⇒綈A ;B ⇒A 与綈A ⇒綈B ;A ⇔B 与綈B ⇔綈A 的等价关系,对于条件或结论是否定形式的命题,一般运用等价法.(3)利用集合间的包含关系推断:设A ={x |p (x )},B ={x |q (x )}:若A ⊆B ,则p 是q 的充分条件或q 是p 的必要条件;若A B ,则p 是q 的充分不必要条件,若A =B ,则p 是q 的充要条件.[即时演练]1.(2022·四川高考)设p :实数x ,y 满足x >1且y >1,q :实数x ,y 满足x +y >2,则p 是q 的( ) A .充分不必要条件 B .必要不充分条件 C .充要条件D .既不充分也不必要条件解析:选A ∵⎩⎪⎨⎪⎧x >1,y >1,∴x +y >2,即p ⇒q .而当x =0,y =3时,有x +y =3>2,但不满足x >1且y >1,即q ⇒/p .故p 是q 的充分不必要条件.2.(2021·合肥一模)函数f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ,x >0,2x -a ,x ≤0有且只有一个零点的充分不必要条件是( )A .a ≤0或a >1B .0<a <12C.12<a <1 D .a <0解析:选D 由于f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ,x >0,2x-a ,x ≤0有且只有一个零点的充要条件为a ≤0或a >1.由选项可知,使“a ≤0或a >1”成立的充分条件为选项D.依据充分、必要条件求参数的范围依据充分条件、必要条件求参数的范围是对充分条件、必要条件与集合之间关系的深层次考查.此类题的解决方法一般有两种:(1)先求出p ,q 为真命题时所对应的条件,然后表示出綈p 与綈q ,把綈p 是綈q 的必要不充分条件转化为綈p 与綈q 所对应集合之间的关系,列出参数a 所满足的条件求解;(2)利用等价转化法,把綈p ,綈q 的关系转化为p ,q 的关系.[典例] (2021·安徽黄山调研)已知条件p :2x 2-3x +1≤0,条件q :x 2-(2a +1)x +a (a +1)≤0.若綈p 是綈q 的必要不充分条件,则实数a 的取值范围是________.[解析] 由2x 2-3x +1≤0,得12≤x ≤1,∴条件p 对应的集合P =⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪12≤x ≤1. 由x 2-(2a +1)x +a (a +1)≤0,得a ≤x ≤a +1, ∴条件q 对应的集合为Q ={x |a ≤x ≤a +1}. 法一:用“直接法”解题綈p 对应的集合A =⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x >1或x <12, 綈q 对应的集合B ={x |x >a +1或x <a }. ∵綈p 是綈q 的必要不充分条件, ∴a +1≥1且a ≤12,∴0≤a ≤12.即实数a 的取值范围是⎣⎡⎦⎤0,12. 法二:用“等价转化法”解题 ∵綈p 是綈q 的必要不充分条件,∴依据原命题与逆否命题等价,得p 是q 的充分不必要条件. ∴p ⇒q ,即P Q ⇔⎩⎪⎨⎪⎧ a <12,a +1≥1,或⎩⎪⎨⎪⎧a ≤12,a +1>1,解得0≤a ≤12.[答案] ⎣⎡⎦⎤0,12 [方法技巧]依据充要条件求解参数范围的留意点(1)解决此类问题一般是把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系,然后依据集合之间关系列出关于参数的不等式(组)求解.(2)求解参数的取值范围时,肯定要留意区间端点值的检验,尤其是利用两个集合之间的关系求解参数的取值范围时,不等式是否能够取等号打算端点值的取舍,处理不当简洁消灭漏解或增解的现象.[即时演练]1.(2021·安阳调研)已知p :x ∈A ={x |x 2-2x -3≤0,x ∈R},q :x ∈B ={x |x 2-2mx +m 2-4≤0,x ∈R ,m ∈R}.若p 是綈q 的充分条件,则实数m 的取值范围是________.解析:∵A ={x |-1≤x ≤3},B ={x |m -2≤x ≤m +2},∴∁R B ={x |x <m -2或x >m +2}.∵p 是綈q 的充分条件,∴A⊆∁R B,∴m-2>3或m+2<-1,∴m>5或m<-3.答案:(-∞,-3)∪(5,+∞)2.若“x2>1”是“x<a”的必要不充分条件,则a的最大值为________.解析:由x2>1,得x<-1,或x>1,又“x2>1”是“x<a”的必要不充分条件,知由“x<a”可以推出“x2>1”,反之不成立,所以a≤-1,即a的最大值为-1.答案:-11.(2022·北京高考)设a,b是向量,则“|a|=|b|”是“|a+b|=|a-b|”的()A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件解析:选D若|a|=|b|成立,则以a,b为邻边的平行四边形为菱形.a+b,a-b表示的是该菱形的对角线,而菱形的两条对角线长度不肯定相等,所以|a+b|=|a-b|不肯定成立,从而不是充分条件;反之,若|a +b|=|a-b|成立,则以a,b为邻边的平行四边形为矩形,而矩形的邻边长度不肯定相等,所以|a|=|b|不肯定成立,从而不是必要条件.故“|a|=|b|”是“|a+b|=|a-b|”的既不充分也不必要条件.2.(2021·陕西高考)“sin α=cos α”是“cos 2α=0”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件解析:选A cos 2α=0等价于cos2α-sin2α=0,即cos α=±sin α.由cos α=sin α可得到cos 2α=0,反之不成立,故选A.3.(2021·重庆高考)“x>1”是“log12(x+2)<0”的()A.充要条件B.充分而不必要条件C.必要而不充分条件D.既不充分也不必要条件解析:选B∵x>1⇒log12(x+2)<0,log12(x+2)<0⇒x+2>1⇒x>-1,∴“x>1”是“log12(x+2)<0”的充分而不必要条件.4.(2022·全国卷Ⅱ)函数f(x)在x=x0处导数存在.若p:f′(x0)=0;q:x=x0是f(x)的极值点,则()A.p是q的充分必要条件B.p是q的充分条件,但不是q的必要条件C.p是q的必要条件,但不是q的充分条件D.p既不是q的充分条件,也不是q的必要条件解析:选C当f′(x0)=0时,x=x0不肯定是f(x)的极值点,比如,y=x3在x=0时,f′(0)=0,但在x=0的左右两侧f′(x)的符号相同,因而x=0不是y=x3的极值点.由极值的定义知,x=x0是f(x)的极值点必有f′(x0)=0.综上知,p是q的必要条件,但不是充分条件.5.(2021·浙江高考)已知函数f(x)=A cos(ωx+φ)(A>0,ω>0,φ∈R),则“f(x)是奇函数”是“φ=π2”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件解析:选B若f(x)是奇函数,则φ=π2+kπ(k∈Z),且当φ=π2时,f(x)为奇函数,故f(x)是奇函数是φ=π2的必要不充分条件.[高考达标检测]一、选择题1.(2021·菏泽一中模拟)命题“若a2+b2=0,则a=0且b=0”的逆否命题是()A.若a2+b2≠0,则a≠0且b≠0B.若a2+b2≠0,则a≠0或b≠0C.若a=0且b=0,则a2+b2≠0D.若a≠0或b≠0,则a2+b2≠0解析:选D命题的逆否命题是条件和结论对调且都否定,留意“且”应换成“或”.2.在命题“若抛物线y=ax2+bx+c的开口向下,则{x|ax2+bx+c<0}≠∅”的逆命题、否命题、逆否命题中结论成立的是()A.都真B.都假C.否命题真D.逆否命题真解析:选D对于原命题:“若抛物线y=ax2+bx+c的开口向下,则{x|ax2+bx+c<0}≠∅”,这是一个真命题,所以其逆否命题也为真命题;但其逆命题:“若{x|ax2+bx+c<0}≠∅,则抛物线y=ax2+bx+c的开口向下”是一个假命题,由于当不等式ax2+bx+c<0的解集非空时,可以有a>0,即抛物线的开口可以向上,因此否命题也是假命题.故选D.3.(2022·山西太原一模)“已知命题p :cos α≠12,命题q :α≠π3”,则命题p 是命题q 的( )A .充分不必要条件B .必要不充分条件C .充要条件D .既不充分也不必要条件解析:选A 法一:若cos α≠12,则α≠2k π±π3(k ∈Z),则α也必定不等于π3,故p ⇒q ;若α≠π3,但α=-π3时,照旧有cos α=12,故q ⇒/p .所以p 是q 的充分不必要条件. 法二:綈p :cos α=12,綈q :α=π3,则有綈p ⇒/綈q ,綈q ⇒綈p ,即綈q 是綈p 的充分不必要条件,依据原命题与逆否命题的等价性,可得p 是q 的充分不必要条件.4.(2021·烟台诊断)若条件p :|x |≤2,条件q :x ≤a ,且p 是q 的充分不必要条件,则a 的取值范围是( ) A .[2,+∞) B .(-∞,2] C .[-2,+∞)D .(-∞,-2] 解析:选A p :|x |≤2⇔-2≤x ≤2. 由于p 是q 的充分不必要条件, 所以[-2,2]⊆(-∞,a ],即a ≥2.5.(2021·嘉兴质检)命题“对任意x ∈[1,2],x 2-a ≤0”为真命题的一个充分不必要条件可以是( ) A .a ≥4 B .a >4 C .a ≥1D .a >1解析:选B 若“对任意x ∈[1,2],x 2-a ≤0”为真命题,则有a ≥(x 2)max ,其中x ∈[1,2],所以a ≥4,命题成立的一个充分不必要条件即查找[4,+∞)的一个真子集即可,故选B.6.(2021·河南质量检测)设平面α与平面β相交于直线m ,直线a 在平面α内,直线b 在平面β内,且b ⊥m ,则“a ⊥b ”是“α⊥β”的( )A .充分不必要条件B .必要不充分条件 D .充要条件D .既不充分也不必要条件解析:选B 由于α⊥β,b ⊥m ,所以b ⊥α,又直线a 在平面α内,所以a ⊥b ;但直线a ,m 不肯定相交,所以“a ⊥b ”是“α⊥β”的必要不充分条件,故选B.7.假如x ,y 是实数,那么“x ≠y ”是“cos x ≠cos y ”的( ) A .充要条件 B .充分不必要条件 C .必要不充分条件D .既不充分也不必要条件解析:选C 设集合A ={(x ,y )|x ≠y },B ={(x ,y )|cos x ≠cos y },则A 的补集C ={(x ,y )|x =y },B 的补集D ={(x ,y )|cos x =cos y },明显C D ,所以B A .于是“x ≠y ”是“cos x ≠cos y ”的必要不充分条件.8.(2021·南昌调研)下列说法正确的是( )A .命题“若x 2=1,则x =1”的否命题是“若x 2=1,则x ≠1”B .“x =-1”是“x 2-x -2=0”的必要不充分条件C .命题“若x =y ,则sin x =sin y ”的逆否命题是真命题D .“tan x =1”是“x =π4”的充分不必要条件解析:选C 由原命题与否命题的关系知,原命题的否命题是“若x 2≠1,则x ≠1”,即A 不正确;由于x 2-x -2=0,所以x =-1或x =2,所以由“x =-1”能推出“x 2-x -2=0”,反之,由“x 2-x -2=0”推不出“x =-1”,所以“x =-1”是“x 2-x -2=0”的充分不必要条件,即B 不正确;由于由x =y 能推得sin x =sin y ,即原命题是真命题,所以它的逆否命题是真命题,故C 正确;由x =π4能推出tan x =1,但由tan x =1推不出x =π4,所以“tan x =1”是“x =π4”的必要不充分条件,即D 不正确.二、填空题9.“若a ≤b ,则ac 2≤bc 2”,则命题的原命题、逆命题、否命题和逆否命题中真命题的个数是________. 解析:其中原命题和逆否命题为真命题,逆命题和否命题为假命题. 答案:210.(2021·德州一中模拟)下列命题中为真命题的序号是________. ①若x ≠0,则x +1x ≥2;②命题:若x 2=1,则x =1或x =-1的逆否命题为:若x ≠1且x ≠-1,则x 2≠1; ③“a =1”是“直线x -ay =0与直线x +ay =0相互垂直”的充要条件;④命题“若x <-1,则x 2-2x -3>0”的否命题为“若x ≥-1,则x 2-2x -3≤0”.解析:当x <0时,x +1x ≤-2,故①错误;依据逆否命题的定义可知,②正确;“a =±1”是“直线x -ay =0与直线x +ay =0相互垂直”的充要条件,故③错误;依据否命题的定义知④正确.故填②④.答案:②④11.已知集合A =⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪12<2x <8,x ∈R ,B ={x |-1<x <m +1,x ∈R},若x ∈B 成立的一个充分不必要的条件是x ∈A ,则实数m 的取值范围是________.解析:A =⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪12<2x <8,x ∈R ={x |-1<x <3}, ∵x ∈B 成立的一个充分不必要条件是x ∈A , ∴A B ,∴m +1>3,即m >2. 答案:(2,+∞)12.设等比数列{a n }的公比为q ,前n 项和为S n ,则“|q |=1”是“S 4=2S 2”的________条件. 解析:∵等比数列{a n }的前n 项和为S n ,又S 4=2S 2, ∴a 1+a 2+a 3+a 4=2(a 1+a 2),∴a 3+a 4=a 1+a 2, ∴q 2=1⇔|q |=1,∴“|q |=1”是“S 4=2S 2”的充要条件. 答案:充要 三、解答题13.写出命题“已知a ,b ∈R ,若关于x 的不等式x 2+ax +b ≤0有非空解集,则a 2≥4b ”的逆命题、否命题、逆否命题,并推断它们的真假.解:(1)逆命题:已知a ,b ∈R ,若a 2≥4b ,则关于x 的不等式x 2+ax +b ≤0有非空解集,为真命题. (2)否命题:已知a ,b ∈R ,若关于x 的不等式x 2+ax +b ≤0没有非空解集,则a 2<4b ,为真命题. (3)逆否命题:已知a ,b ∈R ,若a 2<4b ,则关于x 的不等式x 2+ax +b ≤0没有非空解集,为真命题.14.已知集合A =⎩⎨⎧⎭⎬⎫y ⎪⎪y =x 2-32x +1,x ∈⎣⎡⎦⎤34,2,B ={x |x +m 2≥1}.若“x ∈A ”是“x ∈B ”的充分条件,求实数m 的取值范围.解:y =x 2-32x +1=⎝⎛⎭⎫x -342+716, ∵x ∈⎣⎡⎦⎤34,2,∴716≤y ≤2, ∴A =⎩⎨⎧⎭⎬⎫y ⎪⎪716≤y ≤2. 由x +m 2≥1,得x ≥1-m 2, ∴B ={x |x ≥1-m 2}.∵“x ∈A ”是“x ∈B ”的充分条件, ∴A ⊆B ,∴1-m 2≤716, 解得m ≥34或m ≤-34,故实数m 的取值范围是⎝⎛⎦⎤-∞,-34∪⎣⎡⎭⎫34,+∞. 第3课简洁的规律联结词、全称量词与存在量词[课前回扣教材] [过双基]1.命题p ∧q ,p ∨q ,綈p 的真假推断p q p ∧q p ∨q 綈p 真 真 真 真 假 真 假 假 真 假 假 真 假 真 真 假假假假真2.全称量词与存在量词量词名称 常见量词符号表示 全称量词 全部、一切、任意、全部、每一个等 ∀ 存在量词存在一个、至少一个、有些、某些等∃3.全称命题和特称命题名称形式全称命题特称命题结构对M 中的任意一个x ,有p (x )成立存在M 中的一个x 0,使p (x 0)成立。
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真题解析:充分性显然成立,必要性不成立,如数列-2,-1,0,1,2,…中a2<|a1|,不满足“an+ 1>|an|(n=1,2,…)”,故选B.
核心规律:(1)关于充分条件、必要条件的判断问题,首先应理解充分条件、必要条件、充要条 件的概念,即若p⇒q,q⇒/ p,则p是q的充分不必要条件;若p⇒/ q,q⇒p,则p是q的必要不充 分条件;若p⇒q,q⇒p,则p是q的充要条件. (2)解题中可运用集合的观点来理解充分、必要条件. (3)进行判断推理时,可充分利用反例、特值的方法.
1.(2010年高考山东卷,理1)已知全集U=R,集合M={x||x-1|≤2},则∁UM等于( C ) (A){x|-1<x<3} (B){x|-1≤x≤3} (C){x|x<-1或x>3} (D){x|x≤-1或x≥3}
解析:∵U=R,
M={x||x-1|≤2}={x|-1≤x≤3},
∴∁UM={x|x<-1或x>3},
【真题2】 (2010年高考陕西卷,理9)对于数列{an},“an+1>|an|(n=1,2,…)”是“{an}为递增数列” 的( ) (A)必要不充分条件 (B)充分不必要条件 (C)充要条件 (D)既不充分也不必要条件
追本溯源:人教 A 版选修 21 第 12 页第 3 题: 下列各题中,p 是 q 的什么条件? (1)p:x=1,q:x-1= x-1; (2)p:|x-2|≤3,q:-1≤x≤5; (3)p:x=2,q:x-3= 3-x; (4)p:三角形是等边三角形,q:三角形是等腰三角形.
核心规律:(1)要判断一个全称命题是真命题,必须对限定的集合M中的每一个元素x,验证p(x)成 立,如果在集合M中找到一个元素x0,使p(x0)不成立,那么这个全称命题就是假命题. (2)要判断一个特称命题是真命题,只要在限定的集合M中,至少能找到一个x=x0,使p(x0)成立即 可.
第一篇 检测试题 (时间:120分钟 满分:150分)
x,不一定得到
xsin
x<1,反之,
当 xsin x<1 时,xsin2x<sin x<1.所以,xsin2x<1 是 xsin x<1 的必要而不充分条件.故选 B.
3.(2009 年高考辽宁卷,文 6)下列 4 个命题: p1:∃x∈(0,+∞),(12)x<(13)x p2:∃x∈(0,1),log12x>log13x p3:∀x∈(0,+∞),(12)x>log12x p4:∀x∈(0,13),(12)x<log13x 其中的真命题是( D ) (A)p1,p3 (B)p1,p4 (C)p2,p3 (D)p2,p4
【真题3】 (2010年高考辽宁卷,文4)已知a>0,函数f(x)=ax2+bx+c,若x0满足关于x的方程2ax+b =0,则下列选项的命题中为假命题的是( ) (A)∃x∈R,f(x)≤f(x0) (B)∃x∈R,f(x)≥f(x0) (C)∀x∈R,f(x)≤f(x0) (D)∀x∈R,f(x)≥f(x0)
故选 D.
【真题1】 (2010年高考陕西卷,理1)集合A={x|-1≤x≤2},B={x|x<1},则A∩(∁RB)等于( ) (A){x|x>1} (B){x|x≥1} (C){x|1<x≤2} (D){x|1≤x≤2}
追本溯源:人教A版必修1P12第10题:已知集合A={x|3≤x<7},B={x|2<x<10},求∁R(A∪B), ∁R(A∩B),(∁RA)∩B,A∪(∁RB).
真题解析:∁RB={x|x≥1},A∩(∁RB)={x|-1≤x≤2}∩{x|x≥1}={x|1≤x≤2},故选D.
核心规律:(1)当所给集合的元素不是最简形式时,应先化简集合,如解方程、解不等式等.(2) 进行交、并、补集运算时,主要依据它们的定义,必要时可借助于数轴或韦恩(Venn)图,帮助 我们直观求解.
故选C.
2.(2010 年高考浙江卷,理 4)设 0<x<π2,则“xsin2x<1”是“xsin x<1”的( B ) (A)充分而不必要条件 (B)必要而不充分条件 (C)充分必要条件 (D)既不充分也不必要条in
x<1,由
xsin2x<1
知,xsin
1 x<sin
【选题明细表】
知识点、方法 集合的概念 集合间的关系 集合的运算 四种命题及关系 充分必要条件 逻辑联结词
综合
题号 6、13、16 4、18、22 1、2、9、12
追本溯源:人教A版选修21第25页例5: 写出下列命题的否定,并判断它们的真假: (1)p:任意两个等边三角形都是相似的; (2)p:∃x0∈R,x02+2x0+2=0.
真题解析:∵x0满足方程2ax+b=0, ∴2ax0+b=0,x0=-, f(x)-f(x0)=ax2+bx+c-(ax02+bx0+c) =ax2+bx-(ax02+bx0), Δ=b2+4a(ax02+bx0) =b2+4a2·+4ab(-)=0, ∵a>0, ∴f(x)≥f(x0)对∀x∈R恒成立,所以假命题为C. 故选C.
解析:对于 p1,当 x>0 时,总有(12)x>(13)x 成立,所以 p1 是假命题;对于 p2,当 x=12时, log12x=log1212=log1313>log1312=log13x 成立,所以 p2 是真命题;对于 p3,结合指数函数 y=(12)x 与对数函数 y=log12x 在(0,+∞)上的图象可知,p3 为假命题;对于 p4,结合指数函数 y=(12)x 与对数函数 y=log13x 在(0,13)上的图象可以判断其是真命题,
篇末总结
(对应学生用书第 8 页)
集合与常用逻辑用语是高中数学的基础知识,也是每年高考必考内容,题量一般为 2~3道,多以选择题或填空题的形式出现,难度不大,重点考查集合的基本运算(如 2010年高考山东卷,理1),充要条件的判断(如2010年高考浙江卷,理4)和命题真假判断 (如2009年高考辽宁卷,文6).题目内容和思想方法可涉及或渗透到高中数学的各个章 节.