大连理工大学《工科数学分析基础》工数上学期复习.docx

高等数学

第一节、函数

1.1函数分类

第一章函数、极限与连续

概念分类＜初等函数

分段函数

「、sinoiv

f(x)=——

1 + x

x n sin —兀HO

X

x x = 0

/（兀）=

＜

参数方程表示的函数

类型分类

＜

积分上限函数F(x, y) = 0; Vx + 77 =

\y = y^

rx c(p(x)

y二I gdt y = h f^dt y = /(x)

>, = /(0(兀))

抽彖函数

研究函数的主要问题：

初等性质：单调性、有界性、奇偶性、周期性。

分析性质：极限、连续性、可微性、可积性

1.2例题（仅限于对应）

引例 /（兀）=,求/（/（X））

1+兀

解・心（兀））=丄厂二一二戶（心-1，-2）

1 + /（兀）1 | 1

2 + x

1 +兀

例1 /(x) = 1+x x<0 .、l-x 沦O'求5))。

[1 + /W 解/(Kv))=li-/w f(x) < 0

/(x) > 0

例2 /(X )= , /(0(兀))=1 一兀，且(pg >0,求(p{x),并写出定义域。

解

(v)

=l-x,(p(x) = Jln(l-兀)l-x>l^>x<0»

1 c

例3设/(无)满足cif\x)^bf (-) = -,其中Cibc 均为常数，且\ci\Ab\.求/(x)的表达式。 兀 X

妙(兀)+纱(丄)=£……⑴

]

解

]

X"

，消掉/(—)得 f(x) = ^—(—hx).

J 、 — \

x cr _b_ X

af(~) + bf(x) = cx (2)

小结：上述四例均强调或说体现“对应”，即自变量在抽象函数中的位置与具体函数中的位置相对应。抓住“对应”一 点。函数问题基本解决。其他问题从略

1.3习题

[1 |X|<1

1.设 /(兀)={

则 /(/(x))=_i_o

0 |x>l f x< 0 2・设 f(X )=< 0 '则 /(-X )= (D)

+ 兀 x > 0

3.设 /U) = ^

晋;，则 /(/(/«))= (B)

o |x|>l

4. /(X )=| xsin x | e cosv (一g < x< +oo)是(D )

1 + (1 +

兀)

1 + (1 —

兀)

1-(1+兀)

1—(1—兀) l + x< 0

x<0

1 -x< 0

2 + x ■X v —1 x>Q 2-x %> 1 l+x>0―

-x -l

x 0

l-x>0 x>0

-x 2 x<0

(A) f(-x) = \

[-(f + x) x > 0

[x 2

x<0

(C) /(-兀)={

7

\x -x x>0

(D) /(x) =

x 2 -x x 2

x<0 x>0

x< 0 x>0

(A) 0

(B) 1

0 |x|>l

Ix|>l

（A ）有界函数（B ）单调函数 （C ）周期函数 （D ）偶函数 5.设/（X ）连续，则下列函数中为偶函数的是（D ）。

(C) ［心⑴―/(T)］力(D) ［"/(/) + /(—/)］力

Y

x

7.设£(Q = /(/(••• (/(兀))…))若求AU)» £(兀)=

——T A/l + X

A /1 + 恣

第二节极限

2.1内容总结

1

基_ …0 /约掉“零因子…oo .7同除分母最高阶项

* 0

\落必达法则

’OO 丄\落必达法则

2.等价代换 当XT 0时

兀〜sin 兀〜tan x 〜arcsinx 〜arctan x 〜ln(l + 兀)〜e

x

-1, a x -1 - x\x\a

3・重要极限

4. 用泰勒公式求极限

5. 用夹逼定理和单调有界原理求极限（主要用于数列极限问题） 2.2例题

基础题目

七”型〉

limp-4

29 Vx-3

OO

”一”型)

oo

、 丿

(4X + 1)30(9X + 2)20

i- —(6—1)5°— go X {e x -1)

(A) ］/(尸)力(B)

6. 设 g(x) =

x + 2,x>0

，求 g(/(兀)。g(/(x)) =

2 + x 2 , A ： < 0 x + 2,x > 0

y ［a -I - —Ina, n 1 -cosx ------- 2 (1 + x)a 一］〜or

lim sinx

=1 (limnsin — = 1)

XT O x

〃T8

lim(l + xy=e (lim(l 4- = e)

XTO XT8

兀

oo

oo 其他lim = 1 (a > 0) (limVn^ = 1) lima"=

"T8 ”T8

lim 八 21

"T8

"T8

a >0

a = 0 a <0

丄

极限不存在例：hme

x

XT O

lim e x 兀T (T

\_

=oo ； lim e x = 0