线性代数习题与答案第一章(东大绝版)
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解
11.计算下列行列式
(1) (2)
(3) (4)
解(1)
(2)
(3)
(4)
12.证明
(1)
(2)
证(1)设左边行列式为 ,则
(2)设左边行列式为 ,则
13.解下列方程式
(1) 其中 为互不相同的数.
(2)
解(1)设左边行列式为 ,则
于是 的解为
(2)设左边行列式为 ,则
于是 的解为
14.利用Laplace展开定理计算
第一章习题解答
1.用画线法计算下列行列式
（1） （2） (3) (4)
解(1)
(2)
(3)
(4)
2.计算下列排列的逆序数
(1)35214; (2) ; (3) ; (4) .
解(1)
(2)
(3)
(4)
3.在所有 级排列中,试找出逆序数为最小和最大的排列,这样的排列是否唯一?又逆序数介于它们之间是否唯一?
(2)这是一个9级排列, 的值为2, 9.当 时,逆序数 ;当 时,逆序数 ,所以应选 .
5.在四阶行列式 的展开式中, (1)确定含有因子 的项; (2)确定带负号并含有因子 的项.
解(1)含有因子 的项为 和 .
(2)含有因子 的项共有六项,其中 是带负号的项.
6.证明:若一个 阶行列式中等于零的元素个数大于 ,则此行列式值为零.
(1) (2)
解(1)原式 .
(2)原式
15.解下列方程组
(1) 其中 为互不相同的数;
(2)
解(1)系数行列式
, ,
所以
(2)系数行列式
所以方程组的解为
习题B
1.设 为一个 级排列,求
这里 表示排列的逆序数.
解因在 中比 大的数有 个,故在 和 中 的逆序数之和为 ,
于是
2.设 阶行列式 ,求
其中 为 级排列,求和对所有 级排列进行.
解逆序数最小的排列: , ,
逆序数最大的排列: , .
这样的排列是唯一的,但逆序数介于0和 之间的排列不唯一,例如4级排列中1243与2134的逆序数均为1.
4.选择 使(1) 为奇排列; (2) 为偶排列.
解(1)这是一个9级排列, 的值为3, 7.当 时,逆序数 ;当 时,逆序数 ,所以应选 .
(2)与(1)的道理相同,原行列式等于 ,即 .
8.计算下列行列式
(1) (2)
(3) (4)
解(1)用画线法
(2)
(3)
(4)法一
法二作五阶范德蒙行列式
按第5列展开得 ,
其中 项的系数
但 其 项的系数为
所以,
9.证明下列等式
(1) (2)
(3) .
证(1)
（2）
(3)
10.按第三行展开行列式,并计算其值
证明把 与 阶范德蒙行列式
相乘,则
等式两边消去 得 .
注意:去(*)的过程中利用了 这一条件.
证 阶行列式有 个元素,如果零元素个数大于 个,则非零元素的个数就小于 个.于是行列式定义中的 项的每一次至少有一个零因子,所以每一项都是零.从而行列式值为零.
7.用行列式定义计算下列 阶行列式
(1)
该行列式次对角以下都是0.
(2)
解(1)由行列式定义, 项中的每一项都是 个元素的乘积,这 个元素来自不同的行,不同的列,所以这一行的可能不为零的项仅有 ,它的符号为 .于是,原行列式等于 .
解设 ,则
因 级排列中奇排列、偶排列各半,故和式中 和 一样多,可见和式为零.
3.证明:来自百度文库
证左边
=右边.
4.计算 阶行列式
解当 中有两个相同的数时, ,以下设 各不相同,
设以 为根的一元 次方程为
则
原式
但 (一元 次方程根与系数的关系)
故 .
5.计算行列式
解记 ,则
6.行列式
称为 阶 轮换行列式,证明:当 时 ,其中 ,而 为 的 个根.
11.计算下列行列式
(1) (2)
(3) (4)
解(1)
(2)
(3)
(4)
12.证明
(1)
(2)
证(1)设左边行列式为 ,则
(2)设左边行列式为 ,则
13.解下列方程式
(1) 其中 为互不相同的数.
(2)
解(1)设左边行列式为 ,则
于是 的解为
(2)设左边行列式为 ,则
于是 的解为
14.利用Laplace展开定理计算
第一章习题解答
1.用画线法计算下列行列式
（1） （2） (3) (4)
解(1)
(2)
(3)
(4)
2.计算下列排列的逆序数
(1)35214; (2) ; (3) ; (4) .
解(1)
(2)
(3)
(4)
3.在所有 级排列中,试找出逆序数为最小和最大的排列,这样的排列是否唯一?又逆序数介于它们之间是否唯一?
(2)这是一个9级排列, 的值为2, 9.当 时,逆序数 ;当 时,逆序数 ,所以应选 .
5.在四阶行列式 的展开式中, (1)确定含有因子 的项; (2)确定带负号并含有因子 的项.
解(1)含有因子 的项为 和 .
(2)含有因子 的项共有六项,其中 是带负号的项.
6.证明:若一个 阶行列式中等于零的元素个数大于 ,则此行列式值为零.
(1) (2)
解(1)原式 .
(2)原式
15.解下列方程组
(1) 其中 为互不相同的数;
(2)
解(1)系数行列式
, ,
所以
(2)系数行列式
所以方程组的解为
习题B
1.设 为一个 级排列,求
这里 表示排列的逆序数.
解因在 中比 大的数有 个,故在 和 中 的逆序数之和为 ,
于是
2.设 阶行列式 ,求
其中 为 级排列,求和对所有 级排列进行.
解逆序数最小的排列: , ,
逆序数最大的排列: , .
这样的排列是唯一的,但逆序数介于0和 之间的排列不唯一,例如4级排列中1243与2134的逆序数均为1.
4.选择 使(1) 为奇排列; (2) 为偶排列.
解(1)这是一个9级排列, 的值为3, 7.当 时,逆序数 ;当 时,逆序数 ,所以应选 .
(2)与(1)的道理相同,原行列式等于 ,即 .
8.计算下列行列式
(1) (2)
(3) (4)
解(1)用画线法
(2)
(3)
(4)法一
法二作五阶范德蒙行列式
按第5列展开得 ,
其中 项的系数
但 其 项的系数为
所以,
9.证明下列等式
(1) (2)
(3) .
证(1)
（2）
(3)
10.按第三行展开行列式,并计算其值
证明把 与 阶范德蒙行列式
相乘,则
等式两边消去 得 .
注意:去(*)的过程中利用了 这一条件.
证 阶行列式有 个元素,如果零元素个数大于 个,则非零元素的个数就小于 个.于是行列式定义中的 项的每一次至少有一个零因子,所以每一项都是零.从而行列式值为零.
7.用行列式定义计算下列 阶行列式
(1)
该行列式次对角以下都是0.
(2)
解(1)由行列式定义, 项中的每一项都是 个元素的乘积,这 个元素来自不同的行,不同的列,所以这一行的可能不为零的项仅有 ,它的符号为 .于是,原行列式等于 .
解设 ,则
因 级排列中奇排列、偶排列各半,故和式中 和 一样多,可见和式为零.
3.证明:来自百度文库
证左边
=右边.
4.计算 阶行列式
解当 中有两个相同的数时, ,以下设 各不相同,
设以 为根的一元 次方程为
则
原式
但 (一元 次方程根与系数的关系)
故 .
5.计算行列式
解记 ,则
6.行列式
称为 阶 轮换行列式,证明:当 时 ,其中 ,而 为 的 个根.