数列,通项公式方法,求前n项和例题讲解和方法总结

数列的通项公式

1.通项公式

如果数列{}a n 的第n 项n a 与项数n 之间的函数关系可以用一个公式来表达，叫做数列的通项公式。

2.数列的递推公式

（1）如果已知数列{}a n 的第一项，且任一项n a 与它的前一项-1n a 之间的关系可以用一个公式来表示。 （2）递推公式是数列所特有的表示方法，它包含两部分，一是递推关系，二是初始条件，二者缺一不可

3.数列的前n 项和与数列通项公式的关系

数列{}a n 的前n 项之和，叫做数列的前n 项和，用n S 表示，即123=n n S a a a a ++++L n S 与通项n a 的关系是1

1

(1)(2)

={

n n S n n S S

n a -=-≥

4.求数列通项公式的常用方法有：(前6种常用，特别是2,5,6)

1）、公式法，用等差数列或等比数列的定义求通项

2）前n 项和n S 与n a 的关系法，

⎩⎨⎧≥⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅-=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=-2111n S S n S a n n

n 求解. (注意：求完后一定要考虑合并通项)

3）、累（叠）加法：形如)(1

n f a a n n +=+∴112211=()()()n n n n n a a a a a a a a ----+-++-+L

4）. 累（叠）乘法：形如n

n a n f a )(1=+ ∴13211

221

=

n

n n n n a a a a

a a a

a a a ---⋅

⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ 5）.待定系数法 ：形如a 1+n =p a n +q （p ≠1，pq ≠0），（设a 1+n +k=p （a n +k ）构造新的等比数列）

6) 倒数法 ：形如1

1n n n a a ka b

--=+（两边取倒，构造新数列，然后用待定系数法或是等差数列）

7). 对数变换法 ：形如，1

1()lg lg lg p n n n n a c a a p a c ++=⋅⇒=+（然后用待定系数法或是等差数列）

8).除幂构造法: 形如11111n

n n n n n n

a q a a qa d d d d d

++++=+⇒=+ (然后用待定系数法或是等差数列) 9). 归纳—猜想—证明”法

直接求解或变形都比较困难时，先求出数列的前面几项，猜测出通项，然后用数学归纳法证明的方法就是“归纳—猜想—证明”法．

递推数列问题成为高考命题的热点题型，对于由递推式所确定的数列通项公式问题，通常可对递推式的变形转化为等差数列或等比数列.下面将以常见的几种递推数列入手，谈谈此类数列的通项公式的求法.

通项公式方法及典型例题

1.前n 项和

n

S 与n a 的关系法

例1、已知下列两数列}{n a 的前n 项和s n 的公式，求}{n a 的通项公式。

（1）(1)S n ＝2n 2－3n ； （2）12

-=n s n

解： (1)a 1＝S 1＝2－3＝－1，

当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(2n 2－3n )－[2(n －1)2－3(n －1)]＝4n －5， 由于a 1也适合此等式，∴a n ＝4n －5.

（1）11111-+==S a ， 当2≥n 时n a =1--n n S S =[

]

1)1()1()1(3

3

--+---+n n n n =3232

+-n n

经验证12a =也满足上式 ∴n a =3232

+-n n

（2）011==s a ，当2≥n 时， 12]1)1[()1(2

21-=----=-=-n n n s s a n n n

由于1a 不适合于此等式 。 ∴⎩⎨

⎧≥-==)

2(12)1(0

n n n a n

(点评：要先分n=1和2≥n 两种情况分别进行运算，然后验证能否统一。)

2.累加法:

)

(1n f a a n n +=+型

112211

=()()()n n n n n a a a a a a a a ----+-++-+L

2.在数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1＝a n ＋2n ；

解:由a n ＋1－a n ＝2n ，把n ＝1,2,3，…，n －1(n ≥2)代入，得(n －1)个式子， 累加即可得(a 2－a 1)＋(a 3－a 2)＋…＋(a n －a n －1)

＝2＋22＋23＋…＋2n －

1，所以

a n －a 1＝2(1－2n －

1)

1－2

，

即a n －a 1＝2n －2，所以a n ＝2n －2＋a 1＝2n －1.当n ＝1时，a 1＝1也符合， 所以a n ＝2n －1(n ∈N *)．

3.累乘法

1()

n n a a f n +=⋅型，

13211221

=

n n n n n a a a a a a a a a a ---⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅

3. 已知数列{}a n 中满足a 1=1，n n

n a a ⋅=+21，求n a 的通项公式. 解：∵n n

n a a ⋅=+21 ∴

n n

n a a 21

=+. ∴=n a 1

2232332211a a a a a a a a a a a a n n n n n n n n ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅------- a 1=222222321⋅⋅⋅⋅⋅⋅---n n n *1=2

)1(2-n n ∴=n a 2)

1(2-n n 4.待定系数法: a 1+n =p a n +q （p ≠1，pq ≠0）型，

通过分解常数，可转化为特殊数列{a n +k}的形式求解。解法：设a 1+n +k=p （a n +k ）与原式比较系数可得