概率统计第五章随机变量序列的极限
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概率统计第五章随机变量序列的极 限
一 大数定律
依概率收敛的定义 独立同分布情形下的大数定律
依概率收敛
定义：设 X1, X 2, 是一个随机变量序列。
如果存在一个常数 c ，使得对任意一个 0 ，
总有
lim P
n
Xn c
1，
那么称序列Xn,i 1, 2, 依概率收敛于 c ，
记作
Xn
p c
。（或
lim
n
P
Xn c
0）
考察频率的稳定性：
在 n 重贝努利试验中，设事件 A 发生了
NA 次，则 NA Bn, p ，其中 p P A 。
那么事件 A 发生的频率为
fn
A
NA n
，而且 NA n
p p 。
独立同分布情形下的大数定律
定理 5.3 设 X1, X 2, , X n , 独立同分布，
且 E X1 ， D X1 2 ，那么
X
1 n
n i 1
Xi
p
。
因 为 EX ， 极 限 也 可 表 为 X p E X 。
（也即 lim P X 0 ） n
例1． 设 X1, X 2, , X n , 独立同分布，
（1）若 X1 B1, p ；（2） X1 N , 2 。
问 X 依概率收敛于什么值？
例2． 频率的稳定性：在 n 次重复独立试验中， 设随机变量
1 Xi 0
事件A在第i次试验时发生 事件A在第i次试验时不发生
那么 n 次重复独立试验中 A 发生的频率为
fn
A
NA n
1 n
n i 1
Xi
。于是
NA n
p p 可
表为
1 n
n i 1
Xi
p
p
E
X
。
频率的稳定性可用贝努利大数定律来表达：
贝努利大数定律（定理 5.4）
设 X1, X 2, , X n , 独立同分布，且
X1 B1, p ，则
X p p 。
二 中心极限定理
定理 5.5 （独立同分布情形下的中心极限定理） 设独立同分布随机变量序列 X1, X2, , X n , ，
且 E X1 ， D X1 2 0 。则对任意 x, ，总有
n
Xi n
lim P i1
x x
n
n 2
进一步说明：
n
（1）记 Z X i ，则 Z n N n, n 2 i 1
n
Xi n
（2）记 Y i1
，则Y nN 0,1 ；
n 2
即 Z E Z n N 0,1 ； DZ
（3）
X
n N
,
2
n
或
X
n
N
0,1
，
n
例3． 对某据点进行轰炸，击中的炮弹数是
一个随机变量 X ，已知 E X 2， D X 2.25。现在进行 100 次轰炸。问击中
的炮弹总数在 180 枚至 220 枚之间的概率。
例4． （课本例 5.2） 某人要测量甲,乙两地的距离,限于
交通工具,他分成 1200 段来测量,每段 上 的 测 量 误 差 ~R(-0.5,0.5), 且 相 互 独 立,试求总距离误差的绝对值超过 20 厘米的概率.
例 5． 设有 30 个电子元件 D1, D2 , , D30 。 它们如下使用：当 D1 损坏时立即使用 D2 ， 当 D2 损坏时立即起用 D3 ，依次类推。用 Di
表示第 i 个元件的寿命，设 Di E 0.1 （单
位：小时）。记T 为 30 个元件使用的总计时间。 问T 超过 350 小时的概率是多少？
例 6．某计算机系统有 120 个终端， 每个终端有 5%的时间在使用，若各个终 端使用与否是相互独立的。试求在任何时 刻有 10 个或更多个终端在使用的概率。
推论：（德莫弗-拉普拉斯中心极限定理） 设 X1, X2, , X n , 是独立同分布随机变 量序列，且都服从参数为 p 的两点分布，
则对任意 x, ，有
n
Xi np
lim P i1
x x
n np 1 p
一般地有下列公式：设Y Bn, p ，则
当 n 充分大时，
Pa Y b
b np
a np
np 1 p np 1 p
例7．（p126,例5.3) 一本２０万字的长篇小说进行排版， 假定每个字排错的概率为10-5，试求该 小说出版后发现有６个以上错字的概率． 假定各个字是否排错是相互独立的．
例8． 现有一大批种子，其中良种占 1 。 6
今从中任选 6000 粒。试问在这些种子中
良种所占的比例减去 1 后小于 1%的概率 6
是多少？
例9． 利用中心极限定理计算： 当掷一枚均匀的铜币时，需投掷多少次
才能保证使得正面出现的频率在 0.4 至 0.6 之间的概率不小于 90%。
一 大数定律
依概率收敛的定义 独立同分布情形下的大数定律
依概率收敛
定义：设 X1, X 2, 是一个随机变量序列。
如果存在一个常数 c ，使得对任意一个 0 ，
总有
lim P
n
Xn c
1，
那么称序列Xn,i 1, 2, 依概率收敛于 c ，
记作
Xn
p c
。（或
lim
n
P
Xn c
0）
考察频率的稳定性：
在 n 重贝努利试验中，设事件 A 发生了
NA 次，则 NA Bn, p ，其中 p P A 。
那么事件 A 发生的频率为
fn
A
NA n
，而且 NA n
p p 。
独立同分布情形下的大数定律
定理 5.3 设 X1, X 2, , X n , 独立同分布，
且 E X1 ， D X1 2 ，那么
X
1 n
n i 1
Xi
p
。
因 为 EX ， 极 限 也 可 表 为 X p E X 。
（也即 lim P X 0 ） n
例1． 设 X1, X 2, , X n , 独立同分布，
（1）若 X1 B1, p ；（2） X1 N , 2 。
问 X 依概率收敛于什么值？
例2． 频率的稳定性：在 n 次重复独立试验中， 设随机变量
1 Xi 0
事件A在第i次试验时发生 事件A在第i次试验时不发生
那么 n 次重复独立试验中 A 发生的频率为
fn
A
NA n
1 n
n i 1
Xi
。于是
NA n
p p 可
表为
1 n
n i 1
Xi
p
p
E
X
。
频率的稳定性可用贝努利大数定律来表达：
贝努利大数定律（定理 5.4）
设 X1, X 2, , X n , 独立同分布，且
X1 B1, p ，则
X p p 。
二 中心极限定理
定理 5.5 （独立同分布情形下的中心极限定理） 设独立同分布随机变量序列 X1, X2, , X n , ，
且 E X1 ， D X1 2 0 。则对任意 x, ，总有
n
Xi n
lim P i1
x x
n
n 2
进一步说明：
n
（1）记 Z X i ，则 Z n N n, n 2 i 1
n
Xi n
（2）记 Y i1
，则Y nN 0,1 ；
n 2
即 Z E Z n N 0,1 ； DZ
（3）
X
n N
,
2
n
或
X
n
N
0,1
，
n
例3． 对某据点进行轰炸，击中的炮弹数是
一个随机变量 X ，已知 E X 2， D X 2.25。现在进行 100 次轰炸。问击中
的炮弹总数在 180 枚至 220 枚之间的概率。
例4． （课本例 5.2） 某人要测量甲,乙两地的距离,限于
交通工具,他分成 1200 段来测量,每段 上 的 测 量 误 差 ~R(-0.5,0.5), 且 相 互 独 立,试求总距离误差的绝对值超过 20 厘米的概率.
例 5． 设有 30 个电子元件 D1, D2 , , D30 。 它们如下使用：当 D1 损坏时立即使用 D2 ， 当 D2 损坏时立即起用 D3 ，依次类推。用 Di
表示第 i 个元件的寿命，设 Di E 0.1 （单
位：小时）。记T 为 30 个元件使用的总计时间。 问T 超过 350 小时的概率是多少？
例 6．某计算机系统有 120 个终端， 每个终端有 5%的时间在使用，若各个终 端使用与否是相互独立的。试求在任何时 刻有 10 个或更多个终端在使用的概率。
推论：（德莫弗-拉普拉斯中心极限定理） 设 X1, X2, , X n , 是独立同分布随机变 量序列，且都服从参数为 p 的两点分布，
则对任意 x, ，有
n
Xi np
lim P i1
x x
n np 1 p
一般地有下列公式：设Y Bn, p ，则
当 n 充分大时，
Pa Y b
b np
a np
np 1 p np 1 p
例7．（p126,例5.3) 一本２０万字的长篇小说进行排版， 假定每个字排错的概率为10-5，试求该 小说出版后发现有６个以上错字的概率． 假定各个字是否排错是相互独立的．
例8． 现有一大批种子，其中良种占 1 。 6
今从中任选 6000 粒。试问在这些种子中
良种所占的比例减去 1 后小于 1%的概率 6
是多少？
例9． 利用中心极限定理计算： 当掷一枚均匀的铜币时，需投掷多少次
才能保证使得正面出现的频率在 0.4 至 0.6 之间的概率不小于 90%。