导数在求极限中的应用.

引言

极限是研究变量的变化趋势的基本工具。在高等数学中许多基本概念和研究问题的方法都和极限密切相关，如函数的连续、导数、定积分和无穷级数等都是建立在极限的基本之上的。极限的思想和方法产生某些实际问题的精确解，并且对数学在实际中的应用也有着重要的作用。因此研究生考试往往把求极限问题作为考核的一个重点，而在不同的函数类型条件下所采用的求极限的技巧是各不相同的，因此大家要学会判断极限的类型，熟练和灵活的掌握各种技巧的应用。

本文主要介绍了导数在求极限中的基本应用，包括导数定义法，L’Hospital 法则，Taylor展式法及微分中值定理在求极限中的应用。旨在让大家掌握各种导数方法适用的函数类型，要注意的事项及它的一些推广结论。达到能灵活运用导数方法去求解一些极限问题以使问题简单化的目的。

第1章 导数在求极限中的基本应用

1.1 导数定义法

这种极限求法主要针对所给的极限不易求，但是函数满足导数定义的形式且能够确定的变化趋向的极限易求出时，可以用此法比较方便的求出极限.

定义 若函数()y f x =在其定义域中的一点0x 处极限

0000()()lim

lim

x x f x x f x y

x x ∆→∆→+∆-∆=∆∆ 存在，则称在0x 处可导，称此极限值为()f x 在0x 处的导数，记为0()f x '.显然，()f x 在0x 处的导数还有如下的等价定义形式：

000

()()

()lim

x x f x f x f x x x →-'=-.

下面通过两个例子让大家逐步领悟导数定义法的内涵

例1 求极限tan sin 0

lim

sin b x b x

x x

αα+-→-.

解 由于

tan sin tan sin tan sin tan sin sin b x b x

b x b b b x

x x

x

x

x

αααααα+-+----=

+

.

所以，tan sin tan sin 0

tan lim

lim

lim

sin tan sin sin b x b x

b x b b b x

x x x x

x

x

x

x

αααααα+-+-→→→---=+

ln ln 2ln b b b αααααα=+=.

例2 (本题选自《数学分析中的典型问题与方法》裴礼文.第二版.)

设(0)f k '=，试证0

0()()

lim a b f b f a k b a

-

+

→→-=-.

证明 （希望把极限式写成导数定义中的形式）

()()()(0)()(0)

f b f a b f b f a f a f b a b a b b a a

---=-

--- （拟合法思想：把要证的极限值k 写成与此式相似的形式）

b a

k k k b a b a

=

--- 两式相减，可得

()()()(0)()(0)

0f b f a b f b f a f a f k k k b a b a b b a a

---≤

-≤-+----

因0a -→，0b +→，所以有0b a >>，

1a b

b a b a

<--

又因(0)f k '=，故当0a -→，0b +→时右端极限为零，原极限获证.

1.2 L ’Hospital 法则

本节主要总结了L ’ Hospital 法则在求未定式极限中的应用，需要注意的问题，并深入分析了使用L ’ Hospital 法则时实质是对无穷小或无穷大进行降阶.另外还指出L ’ Hospital 法则与其他极限方法如无穷小的替换的结合.

1. L ’Hospital 法则

L ’Hospital 法则作为Cauchy 中值定理的重要应用，在计算未定式极限中扮演了十分重要的角色，这是因为对于未定式极限来讲极限是否存在，等于多少是不能用极限的四则运算法则解得的，而通过对分子分母求导再求极限能够很有效的计算出未定式的极限. 关于未定式：

在计算一个分式函数的极限时，常常会遇到分子分母都趋于零或都趋于无穷大的情况，由于这是无法使用“商的极限等于极限的商”的法则，运算将遇到很大的困难. 事实上，这是极限可能存在也可能不存在. 当极限存在时极限值也会

有各种各样的可能. 我们称这种类型的极限为00未定型或∞

∞

未定型. 事实上，未

定型除以上两种类型外还有0⋅∞，∞-∞，1∞，00，0∞等类型. L ’Hospital 法则： 定理[]4 若函数f 和g 满足:

① 0

lim ()lim ()0x x x x f x g x →→==；

② 在点0x 的某空心邻域00()U x 内可导，且()0g x '≠； ③ 0

()

lim

()

x x f x A g x →'='(A 可为有限数或∞)； 则0

0()()

lim

lim ()()

x x x x f x f x A g x g x →→'=='. 注：以上结论在0x x ±→，或是x →∞（包括+∞和-∞）时也是成立的.

2. L ’Hospital 法则的应用

a) L ’Hospital 法则能处理的基本未定型极限是00型或∞

∞型

例1 求lim n x x x e λ→∞（n 为正整数，0λ>）. （∞

∞

型）

解 连续使用L ’Hospital 法则n 次

122(1)!

lim lim lim

lim 0n n n x x x

n x x x x x x nx n n x n e e e e λλλλλλλ--→∞→∞→∞→∞-===⋅⋅⋅==. 从以上例中可看出L ’Hospital 法则的实质是对无穷小或无穷大进行降阶. 下面再看两个L ’Hospital 法则在解含有变限积分问题中的应用.

例2 求0

3

(1cos )lim

x

x t dt x

→-⎰.

分析：因为0(1cos )x t dt -⎰可导从而连续，所以此问题属于0

型，可用L ’Hospital

法则求解.

解 0

3

2

(1cos )(1cos )lim

lim

03x

x x t dt t dt x

x

→→--==⎰⎰.

例3 求极限1

10

()

lim x

x f t x dt t

α

α+

+→⎰，其中0α>，()f x 为闭区间[]0,1上的连续函数.