定积分的近似计算以及误差估计

定积分的近似计算方法与误差估计

作者: 操乐青 指导老师: 邢抱花

摘要 本文主要讨论了一元函数常见的数值积分方法,例如插值型求积公式，高斯求积公式等近

似计算方法,在用这些方法计算定积分时,会产生一些误差,为了减少误差, 可以利用复化求积公式、复化高斯公式等.本文围绕这些方法,系统介绍它们的计算公式以及截断误差,并用例题分析它们产生误差的大小、计算量等.

关键词 插值型积分 高斯积分 误差分析 近似计算

1引言

在计算定积分的值()b

a I f x dx =⎰时,常常根据微积分学基本定理求出)(x f 的一个原函数

)(x F ,再用牛顿-莱布尼茨公式求得积分,()()()b

a

I f x dx F b F a ==-⎰.但这种方法只限于解

决一小部分定积分的求值问题.当函数没有具体表达式,只是一些实验测得数据形成的表格或图形或者是()F x 无法用初等函数表示,例如,2

b

x a

e dx ⎰

,2

sin b

a x dx ⎰等等,这就需要我们用一些近似方法来求积分值.

与数值积分一样,把积分区间细分,在每个小区间上,找到简单函数)(x ϕ来近似代替()f x ,且

()b

a

x dx ϕ⎰

的值容易求的.这样就把计算复杂的()b a

f x dx ⎰转化为求简单的积分值()b

a

x dx ϕ⎰.

因此,定积分的近似计算实质上就是被积函数的近似计算问题.

2 定积分的近似计算——常见数值方法 2.1 矩形公式

根据定积分的定义，每一个积分和都可以看作是定积分的一个近似值，即

1

()d ()n

b

i i a

i f x x f x ς==∆∑⎰

在几何意义上，这是用一系列小矩形面积近似小曲边梯形的结果，所以把这个近似计算方法称为矩形法．不过，只有当积分区间被分割得很细时，矩形法才有一定的精确度． 针对不同i ς的取法，计算结果会有不同，常见的取法有：

（1）左端点法，即1-=i i x ς,

i a

b

n

i i x x f dx x f ⎰

∑=-∆≈11)()(

（2）右端点法，即 i i x =ς,i n

i i a

b

x x f dx x f ∆≈∑⎰=1

)()(

（3）中点法，即12i i i x x ς-+=,i n

i i i a

b x x x f dx x f ∆+≈∑⎰=-1

1)2()(

例1 用矩形公式近似计算积分 1

2 0d 1x

x +⎰（取100=n ）.

解 对[]1,0作n 等分

b x i n

a

b a x x a x n i =<<-+

=<<<= 10，由定义知： ∑∑⎰===∆=+n

i i n

i i f n x f x dx 111

1

0)(1)(1ςς

(1)左点法：在区间],[1i i x x -上取左端点，即取1-=i i x ς，n i 2,1=

1

2 01d ()1n

i i i x

f x x ς==∆≈+∑⎰0.78789399673078， 理论值

1

2 0d 14x x π

=+⎰，此时计算的相对误差

0.787893996730784

0.0031784

ππ-=

≈

（2）右点法：在区间],[1i i x x -上取右端点，即取i i x =ς，n i 2,1=

1

2 01d ()1n

i i i x

f x x ς==∆≈+∑⎰0.78289399673078， 理论值

1

2 0d 14x x π

=+⎰，此时计算的相对误差

0.782893996730784

0.003188

4

ππ-=

≈

（3）中点法：取 在区间1[,]i i x x -上取中点，即取12

i i

i x x ς-+=

，n i 2,1= 1

2 01

d ()1n

i i i x

f x x ς==∆≈+∑⎰0.78540024673078， 理论值

1

2 0d 14x x π

=+⎰，此时计算的相对误差

60.785400246730784

2.653104

ππ--=

≈⨯

如果在分割的每个小区间上采用一次或二次多项式来近似代替被积函数，那么可以期望得到比矩形法效果好得多的近似计算公式．下面介绍的梯形法和抛物线法就是这一指导思想的产物．

2.2梯形公式

等分区间

b x i n a b a x x a x n i =<<-+

=<<<= 10，n

a

b x -=∆

相应函数值为

n y y y ,,,10 （n i x f y i i ,,1,0),( ==）

． 曲线)(x f y =上相应的点为

n P P P ,,,10 （n i y x P i i i ,,1

,0),,( ==） 将曲线的每一段弧i i P P 1-用过点1-i P ，i P 的弦i i P P 1-（线性函数）来代替，这使得每个],[1i i x x -上的曲边梯形成为真正的梯形，其面积为

x y y i

i ∆⨯+-2

1，n i ,,2,1 =． 于是各个小梯形面积之和就是曲边梯形面积的近似值，

11 11

()d ()22n

n

b

i i i i a i i y y x f x x x y y --==+∆≈⨯∆=+∑∑⎰

即

11 ()d ()2

2

b

n

n a

y y b a f x x y y n --≈

++++

⎰

称此式为梯形公式．

例2 用梯形公式近似计算定积分 1

2 0d 1x

x +⎰（取100=n ）.

解

1

112 0d ()122

n n y y

x b a y y x n --≈++

++=+⎰0.78539399673078，

理论值 12 0d 14

x x π

=

+⎰，此时计算的相对误差 60.785393996730784

5.305104

ππ--=

≈⨯

很显然，这个误差要比简单的矩形左点法和右点法的计算误差小得多.