导数在求函数最值中的应用

导数在求函数最值中的应用

摘要：导数和函数最值两个知识点是历年高考的常考内容。本文整合了导数及函数最值的基本知识，以具体课堂教学为切入点，指出用求导方法求函数的最值问题时思路清晰、过程简单，并总结出利用导数求取函数最值的一般方法及应注意问题。

关键词：导数；函数最值；课堂教学

【中图分类号】g633.6

引言

在2012年全国高考新课标卷数学卷中：理科卷有两道题考查函数，一道题考查导数，合计22分。文科卷有三道题考查函数，一道题考查导数合计27分。导数、函数在高中教学过程中的重要性不言而喻。利用导数求函数最值涉及了导数和函数两大知识点，理解能够有效指导学生备战高考。

1 概论

1.1导数基本知识

一般的，我们将导数定义为：设函数 y = f（x）在点 x0 的某个域内有定义，当自变量x 在x0 处有变化△x （ x - x0 也在该邻域内）时，相应地函数变化△y = f（x） - f（x0）；如果△y 与△x 之比当△x→0 时极限存在，则称函数 y = f（x）在点x0 处可导，并称这个极限值为函数 y = f（x）在点x0 处的导数记为 f’（x0）。

1.2 函数最值的概念

一般地，在闭区间[a，b]上函数y = f（x）的图像是一条连续不断的曲线，那么函数y = f（x）在[a，b]上必有最大值与最小值。需要注意：一、函数区间必须是闭区间，在开区间里函数不一定有最值。二、函数图像必须是连续不间断的。

1.3导数在求函数最值中的应用

在高中数学中，求函数最值的方法大致有七种：配方法、不等式法、换元法、数形结合法和导数法。根据定义，在闭区间里函数最值只可能出现在极值点或端点。比较函数极值和函数端点处函数值的大小可以求函数最值，利用导数求最值有明显优势。

2 课堂教学实例

2.1 课前准备

2.1.1教学目标

教学目标：使学生能够利用导数求取函数最值

2.1.2学情分析

经过初中阶段的历练和现阶段的培养，学生可以理解利用导数求取函数最值时所涉及的一些概念和方法。函数最值问题和我们日常生活息息相关，学生学习兴趣较浓。

2.1.3教学思路

利用学生和清推理能力，讲解本课所涉及的重要概念，并理解利用导数求函数最值的优势。接下来，归纳解题思路并联系社会生活以应用题为例，引导学生利用导数求取函数最值。最后，结合该例题总结出利用导数求取函数最值的一般方法及应注意问题。

2.2 教学过程

2.2.1导入新课

在我们的学习过程中需要经常思考一些问题。比如：什么时候看书最快、怎么做花费时间最少、怎样保证学习效率最高等。这些问题正是数学领域的最值问题。

2.2.2讲授新课

重要概念及利用导数求函数最值的优势

首先，必须明确在闭区间[a，b]上的连续函数f（x）一定有最值，在开区间（a，b）内连续函数f（x）不一定有最大值与最小值。其次，最值一定是整个区间里面所有函数值的最大值或最小值。最后，函数最值是和整个定义区间的函数值相比较后得出的，而函数极值仅仅是比较极值点附近的函数值得出的。

通过求导，可以迅速得出函数在闭区间内的极值和端点处函数值，比较后即可得出最值。可见，利用导数求函数最值具有思路清晰，运算方便。

一般解题思路

第一步：求导，得出f（x）在[a，b]内的极值。第二步：将f（x）在[a，b]内各极值与f（a）、f（b）比较。

典型例题分析

某摩托车生产厂家有a，b两种型号的摩托车参加下乡补贴活动。若厂家投放a，b型号摩托车的价值分别为p，q万元，农民购买两种型号的摩托车获得的补贴分别是110p，mln（q+1）（m>0）万元。

已知该厂商把总价值为10万元的a，b两种型号摩托车投放市场，且a，b两型号的摩托车投放金额都不低于1万元。当m=25时，请你制订一个投放方案，使得在这次活动中农民得到的补贴最多，并求出其最大值；

可见，实际应用问题的解题方法为：一、找出问题中各量之间的关系，构建数学模型，根据题目要求确定定义域；二、求函数y=f（x）的导数f′（x），解方程f′（x）=0得出定义域内的实根，得出各极值点；三、比较函数在区间端点处函数值和极值点处的函数值大小，获得所求的最大（小）值。当然完成第三步后应根据具体题目作答。做题时应注意：一，给函数建模时要设出两个变量，一定要根据题目的要求分析变量之间的关系。二，把变量转化成函数关系式后，必须根据题意来确定自变量的定义域。三，运算出的结果要切合题目的实际意义

2.2.3小结

通过本课的学习，我们认识到，利用导数求函数最值思路明确，操作简单。一般步骤是：求导，得出f（x）在[a，b]内的极值。将f （x）在[a，b]内各极值与f（a）、f（b）比较，确定最值。当然，遇到题目要围绕题目要求作答。

3 结束语

本文以课堂教学实例的形式，整合了导数及函数最值的基本知识，明确了导数在求函数最值时的巨大优势，总结了出利用导数求取函数最值的一般方法及应注意问题。可以为高中学生复习函数、导数

时提供一些指导，也可以作为教师教学的参考。也正是因为以教学实例切入，难免会有一些相关知识没有深入分析，希望各位专家、同行指正。

参考文献

[1]中华人民共和国教育部.普通高中数学课程标准（实验）[s].北京：人民教育出版社，2003

[2]李玉欣，导数的几种常见用法[j].考试周刊，2009

[3]严士健，张奠宙，王尚志.普通高中数学课程标准（实验）解读[m].南京：江苏教育出版社，2004