线性代数之行列式的性质和计算

第二节 行列式的性质与计算 §2.1 行列式的性质

考虑11

12121

22

212

n n n n nn

a a a a a a D a a a =

将它的行依次变为相应的列，得

11

21112

22212n n T

n

n

nn

a a a a a a D a a a =

称T D 为D 的转置行列式 .

性质1 行列式与它的转置行列式相等.（T D D =）

事实上，若记1112

12122212

n n T n n nn

b b b b b b D b b b =

则(,1,2,

,)ij ji b a i j n ==

12

12

()

12(1)n n p p p T p p np D b b b τ∴=-∑12

12()

12(1).n n p p p p p p n a a a D τ=-=∑

说明:行列式中行与列具有同等的地位, 因此行列式的性质凡是对行成立的结论, 对列也同样成立.

性质2 互换行列式的两行(i j r r ↔)或两列(i j c c ↔)，行列式变号.

例如 123

123086351.351

086

=- 推论 若行列式D 有两行（列）完全相同，则0D =. 证明: 互换相同的两行, 则有D D =-, 所以0D =.

性质3 行列式某一行（列）的所有元素都乘以数k ，等于数k 乘以此行列式，即

111211112

112121

2

1

2

n

n i i in i i

in n n nn

n n nn

a a a a a a ka ka ka k a a a a a a a a a = 推论：(1) D 中某一行(列)所有元素的公因子可提到行列式符号的外面；

(2) D 中某一行(列)所有元素为零，则0D =；

性质4: 行列式中如果有两行(列)元素对应成比例, 则此行列式等于零．

性质5: 若行列式某一行(列)的所有元素都是两个数的和，则此行列式等于两个行列式的和.这两个行列式的这一行(列)的元素分别为对应的两个加数之一，其余各行(列)的元素与原行列式相同 .即

1112111221

2

n i i i i in

in n n nn

a a a a

b a b a b a a a +++=1112

112

12

n i i in n n nn

a a a a a a a a a +11

12112

12

n i i in n n nn

a a a

b b b a a a . 证: 由行列式定义

12

12()

12(1)()n i i n p p p p p ip ip np D a a a b a τ=-+∑

12

12

12

12()

()

1212(1)(1).n n i

n i n p p p p p p p p ip np p p ip np a a a a a a b a ττ=-+-∑∑

性质6 行列式D 的某一行（列）的各元素都乘以同一数k 加到另一行（列）的相应元素上，行列式的值不变()i j

r kr D D +=，即

11121121

2

i j

n

r kr i i in n n nn

a a a a a a a a a +=11121112

2

1

2

n i j i j in jn n n nn

a a a a ka a ka a ka a a a +++ 计算行列式常用方法: 利用性质2,3,6, 特别是性质6把行列式化为上(下)三角形行列式, 从而, 较容易的计算行列式的值． 例1: 计算行列式

2

324311112321311(1)(2)

323411310425

1113D --=

-

解: 2112

31

23123212

3223240188(1)323

4

0862

4

25

4

2

5

r r r r r r D +↔-----=-

-

----=

433241

30858

4123212

320188

018

8

0058620058621430

3037

29

r r r r r r -

++-----

-=

=

143

[1(1)58]28629

=-⨯-⨯⨯=. 4

12

1

2,3,466661111111113111311

0200

(2)6

6

1131113100201113

1113

0002

i

i i r r r r i D

=+

-=∑

==

=6(1222)48=⨯⨯⨯⨯=.

此方法称为归边法. 例2: 计算n 阶行列式

1211

1

111(1)(2)1

1

1(0,1,2,

,)

n n n i a x a a a a x a D D a

a

a

x

a i n ++=

=

+≠=

解: (1)

1112132,3,1

1111

000

i r r n

i n

n a a a D a a a a -=+---=

221

11111100100

01

n

n

a a a a a -=+-(箭形行列式)

112231

2

2,3,,1

111000

i

i

n

c c i i

a n i n

n

a a a a a a a +==++∑

=

2312

12

21

1

1(1)(1)n

n

n n n i i i

i

a a a a a a a a a a a ===++=+∑∑

(2) 注意到行列式各行元素之和等于(1)x n a +-,有

12,3,,(1)(1)(1)i c c n

i n

x n a

a a x n a x a D x n a

a

x

+=+-

+-+-=

11[(1)]

1

a a x a x n a a

x

=+-