自主招生里的数论

1、有理数与无理数

例1、(2009清华)求证：当,p q 都为奇数时，曲线2220x px q ++=与x 轴交点的横坐标为无理数。

例2、(2009北大)是否存在实数x ，使得tan x cot x

例3、（2008年清华大学）已知,,a b c 都是有理数，也是有理数.求

证

2、同余的性质

例4、(2004年上海交大)2004818(736)+的个位数是_______________． ，

例5、（2009年清华）请写出满足下列条件的三个数，它们均为质数，且构成公差为8的等差数列，并证明你的结论。

例6、(2009清华)请写出满足下列条件的三个数，它们均为质数，且构成公差为8的等差数列，并证明你的结论。

例7、(2008清华)求正整数区间[,]m n 中不能被3整除的数之和．

3、构造法

例8、(2009中科大)已知*{|!,}A x x n n n N ==+∈，B 是A 在*N 上的补集． (1)求证：不能在集合B 中取得一个有无限项的公差不是0的等差数列； (2)是否能在集合B 中找到一个有无限多项的等比数列？

4、不等式估计

例9、(2009上海交大)求有限集合12{,,,}n A a a a =，其中12,,,n a a a 为互不相等的正整

数，使得12

12n n a a a a a a =++

+．

例10、(2009南京大学)求所有满足tan tan tan [tan ][tan ][tan ]A B C A B C ⋅⋅≤++的非直角三角形ABC ∆．这里[]x 表示不大于x 的最大整数． 5、方程

例11、(2011北约)是否存在四个正整数，它们的两两乘积分别是2,3,5,6,10,16？

例12、(2004上海交大)已知67xyzabc abcxyz =，则xyzabc =__________。 6、综合

例13、今有某三位数，其各位数字不尽相同，如将此三位数的各位数字重新排列，必可得一最大数和一最小数(例如427经过重新排列得到最大数为742，最小数为247)，如果所得最大数与最小数之差就是原来那个位数，试求这个三位数。

例14、求一自然数，使它的三次方及四次方合起来共有十位数字，且包含从0到9的十个数字恰好各一个。

例15、设{a n }是集合{k | k 可以表示成两个或两个以上的连续正整数的和}中所有的数从小到大排列成的数列, 此数列的前n 项和为S n 。

(1) 试判断13, 26, 32是不是数列{a n }中的项，说明理由； (2) 求a 100, S 100；

(3) 若将k 表示成两个或两个以上的连续正整数的和的形式, 恰有i 种表示法, 则称k 具有性质P i (如15具有性质P 3: 15 = 7 + 8 = 4 + 5 + 6 = 1 + 2 + 3 + 4 + 5)。试求具有性质P 5的最小正整数。

综上， 需要掌握的基础知识有： 整除， 带余除法（模性质）， 辗转相除法， 最大公约数，素数的性质， 最大公约数的加性表达， 同余（余数）性质， 一次不定方程和高次不定方程， 简单的多项式理论等等。

要注意： 数论和朴素的鸽笼原理的结合。

下面给出一些基本练习题目：1 整除：

最大公约数

同余

未完，待续。

另外：也要防范特殊的探索性题目（来源于大学数论课程，可初等化）

一个数论问题

假设p是一个奇质数. 求证:

方程

有解当且仅当p除以8的余数是1或者3.

下面说说这道题目的解决方法.

首先, 如果有解, 那么. 也就是说存在整数a, 满足

也就是说我们来考虑模p的局部情况.

其次, 成立当且仅当

事实上, 考虑

他们乘以-2再除以p, 在区间取余数. 这样有[个取负数, 于是我们有

也就是

假设t是模p的一个原根, 且

则a存在当且仅当m是一个偶数.

那么

也就是

这样可以得到结论.

这样我们事实上证明了时肯定无解.

最后我们利用无穷递降法来证明时肯定有. 这是一个规范的方法. 证明如下: 由于存在整数a, 满足

我们可以找到, 满足

如果等于1, 那么得证. 否则我们可以找到, 满足

这样

但是.

后续问题:

(1) 方程

有解当且仅当有无穷多组解. 需要构造一个解生成无穷多个解的方法.

(2) 方程

有解当且仅当有n的模8余5,7的素因子的指数是偶数.

(3) 方程

有解的情况下, 求所有可能的整数解的对数.

(4)类似于

的方程有没有类似的方法或者其他方法.

(5) 变形的题目: 求证:

方程

有解当且仅当它有整数解.

练习：p>5是一个质数，斐波那契数列除以p的余数以p为周期。

接下来的主题：

三角函数，数列，解析几何，代数综合，平面几何，组合数学里面选择1个