高中数学空间向量及其运算题库

§3.1 空间向量及其运算 3.1.1 空间向量的线性运算

学习目标 1.了解空间向量、向量的模、零向量、相反向量、相等向量、共线向量等的概念.2.会用平行四边形法则、三角形法则作出向量的和与差，了解向量加法的交换律和结合律.3.掌握数乘向量运算的意义及运算律．

知识点一 空间向量的概念

1．在空间中，把具有大小和方向的量叫做空间向量，向量的大小叫做向量的长度或模． 空间向量也用有向线段表示，有向线段的长度表示向量的模，向量a 的起点是A ，终点是B ，则向量a 也可记作AB →，其模记为|a |或|AB →|. 2．几类特殊的空间向量

名称 定义及表示

零向量 起点与终点重合的向量叫做零向量，记为0

单位向量 模为1的向量称为单位向量

相反向量 与向量a 长度相等而方向相反的向量，称为a 的相反向量，记为－a 相等向量 方向相同且模相等的向量称为相等向量，同向且等长的有向线段表示同一向量或相等向量

共线向量或平行向量 有向线段所在的直线叫做向量的基线．如果空间中一些向量的基线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行向量

知识点二 空间向量的加减运算及运算律

1．类似于平面向量，可以定义空间向量的加法和减法运算．

OB →＝OA →＋AB →

＝a ＋b ， CA →＝OA →－OC →

＝a －b . 2．空间向量加法交换律 a ＋b ＝b ＋a ， 空间向量加法结合律 (a ＋b )＋c ＝a ＋(b ＋c )． 知识点三 数乘向量运算 1．实数与向量的积

与平面向量一样，实数λ与空间向量a 的乘积λa 仍然是一个向量，称为向量的数乘运算，记作λa ，其长度和方向规定如下： (1)|λa |＝|λ||a |.

(2)当λ>0时，λa 与向量a 方向相同；当λ<0时，λa 与向量a 方向相反；当λ＝0时，λa ＝0. 2．空间向量数乘运算满足以下运算律 (1)λ(μa )＝(λμ)a ； (2)λ(a ＋b )＝λa ＋λb .

1．若表示两个相等空间向量的有向线段的起点相同，则终点也相同．( √ ) 2．零向量没有方向．( × )

3．两个有公共终点的向量，一定是共线向量．( × )

4．空间向量的数乘中λ只决定向量的大小，不决定向量的方向．( × )

题型一 空间向量的概念理解

例1 (1)下列关于空间向量的说法中正确的是( ) A ．空间向量不满足加法结合律

B ．若|a |＝|b |，则a ，b 的长度相等而方向相同或相反

C ．若向量AB →，C

D →满足|AB →|＞|CD →|，则AB →＞CD →

D ．相等向量其方向必相同

考点 空间向量的相关概念及其表示方法

题点 相等、相反向量 答案 D

解析 A 中，空间向量满足加法结合律；B 中，|a |＝|b |只能说明a ，b 的长度相等而方向不确定；C 中，向量作为矢量不能比较大小，故选D. (2)给出以下结论：

①两个空间向量相等，则它们的起点和终点分别相同； ②在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，必有AC →＝A 1C 1→

；

③若空间向量m ，n ，p 满足m ＝n ，n ＝p ，则m ＝p .其中不正确的个数是( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 答案 B

解析 两个空间向量相等，它们的起点、终点不一定相同，故①不正确；在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，必有AC →＝A 1C 1→

成立，故②正确；③显然正确．故选B.

反思感悟 在空间中，向量、向量的模、相等向量的概念和平面中向量的相关概念完全一致，两向量相等的充要条件是两个向量的方向相同、模相等．两向量互为相反向量的充要条件是大小相等，方向相反．

跟踪训练1 (1)在平行六面体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，下列四对向量：①AB →与C 1D 1——→；②AC 1→

与BD 1→；③AD 1→与C 1B →；④A 1D →与B 1C →

.其中互为相反向量的有n 对，则n 等于( )

A ．1

B ．2

C ．3

D ．4

答案 B

解析 对于①AB →与C 1D 1→，③AD 1→与C 1B →长度相等，方向相反，互为相反向量；对于②AC 1→与BD 1→

长度相等，方向不相反；对于④A 1D →与B 1C →

长度相等，方向相同．故互为相反向量的有2对． (2)如图，在长方体ABCD －A ′B ′C ′D ′中，AB ＝3，AD ＝2，AA ′＝1，则分别以长方体的顶点为起点和终点的向量中：

①单位向量共有多少个？ ②试写出模为5的所有向量． ③试写出与向量AB →

相等的所有向量． ④试写出向量AA ′→

的所有相反向量．

解 ①由于长方体的高为1，所以长方体的四条高所对应的向量AA ′—→，A ′A —→，BB ′—→，B ′B —→

，CC ′—→，C ′C —→，DD ′—→，D ′D —→

，共8个向量都是单位向量，而其他向量的模均不为1，故单位向量共有8个．

②由于长方体的左右两侧面的对角线长均为5，故模为5的向量有AD ′—→，D ′A —→，A ′D —→

，DA ′—→，BC ′—→，C ′B —→，B ′C —→，CB ′—→.

③与向量AB →相等的所有向量(除它自身之外)有A ′B ′—→，DC →及D ′C ′——→

. ④向量AA ′—→的相反向量有A ′A —→，B ′B —→，C ′C —→，D ′D —→

. 题型二 空间向量的加减运算

例2 如图，已知长方体ABCD -A ′B ′C ′D ′，化简下列向量表达式，并在图中标出化简结果的向量．

(1)AA ′—→－CB →； (2)AA ′—→＋AB →＋B ′C ′——→.

解 (1)AA ′—→－CB →＝AA ′—→－DA →＝AA ′—→＋AD →＝AD ′—→

.

(2)AA ′—→＋AB →＋B ′C ′——→＝(AA ′—→＋AB →)＋B ′C ′——→＝AB ′—→＋B ′C ′——→＝AC ′—→. 向量AD ′—→，AC ′—→

如图所示．