第7章热传导

q 2 r C1 ln r C2 .......... ..7 21 4k 依题意，设边界条件为 t


1 r R : t ts
由边界条件(2)可得
dt 2 r R : q R L k 2RL dr
2

r R
dt dr

rR
qR 2k

将上式代入式(7-20)，即
1 t q r 0 r r r k 1 d dt q .7 19 r 0......... r dr dr k

式(7-19)为具有内热源、沿径向做一维稳态热传导的能量方程。
若内热源均匀，则 q 为常数。

对式(7-19)进行一次积分，得
即
dt t2 t1 1 q kAr k 2rL .......... .7 13 dr lnr2 / r1 r t1 t2 q 2kL lnr2 / r1 .......... ..7 14
式(7-14)即为单层筒壁的导热速率方程。传热速率 q 与半径 r 无关 ，是常量。 由式(7-14)可得单位筒长导热速率，即
三、二维稳态热传导
对于无内热源的二维稳态热传导，已知条件为
t t 2t q0 , 0 , 0 , 0 2 z z

代入热传导的基本微分方程式(7-1),即
1 t t t t q 2 2 2 .......... .7 1 x y z k
二、有内热源的一维稳态热传导
若柱体很长，即 L>>r ，则沿轴向的导热可忽略不计，且温度 分布沿轴向对称，可认为温度仅沿径向变化。 对于有内热源的柱体沿径向的一维稳态热传导，柱坐标系的能 量方程式(7-2)，即 2 2 1 t 1 t 1 t t q 2 .......... 72 r 2 2 r r r r z k 可简化为


由边界条件可确定积分常数 C1、C2，代入式(7-21)求得柱体内的 温度分布。
[例7-4]有一半径为 R、长度为 L 的实心圆柱体，其发热速率为 q ，圆柱体的表面温度为 ts ，L >> R ，温度仅为径向距离的函数。设 热传导是稳态的，圆柱体的热导率 k 为常数，试求圆柱体内的温度 分布及最高温度处的温度值。 解：柱体内一维径向稳态热传导时的温度分布方程为

求解热传导的规律问题，即解出上述微分方程，获得温度 t 与 时间θ及位置( x , y , z)的函数关系，即不同时刻温度在空间的分布 (温度场)。所得的解为t = f(θ,x , y , z)，它不但要满足式(7-1)或 式(7-2)、式(7-3)，而且要满足每一问题的初始条件与边界条件。
第一节
q t1 t2 2k L lnr2 / r1
.......... ..7 14b
单位筒长导热速率与半径 r 无关，是常量。
代入式(7-13a),得 q dt t2 t1 1 k k .......... .7 13a Ar dr lnr2 / r1 r 即 q k t1 t 2 ......... 7 14a Ar r lnr2 / r1 由式(7-14a)可知，热通量 q/Ar 随半径 r 而变。 由式(7-14)，即 t1 t2 q 2kL .......... ..7 14 lnr2 / r1 可知，传热速率 q 与半径 r 无关，是常量，亦即 q q q q 2r1L 2r2 L 2rr L const........ 7 15 A 1 A 2 A r 或
dx 2 d dt .7 5 r 0......... dr dr
d 2 dt .7 6 r 0......... dr dr
(一)单层平壁一维稳态热传导 单层平壁一维稳态热传导，当热导率 k 为常数时，式(7-4)即为描 述该导热过程的微分方程，即
dt q C1 r .......... ..7 20 dr 2k r

并取 r = R，即
dt dr
r R
q C1 R 2k r


得
q q C1 R R 2k 2k r
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故 C1 0 将 C1 0 及边界条件(1)代入式(7-21)，得
q 2 t r C1 ln r C2 .......... ..7 21 4k q 2 q 2 ts R C2 , C2 t s R 4k 4k
将C1、C2代入式(7-11)，得温度分布方程，即
t 2 t1 t 2 t1 t ln r t1 ln r1 lnr2 r1 lnr2 r1 t1 t 2 r t1 ln lnr2 r1 r1
.......... .7 12
q dt r rdr d k dr dt q C r 1 .......... ..7 20 dr 2k r

再积分一次，得
q C1 dt r d r dr 2k r q C1 dt 2 k r dr r dr q 2 t r C1 ln r C2 .......... ..7 21 4k
式(7-12)表明，通过筒壁进行径向一维稳态热传导时，温度分布是 半径 r 的对数函数。 • 通过半径为 r 的筒壁处的传热速率或热通量的计算 柱坐标系的 Fourier 定律，即
dt q kAr .......... .7 13 , dr q dt k .......... .7 13a Ar dr
q q q r r 7 16 1 2 rr const........ A 1 A 2 A r
式(7-14)亦可写成与平壁导热速率方程式(7-10)相类似的形式，即 t1 t 2 kA q kAm ......... 7 17 t1 t 2 .......... q .7 10 b r2 r1 式(7-17)与式(7-14)对比 t1 t2 q 2kL .......... ..7 14 lnr2 / r1 可知 或
Am 2
r2 r1 L 2 rm L .......... ..7 18 lnr2 / r1
2Lr2 2Lr1 A2 A1 Am .......... ..7 18a 2Lr2 ln A2 A1 ln 2Lr1 式中 rm—筒壁的对数平均半径； Am—筒壁的对数平均面积。 当 r2 r1 2 时，对数平均值近似等于算术平均值，即 r2 r1 r2 r1 A2 A1 A2 A1 rm , Am lnr2 / r1 2 ln A2 A1 2
d dt .7 5 r 0......... dr dr
设边界条件为
1 r r1
: t t1
2 r r2
: t t2
对式(7-5)积分两次，可得
t C1 ln r C2 .......... .7 11
代入边界条件，可得
C1 t2 t1 t t , C2 t1 2 1 ln r1 lnr2 r1 lnr2 r1
2 2 2
得
2t 2t 2 0.......... .7 22 2 x y
该式为无内热源的二维稳态热传导微分方程(二维Laplace 方程)。 根据式(7-22)求出的温度分布 t = f ( x , y ) 为一连续曲面，若 将连续变化的偏微分方程用差分方程近似表达，则可通过数值计算 法求出温度分布。
q —半径 r 处的导热速率；q/Ar —半径 r 处的热通量； r —径向坐标；dt/dr — r 处的温度梯度；L —筒壁长度； Ar —半径 r 处导热面积，Ar 2rL 。导热面积Ar 是半径 r 的函数。
将式(7-12)对 r 求导,得： 代入式(7-13)，得
dt t t 1 2 1 dr lnr2 / r1 r

最后得到温度分布方程为
q t ts R2 r 2 4k 由于圆柱体向外导热，最高温度应在圆柱体中心处，即 tmax t r 0 q R2 t0 t s 4k
2



上两式联立得温度分布方程，无量纲形式为
t ts r 1 t0 t s R
d 2t 0.......... .7 4 2 dx
设边界条件为
1
x 0 : t t1
2 x b : t t2
将式(7-4)积分两次，可得
t C1 x C2 .......... .7 7
代入边界条件，可得
C2 t1 , C1
t 2 t1 b
将C1、C2代入式(7-7)，得温度分布方程，即
稳态热传导
一、无内热源的一维稳态热传导
对于无内热源的一维稳态热传导，已知条件
t 0 , q0
又设沿 x 或 r 方向进行一维导热，则 2t 2t 2t t 2t 0 , 0 , 0 , 0 , 0 2 2 2 2 y z 代入热传导方程式(7-1)～式(7-1)，可简化为一维的Laplace方程， d 2t 直角坐标系 0.......... .7 4 柱坐标系 球坐标系
有内热源存在时的热传导方程为
1 t q 2t .......... ...6 27a k 式(6-27a)在不同坐标系的一般形式如下： 2 2 2 直角坐标系： 1 t t t t q 2 2 2 .......... .7 1 x y z k 柱坐标系： 2 2 1 t 1 t 1 t t q 2 .......... 72 r 2 2 r r r r z k 球坐标系： 2 1 t 1 2 t 1 t 1 t q 2 r .......... 73 2 sin 2 2 2 r r r r sin r sin k
代入式(7-9)，得
kA t1 t 2 .......... q .7 10 b
或
t1 t 2 推动力 q .......... .7 10a b 热阻 kA
由式(7-10)可知，热通量 q/A和传热速率 q是与 x 无关是常量。
(二)单层筒壁的稳态热传导 若筒壁很长，即 L>>r ，则沿轴向的导热可忽略不计，且温度 分布沿轴向对称，可认为温度仅沿径向变化。 对于无内热源的单层筒壁的一维稳态热传导，可用式(7-5)表 征热传导方程，即
t t1 t1 t 2 x.......... .7 8 b
由式(7-8)可知，平壁稳态热传导过程的温度分布为一直线。
根据Fourier 定律，通过 x 处的导热通量
q dt k .......... .7 9 A dx
将式(7-8)对 x 求导，得
dt t1 t 2 dx b
(一)物体内部的结点温度方程 将物体分割成若干个由 x、y 组成的小方格，分割线的交点 称为结点。x 及 y 的长度根据计算精度的要求选取。