高中数学空间向量及其运算题库

§3.1 空间向量及其运算 3.1.1 空间向量的线性运算
学习目标 1.了解空间向量、向量的模、零向量、相反向量、相等向量、共线向量等的概念.2.会用平行四边形法则、三角形法则作出向量的和与差，了解向量加法的交换律和结合律.3.掌握数乘向量运算的意义及运算律．
知识点一 空间向量的概念
1．在空间中，把具有大小和方向的量叫做空间向量，向量的大小叫做向量的长度或模． 空间向量也用有向线段表示，有向线段的长度表示向量的模，向量a 的起点是A ，终点是B ，则向量a 也可记作AB →，其模记为|a |或|AB →|. 2．几类特殊的空间向量
名称 定义及表示
零向量 起点与终点重合的向量叫做零向量，记为0
单位向量 模为1的向量称为单位向量
相反向量 与向量a 长度相等而方向相反的向量，称为a 的相反向量，记为－a 相等向量 方向相同且模相等的向量称为相等向量，同向且等长的有向线段表示同一向量或相等向量
共线向量或平行向量 有向线段所在的直线叫做向量的基线．如果空间中一些向量的基线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行向量
知识点二 空间向量的加减运算及运算律
1．类似于平面向量，可以定义空间向量的加法和减法运算．
OB →＝OA →＋AB →
＝a ＋b ， CA →＝OA →－OC →
＝a －b . 2．空间向量加法交换律 a ＋b ＝b ＋a ， 空间向量加法结合律 (a ＋b )＋c ＝a ＋(b ＋c )． 知识点三 数乘向量运算 1．实数与向量的积
与平面向量一样，实数λ与空间向量a 的乘积λa 仍然是一个向量，称为向量的数乘运算，记作λa ，其长度和方向规定如下： (1)|λa |＝|λ||a |.
(2)当λ>0时，λa 与向量a 方向相同；当λ<0时，λa 与向量a 方向相反；当λ＝0时，λa ＝0. 2．空间向量数乘运算满足以下运算律 (1)λ(μa )＝(λμ)a ； (2)λ(a ＋b )＝λa ＋λb .
1．若表示两个相等空间向量的有向线段的起点相同，则终点也相同．( √ ) 2．零向量没有方向．( × )
3．两个有公共终点的向量，一定是共线向量．( × )
4．空间向量的数乘中λ只决定向量的大小，不决定向量的方向．( × )
题型一 空间向量的概念理解
例1 (1)下列关于空间向量的说法中正确的是( ) A ．空间向量不满足加法结合律
B ．若|a |＝|b |，则a ，b 的长度相等而方向相同或相反
C ．若向量AB →，C
D →满足|AB →|＞|CD →|，则AB →＞CD →
D ．相等向量其方向必相同
考点 空间向量的相关概念及其表示方法
题点 相等、相反向量 答案 D
解析 A 中，空间向量满足加法结合律；B 中，|a |＝|b |只能说明a ，b 的长度相等而方向不确定；C 中，向量作为矢量不能比较大小，故选D. (2)给出以下结论：
①两个空间向量相等，则它们的起点和终点分别相同； ②在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，必有AC →＝A 1C 1→
；
③若空间向量m ，n ，p 满足m ＝n ，n ＝p ，则m ＝p .其中不正确的个数是( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 答案 B
解析 两个空间向量相等，它们的起点、终点不一定相同，故①不正确；在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，必有AC →＝A 1C 1→
成立，故②正确；③显然正确．故选B.
反思感悟 在空间中，向量、向量的模、相等向量的概念和平面中向量的相关概念完全一致，两向量相等的充要条件是两个向量的方向相同、模相等．两向量互为相反向量的充要条件是大小相等，方向相反．
跟踪训练1 (1)在平行六面体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，下列四对向量：①AB →与C 1D 1——→；②AC 1→
与BD 1→；③AD 1→与C 1B →；④A 1D →与B 1C →
.其中互为相反向量的有n 对，则n 等于( )
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
答案 B
解析 对于①AB →与C 1D 1→，③AD 1→与C 1B →长度相等，方向相反，互为相反向量；对于②AC 1→与BD 1→
长度相等，方向不相反；对于④A 1D →与B 1C →
长度相等，方向相同．故互为相反向量的有2对． (2)如图，在长方体ABCD －A ′B ′C ′D ′中，AB ＝3，AD ＝2，AA ′＝1，则分别以长方体的顶点为起点和终点的向量中：
①单位向量共有多少个？ ②试写出模为5的所有向量． ③试写出与向量AB →
相等的所有向量． ④试写出向量AA ′→
的所有相反向量．
解 ①由于长方体的高为1，所以长方体的四条高所对应的向量AA ′—→，A ′A —→，BB ′—→，B ′B —→
，CC ′—→，C ′C —→，DD ′—→，D ′D —→
，共8个向量都是单位向量，而其他向量的模均不为1，故单位向量共有8个．
②由于长方体的左右两侧面的对角线长均为5，故模为5的向量有AD ′—→，D ′A —→，A ′D —→
，DA ′—→，BC ′—→，C ′B —→，B ′C —→，CB ′—→.
③与向量AB →相等的所有向量(除它自身之外)有A ′B ′—→，DC →及D ′C ′——→
. ④向量AA ′—→的相反向量有A ′A —→，B ′B —→，C ′C —→，D ′D —→
. 题型二 空间向量的加减运算
例2 如图，已知长方体ABCD -A ′B ′C ′D ′，化简下列向量表达式，并在图中标出化简结果的向量．
(1)AA ′—→－CB →； (2)AA ′—→＋AB →＋B ′C ′——→.
解 (1)AA ′—→－CB →＝AA ′—→－DA →＝AA ′—→＋AD →＝AD ′—→
.
(2)AA ′—→＋AB →＋B ′C ′——→＝(AA ′—→＋AB →)＋B ′C ′——→＝AB ′—→＋B ′C ′——→＝AC ′—→. 向量AD ′—→，AC ′—→
如图所示．
引申探究
利用本例题图，化简AA ′—→＋A ′B ′——→＋B ′C ′——→＋C ′A —→
. 解 结合加法运算
AA ′—→＋A ′B ′——→＝AB ′—→，AB ′—→＋B ′C ′——→＝AC ′—→，AC ′—→＋C ′A —→
＝0. 故AA ′—→＋A ′B ′——→＋B ′C ′——→＋C ′A —→
＝0.
反思感悟 空间向量加法、减法运算的两个技巧
(1)巧用相反向量：向量加减法的三角形法则是解决空间向量加法、减法运算的关键，灵活应用相反向量可使向量间首尾相接．
(2)巧用平移：利用三角形法则和平行四边形法则进行向量的加法运算时，务必要注意和向量、差向量的方向，必要时可采用空间向量的自由平移获得更准确的结果． 跟踪训练2 在如图所示的平行六面体中，求证：AC →＋AB ′—→＋AD ′→＝2AC ′—→.
证明 ∵平行六面体的六个面均为平行四边形，
∴AC →＝AB →＋AD →，AB ′—→＝AB →＋AA ′—→，AD ′—→＝AD →＋AA ′—→， ∴AC →＋AB ′—→＋AD ′—→
＝(AB →＋AD →)＋(AB →＋AA ′—→)＋(AD →＋AA ′—→) ＝2(AB →＋AD →＋AA ′—→)． 又∵AA ′—→＝CC ′—→，AD →＝BC →， ∴AB →＋AD →＋AA ′—→＝AB →＋BC →＋CC ′—→ ＝AC →＋CC ′—→＝AC ′—→.
∴AC →＋AB ′—→＋AD ′—→＝2AC ′—→. 题型三 数乘向量运算
例3 如图所示，在平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，设AA 1→＝a ，AB →＝b ，AD →
＝c ，M ，N ，P 分别是AA 1，BC ，C 1D 1的中点，试用a ，b ，c 表示以下各向量：
(1)AP →；(2)A 1N →；(3)MP →＋NC 1→. 解 (1)AP →＝AD 1→＋D 1P →
＝(AA 1→＋AD →
)＋12AB →
＝a ＋c ＋1
2b .
(2)A 1N →＝A 1A →＋AN → ＝－AA 1→＋AB →＋12AD →
＝－a ＋b ＋1
2
c .
(3)MP →＋NC 1→＝(MA 1→＋A 1D 1→＋D 1P →)＋(NC →＋CC 1→) ＝12AA 1→＋AD →＋12AB →＋12AD →＋AA 1→ ＝32AA 1→＋32AD →＋12AB → ＝32a ＋12b ＋32c . 引申探究
若把本例中“P 是C 1D 1的中点”改为“P 在线段C 1D 1上，且C 1P PD 1＝1
2”，其他条件不变，如
何表示AP →
？
解 AP →＝AD 1→＋D 1P →＝AA 1→＋AD →＋23AB →
＝a ＋c ＋23b .
反思感悟 利用数乘运算进行向量表示的技巧
(1)数形结合：利用数乘运算解题时，要结合具体图形，利用三角形法则、平行四边形法则，将目标向量转化为已知向量．
(2)明确目标：在化简过程中要有目标意识，巧妙运用中点性质．
跟踪训练3 如图，在空间四边形OABC 中，M ，N 分别是对边OA ，BC 的中点，点G 在MN 上，且MG ＝2GN ，如图所示，记OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，试用向量a ，b ，c 表示向量OG →
.
解 OG →＝OM →＋MG →＝OM →＋23MN →＝12OA →＋23(MO →＋OC →＋CN →)＝12a ＋23[－1
2a ＋c ＋12(b －c )]
＝16a ＋13b ＋1
3
c .
对空间向量的有关概念理解不清致误
典例 下列说法中，错误的个数为( )
①若两个空间向量相等，则表示它们有向线段的起点相同，终点也相同； ②若向量AB →，CD →满足|AB →|＝|CD →|，AB →与CD →同向，则AB →>CD →
；
③若两个非零向量AB →，CD →满足AB →＋CD →＝0，则AB →，CD →
互为相反向量； ④AB →＝CD →
的充要条件是A 与C 重合，B 与D 重合． A ．1 B ．2 C ．3 D ．4
考点 空间向量的相关概念及其表示方法 题点 相等、相反向量 答案 C
解析 ①错误，两个空间向量相等，其模相等且方向相同，但与起点和终点的位置无关． ②错误，向量的模可以比较大小，但向量不能比较大小．
③正确，由AB →＋CD →＝0，得AB →＝－CD →，所以AB →，CD →
互为相反向量．
④错误，AB →＝CD →的充要条件是|AB →|＝|CD →|，且AB →，CD →
同向．但A 与C ，B 与D 不一定重合． 故一共有3个错误命题，正确答案为C.
[素养评析] (1)掌握空间向量的相关概念是正确解答本题的关键． (2)准确把握推理的形式和规则，有利于培养学生的合乎逻辑的思维品质.
1．下列命题中，假命题是( )
A ．同平面向量一样，任意两个空间向量都不能比较大小
B ．两个相等的向量，若起点相同，则终点也相同
C ．只有零向量的模等于0
D ．空间中任意两个单位向量必相等 答案 D
2．在平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，与向量AD →
相等的向量共有( ) A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 答案 C
解析 与AD →相等的向量有A 1D 1→，BC →，B 1C 1→
，共3个．
3．向量a ，b 互为相反向量，已知|b |＝3，则下列结论正确的是( ) A ．a ＝b
B ．a ＋b 为实数0
C ．a 与b 方向相同
D ．|a |＝3
答案 D
解析 向量a ，b 互为相反向量，则a ，b 模相等、方向相反．故D 正确．
4．已知空间四边形ABCD ，连接AC ，BD ，设M ，G 分别是BC ，CD 的中点，则MG →－AB →
＋AD →
等于( )
A.32DB → B ．3MG → C ．3GM → D ．2MG → 答案 B
解析 MG →－AB →＋AD →＝MG →－(AB →－AD →)＝MG →－DB →＝MG →＋2MG →＝3MG →
. 5．在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，已知下列各式：
①(AB →＋BC →)＋CC 1→；②(AA 1→＋A 1D 1—→)＋D 1C 1→；③(AB →＋BB 1→)＋B 1C 1；④(AA 1→＋A 1B 1—→)＋B 1C 1—→
.其中运算的结果为AC 1→
的有________个． 答案 4
解析 根据空间向量的加法运算以及正方体的性质逐一进行判断：①(AB →＋BC →)＋CC 1→＝AC →
＋
CC 1→＝AC 1→；
②(AA 1→＋A 1D 1—→)＋D 1C 1→＝AD 1→＋D 1C 1—→＝AC 1→； ③(AB →＋BB 1→)＋B 1C 1—→＝AB 1→＋B 1C 1—→＝AC 1→； ④(AA 1→＋A 1B 1—→)＋B 1C 1—→＝AB 1→＋B 1C 1—→＝AC 1→. 所以4个式子的运算结果都是AC 1→
.
1．一些特殊向量的特性
(1)零向量不是没有方向，而是它的方向是任意的． (2)单位向量方向虽然不一定相同，但它们的长度都是1.
(3)两个向量模相等，不一定是相等向量，反之，若两个向量相等，则它们不仅模相等，方向也相同．若两个向量模相等，方向相反，则它们为相反向量． 2．空间向量加法、减法运算的两个技巧
(1)巧用相反向量：向量减法的三角形法则是解决空间向量加法、减法的关键，灵活运用相反向量可使向量首尾相接．
(2)巧用平移：利用三角形法则和平行四边形法则进行向量加、减法运算时，务必注意和向量、差向量的方向，必要时可采用空间向量的自由平移获得运算结果.
一、选择题
1．下列命题中为真命题的是( ) A ．向量AB →与BA →
的长度相等
B ．将空间中所有的单位向量移到同一个起点，则它们的终点构成一个圆
C ．空间向量就是空间中的一条有向线段
D ．不相等的两个空间向量的模必不相等 考点 空间向量的相关概念及其表示方法
题点 相等、相反向量 答案 A
解析 对于选项B ，其终点构成一个球面；对于选项C ，零向量不能用有向线段表示；对于选项D ，向量a 与向量b 不相等，未必它们的模不相等，故选A. 2．已知空间四边形ABCD ，连接AC ，BD ，则AB →＋BC →＋CD →
为( ) A.AD → B.BD → C.AC →
D ．0 答案 A
解析 AB →＋BC →＋CD →＝AC →＋CD →＝AD →
.
3．如图所示，点D 是空间四边形OABC 的边BC 的中点，OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，则AD →
为( )
A.1
2
(a ＋b )－c B.1
2
(c ＋a )－b C.1
2(b ＋c )－a D ．a ＋1
2
(b ＋c )
答案 C
解析 AD →＝AO →＋OD →
＝－OA →＋12(OB →＋OC →)
＝－a ＋1
2
(b ＋c )．
4．在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，向量表达式DD 1→－AB →＋BC →
化简后的结果是( ) A.BD 1→ B.D 1B → C.B 1D → D.DB 1→ 答案 A
解析 如图所示，∵DD 1→＝AA 1→，DD 1→－AB →＝AA 1→－AB →＝BA 1→，BA 1→＋BC →＝BD 1→，∴DD 1→－AB →
＋BC →＝BD 1→.
5.在空间平移△ABC 到△A ′B ′C ′，连接对应顶点，设AA ′→＝a ，AB →＝b ，AC →
＝c ，M 是BC ′的中点，N 是B ′C ′的中点，如图所示，用向量a ，b ，c 表示向量MN →
等于( )
A.a ＋12b ＋12c
B.12a ＋12b ＋12c C ．a ＋1
2b
D.12a 答案 D
解析 MN →＝12BB ′—→＝12AA ′—→＝1
2
a .
6.如图，在四棱柱的上底面ABCD 中，AB →＝DC →
，则下列向量相等的是( )
A.AD →与CB →
B.OA →与OC →
C.AC →与DB →
D.DO →与OB →
答案 D
解析 ∵AB →＝DC →，∴|AB →|＝|DC →
|，AB ∥DC ，即四边形ABCD 为平行四边形，由平行四边形的性质知，DO →＝OB →
.
7.如图，在平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M 为AC 与BD 的交点，若A 1B 1—→＝a ，A 1D 1—→
＝b ，
A 1A →＝c ，则下列向量中与
B 1M →
相等的向量是( )
A ．－12a ＋1
2b ＋c
B.12a ＋1
2b ＋c C.12a －1
2b ＋c D ．－12a －1
2b ＋c
答案 A
解析 B 1M →＝B 1B →＋BM →
＝A 1A →＋12
(BA →＋BC →)
＝c ＋12(－a ＋b )＝－12a ＋1
2
b ＋
c .
8．P 为正六边形ABCDEF 所在平面外一点，O 为正六边形ABCDEF 的中心，则P A →＋PB →＋PC →＋PD →＋PE →＋PF →
等于( )
A ．2PO →
B ．4PO →
C ．6PO →
D ．12PO → 答案 C
解析 由O 是正六边形ABCDEF 的中心，得OA →＋OD →＝0，OB →＋OE →＝0，OC →＋OF →＝0，∴P A →
＋PB →＋PC →＋PD →＋PE →＋PF →＝PO →＋OA →＋PO →＋OB →＋PO →＋OC →＋PO →＋OD →＋PO →＋OE →＋PO →＋OF →＝6PO →. 二、填空题
9．已知向量a ，b ，c 互相平行，其中a ，c 同向，a ，b 反向，|a |＝3，|b |＝2，|c |＝1，则|a ＋b ＋c |＝________.
考点 空间向量的加减运算 题点 空间向量的加减运算的应用 答案 2
10．在直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，若C A →＝a ，C B →＝b ，CC 1→＝c ，则A 1B →
＝________.
答案 －a ＋b －c 解析 如图，
A 1
B →＝A 1A →＋AB → ＝
C 1C →＋(CB →－CA →) ＝－CC 1→＋CB →－CA → ＝－c ＋b －a .
11．给出下列几个命题：
①方向相反的两个向量是相反向量； ②若|a |＝|b |，则a ＝b 或a ＝－b ；
③对于任意向量a ，b ，必有|a ＋b |≤|a |＋|b |. 其中正确命题的序号为________． 考点 空间向量的相关概念及其表示方法 题点 空间向量的定义与模 答案 ③
解析 对于①，长度相等且方向相反的两个向量是相反向量，故①错误；对于②，若|a |＝|b |，则a 与b 的长度相等，但方向没有任何联系，故不正确；只有③正确． 三、解答题
12.如图所示，在平行六面体ABCD －A ′B ′C ′D ′中，化简下列表达式．
(1)AB →＋BC →； (2)AB →＋AD →＋AA ′—→；
(3)AB →＋CB →＋AA ′—→； (4)AC ′—→＋D ′B —→－DC →. 解 (1)AB →＋BC →＝AC →
.
(2)AB →＋AD →＋AA ′—→＝AC →＋AA ′—→ ＝AC ′—→.
(3)AB →＋CB →＋AA ′—→＝AB →＋DA →＋BB ′—→＝DB ′—→.
(4)AC ′—→＋D ′B —→－DC →＝(AB →＋BC →＋CC ′—→)＋(DA →＋DC →＋C ′C —→)－DC →＝DC →.
13.如图所示，在三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，M 是BB 1的中点．化简下列各式，并在图中标出化简得到的向量：
(1)CB →＋BA 1→； (2)AC →＋CB →＋12AA 1→；
(3)AA 1→－AC →－CB →. 解 (1)CB →＋BA 1→＝CA 1→
. (2)因为M 是BB 1的中点， 所以BM →＝12BB 1→.
又AA 1→＝BB 1→，
所以AC →＋CB →＋12
AA 1→＝AB →＋BM →＝AM →.
(3)AA 1→－AC →－CB →＝CA 1→－CB →＝BA 1→.向量CA 1→，AM →，BA 1→
如图所示．
14．已知正方体ABCD －A ′B ′C ′D ′的中心为O ，则在下列各结论中正确的共有( ) ①OA →＋OD →与OB ′—→＋OC ′—→
是一对相反向量； ②OB →－OC →与OA ′—→－OD ′—→
是一对相反向量；
③OA →＋OB →＋OC →＋OD →与OA ′—→＋OB ′—→＋OC ′—→＋OD ′—→
是一对相反向量； ④OA ′—→－OA →与OC →－OC ′—→
是一对相反相量． A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 考点 空间向量的相关概念及其表示方法 题点 相等、相反向量 答案 C
解析 如图所示，①OA →＝－OC ′—→，OD →＝－OB ′—→
，
所以OA →＋OD →＝－(OB ′—→＋OC ′—→
)，是一对相反向量；
②OB →－OC →＝CB →，OA ′—→－OD ′—→＝D ′A ′——→，而CB →＝D ′A ′——→
，故不是相反向量； ③同①，也是正确的；
④OA ′—→－OA →＝AA ′—→，OC →－OC ′—→＝C ′C —→＝－AA ′—→
，是一对相反向量． 15.如图所示，在正六棱柱ABCDEF －A 1B 1C 1D 1E 1F 1中．
(1)化简A 1F 1—→－EF →－BA →＋FF 1→＋CD →＋F 1A 1—→
，并在图中标出表示化简结果的向量； (2)化简DE →＋E 1F 1→＋FD →＋BB 1→＋A 1E 1→
，并在图中标出表示化简结果的向量． 考点 空间向量的加减运算 题点 空间向量的加减运算
解 (1)A 1F 1—→－EF →－BA →＋FF 1→＋CD →＋F 1A 1—→＝AF →＋FE →＋AB →＋BB 1→＋CD →＋DC →＝AE →＋AB 1→
＋0＝AE →＋ED 1→＝AD 1→. AD 1→
在图中表示如下：
(2)DE →＋E 1F 1→＋FD →＋BB 1→＋A 1E 1—→＝DE →＋EF →＋FD →＋BB 1→＋B 1D 1→＝DF →＋FD →＋BD 1→＝0＋BD 1→＝BD 1→.
BD 1→
在图中表示如下：。