导数在求函数最值中的应用
导数求函数最值
导数求函数最值导数是微积分中的重要概念，它能够帮助我们求解函数的最值。
函数的最值包括最大值和最小值，而导数可以告诉我们函数在某一点的斜率，通过斜率的正负性可以判断函数在该点是增函数还是减函数，从而找到函数的极值点。
下面将介绍如何利用导数来求解函数的最值。
我们需要找到函数的导数。
导数表示函数在某一点的变化率，可以通过求导数来找到函数的极值点。
一般来说，函数的极值点要么是导数为0的点，要么是导数不存在的点。
所以，我们首先需要求出函数的导数，并将导数等于0或不存在的点作为候选的极值点。
我们需要利用导数的正负性来判断极值点的类型。
如果在导数为0的点的左侧导数为正，右侧导数为负，那么这个点就是函数的局部最大值点；如果在导数为0的点的左侧导数为负，右侧导数为正，那么这个点就是函数的局部最小值点。
通过这种方法，我们可以找到函数的极值点。
除了求解函数的极值点，导数还可以帮助我们判断函数的凹凸性。
函数的凹凸性可以告诉我们函数的曲线是向上凸起还是向下凹陷。
具体来说，如果函数的二阶导数大于0，那么函数是向上凸起的；如果函数的二阶导数小于0，那么函数是向下凹陷的。
通过分析函数的凹凸性，我们可以更好地理解函数的形状。
导数还可以帮助我们求解函数的拐点。
拐点是函数曲线上的一个点，在这个点处函数的曲率发生突变。
通过求解函数的二阶导数，我们可以找到函数的拐点。
具体来说，如果函数的二阶导数在某一点发生了从正到负或从负到正的变化，那么这个点就是函数的拐点。
通过分析函数的拐点，我们可以更加全面地了解函数的性质。
总的来说，导数在求解函数的最值、凹凸性和拐点等方面起着重要作用。
通过对函数的导数进行分析，我们可以更好地理解函数的性质，并找到函数的极值点。
因此，在微积分中，导数是一个非常重要的概念，它帮助我们解决各种数学和物理问题，对于深入理解函数的行为规律起着至关重要的作用。
导数的七种应用
导数的七种应用导数是微积分里面非常重要的概念之一，它是求解函数的变化率的重要工具。
在现实世界中，各种科学领域和工程学都有着广泛的应用。
本文将介绍导数的七种应用，包括微积分学，物理学，经济学，机械工程，数学，生物学和计算机科学。
一、微积分学导数在微积分学中有各种广泛的应用，例如求解定积分以及求解复合函数的极值问题。
比如，我们可以使用梯度（即导数）来求解函数的最小值或最大值，这在实际工程中也经常用到。
二、物理学导数在物理学中也有广泛的应用，其中最重要的是用导数来求解动量。
根据动量定理，物体的动量是受速度函数的变化来决定的，而速度函数的变化正是由导数来求解的。
三、经济学导数在经济学中又有广泛的应用，例如用来求解经济的最优状态。
在经济学中，基本的决策问题都可以用导数来求解，从而找到满足所有参与者条件的最佳解决方案。
四、机械工程导数在机械工程中也有广泛的应用，最常用的就是热力学运用。
它可以用来表示流体在特定温度和压强条件下的特性，从而确定机械系统的传热量、流量及其他物理参数。
五、数学导数在数学中也有广泛的应用，例如用来求解方程组的最优解，以及线性规划问题、最小二乘问题和其他优化问题。
六、生物学导数在生物学中也有广泛的应用，主要用于研究植物的生长状况，以及植物体内及周围环境中生物活动的影响。
七、计算机科学导数在计算机科学中也发挥了重要作用，比如使用导数解决数值优化问题，以及机器学习中的梯度下降法，这都是实现机器智能的重要技术。
综上所述，导数在各种科学和工程领域有着广泛的应用。
它是一种重要的数学工具，在现实世界中有着各种各样的应用，从而改变了我们对函数变化和流体传热的认识，为探索现实世界科学规律，提供了重要依据。
利用导数求函数的极值、最值知识点讲解+例题讲解(含解析)
利用导数求函数的极值、最值一、知识梳理1.函数的极值与导数形如山峰形如山谷2.函数的最值与导数(1)函数f(x)在[a，b]上有最值的条件如果在区间[a，b]上函数y＝f(x)的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值.(2)求y＝f(x)在[a，b]上的最大(小)值的步骤①求函数y＝f(x)在(a，b)内的极值；②将函数y＝f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值二、例题精讲 + 随堂练习考点一利用导数解决函数的极值问题角度1根据函数图象判断函数极值【例1－1】已知函数f(x)在R上可导，其导函数为f′(x)，且函数y＝(1－x)f′(x)的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是()A.函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(1)B.函数f(x)有极大值f(－2)和极小值f(1)C.函数f (x )有极大值f (2)和极小值f (－2)D.函数f (x )有极大值f (－2)和极小值f (2)解析 由题图可知，当x <－2时，f ′(x )>0；当－2<x <1时，f ′(x )<0；当1<x <2时，f ′(x )<0；当x >2时，f ′(x )>0.由此可以得到函数f (x )在x ＝－2处取得极大值，在x ＝2处取得极小值. 答案 D规律方法 由图象判断函数y ＝f (x )的极值，要抓住两点：(1)由y ＝f ′(x )的图象与x 轴的交点，可得函数y ＝f (x )的可能极值点；(2)由导函数y ＝f ′(x )的图象可以看出y ＝f ′(x )的值的正负，从而可得函数y ＝f (x )的单调性.两者结合可得极值点.角度2 已知函数求极值【例1－2】 (2019·天津和平区模拟)已知函数f (x )＝ln x －ax (a ∈R ). (1)当a ＝12时，求f (x )的极值；(2)讨论函数f (x )在定义域内极值点的个数.解 (1)当a ＝12时，f (x )＝ln x －12x ，函数的定义域为(0，＋∞)且f ′(x )＝1x －12＝2－x2x ， 令f ′(x )＝0，得x ＝2，于是当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表.故f (x )在定义域上的极大值为f (x )极大值＝f (2)＝ln 2－1，无极小值. (2)由(1)知，函数的定义域为(0，＋∞)， f ′(x )＝1x －a ＝1－ax x (x >0).当a ≤0时，f ′(x )>0在(0，＋∞)上恒成立，即函数在(0，＋∞)上单调递增，此时函数在定义域上无极值点； 当a >0时，当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1a 时，f ′(x )>0，当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ，＋∞时，f ′(x )<0，故函数在x ＝1a 处有极大值.综上可知，当a ≤0时，函数f (x )无极值点， 当a >0时，函数y ＝f (x )有一个极大值点，且为x ＝1a .规律方法 运用导数求可导函数y ＝f (x )的极值的一般步骤：(1)先求函数y ＝f (x )的定义域，再求其导数f ′(x )；(2)求方程f ′(x )＝0的根；(3)检查导数f ′(x )在方程根的左右的值的符号，如果左正右负，那么f (x )在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f (x )在这个根处取得极小值.特别注意：导数为零的点不一定是极值点.角度3 已知函数的极(最)值求参数的取值 【例1－3】 (2019·泰安检测)已知函数f (x )＝ln x . (1)求f (x )图象的过点P (0，－1)的切线方程；(2)若函数g (x )＝f (x )－mx ＋mx 存在两个极值点x 1，x 2，求m 的取值范围.解 (1)f (x )的定义域为(0，＋∞)，且f ′(x )＝1x .设切点坐标为(x 0，ln x 0)，则切线方程为y ＝1x 0x ＋ln x 0－1.把点P (0，－1)代入切线方程，得ln x 0＝0，∴x 0＝1. ∴过点P (0，－1)的切线方程为y ＝x －1. (2)因为g (x )＝f (x )－mx ＋m x ＝ln x －mx ＋mx (x >0)， 所以g ′(x )＝1x －m －m x 2＝x －mx 2－mx 2＝－mx 2－x ＋m x 2，令h (x )＝mx 2－x ＋m ，要使g (x )存在两个极值点x 1，x 2，则方程mx 2－x ＋m ＝0有两个不相等的正数根x 1，x 2.故只需满足⎩⎪⎨⎪⎧h (0)>0，12m >0，h ⎝ ⎛⎭⎪⎫12m <0即可，解得0<m <12.规律方法 已知函数极值，确定函数解析式中的参数时，要注意：(1)根据极值点的导数为0和极值这两个条件列方程组，利用待定系数法求解；(2)因为导数值等于0不是此点为极值点的充要条件，所以用待定系数法求解后必须检验.【训练1】 (1)(2017·全国Ⅱ卷)若x ＝－2是函数f (x )＝(x 2＋ax －1)·e x －1的极值点，则f (x )的极小值为( ) A.－1B.－2e －3C.5e －3D.1解析 f ′(x )＝[x 2＋(a ＋2)x ＋a －1]·e x －1，则f ′(－2)＝[4－2(a ＋2)＋a －1]·e －3＝0⇒a ＝－1， 则f (x )＝(x 2－x －1)·e x －1，f ′(x )＝(x 2＋x －2)·e x －1， 令f ′(x )＝0，得x ＝－2或x ＝1， 当x <－2或x >1时，f ′(x )>0， 当－2<x <1时，f ′(x )<0，所以x ＝1是函数f (x )的极小值点， 则f (x )极小值为f (1)＝－1. 答案 A(2)(2018·北京卷)设函数f (x )＝[ax 2－(4a ＋1)x ＋4a ＋3]e x . ①若曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线与x 轴平行，求a ； ②若f (x )在x ＝2处取得极小值，求a 的取值范围. 解 ①因为f (x )＝[ax 2－(4a ＋1)x ＋4a ＋3]e x ， 所以f ′(x )＝[ax 2－(2a ＋1)x ＋2]e x .f ′(1)＝(1－a )e. 由题设知f ′(1)＝0，即(1－a )e ＝0，解得a ＝1. 此时f (1)＝3e ≠0. 所以a 的值为1.②f ′(x )＝[ax 2－(2a ＋1)x ＋2]e x ＝(ax －1)(x －2)e x .若a >12，则当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ，2时，f ′(x )<0； 当x ∈(2，＋∞)时，f ′(x )>0.所以f (x )在x ＝2处取得极小值.若a ≤12，则当x ∈(0，2)时，x －2<0，ax －1≤12x －1<0， 所以f ′(x )>0.所以2不是f (x )的极小值点. 综上可知，a 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞.考点二 利用导数求函数的最值【例2】 (2019·广东五校联考)已知函数f (x )＝ax ＋ln x ，其中a 为常数. (1)当a ＝－1时，求f (x )的最大值；(2)若f (x )在区间(0，e]上的最大值为－3，求a 的值. 解 (1)易知f (x )的定义域为(0，＋∞)，当a ＝－1时，f (x )＝－x ＋ln x ，f ′(x )＝－1＋1x ＝1－xx ， 令f ′(x )＝0，得x ＝1.当0<x <1时，f ′(x )>0；当x >1时，f ′(x )<0.∴f (x )在(0，1)上是增函数，在(1，＋∞)上是减函数. ∴f (x )max ＝f (1)＝－1.∴当a ＝－1时，函数f (x )在(0，＋∞)上的最大值为－1. (2)f ′(x )＝a ＋1x ，x ∈(0，e]，1x ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫1e ，＋∞.①若a ≥－1e ，则f ′(x )≥0，从而f (x )在(0，e]上是增函数， ∴f (x )max ＝f (e)＝a e ＋1≥0，不合题意.②若a <－1e ，令f ′(x )>0得a ＋1x >0，结合x ∈(0，e]，解得0<x <－1a；令f ′(x )<0得a ＋1x <0，结合x ∈(0，e]，解得－1a <x ≤e.从而f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－1a 上为增函数，在⎝ ⎛⎦⎥⎤－1a ，e 上为减函数，∴f (x )max ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1a ＝－1＋ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1a .令－1＋ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1a ＝－3，得ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1a ＝－2，即a ＝－e 2.∵－e 2<－1e ，∴a ＝－e 2为所求.故实数a 的值为－e 2.规律方法 1.利用导数求函数f (x )在[a ，b ]上的最值的一般步骤：(1)求函数在(a ，b )内的极值；(2)求函数在区间端点处的函数值f (a )，f (b )；(3)将函数f (x )的各极值与f (a )，f (b )比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值.2.求函数在无穷区间(或开区间)上的最值，不仅要研究其极值情况，还要研究其单调性，并通过单调性和极值情况，画出函数的大致图象，然后借助图象观察得到函数的最值.【训练2】 (2019·合肥质检)已知函数f (x )＝e x cos x －x . (1)求曲线y ＝f (x )在点(0，f (0))处的切线方程； (2)求函数f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的最大值和最小值.解 (1)∵f (x )＝e x ·cos x －x ，∴f (0)＝1， f ′(x )＝e x (cos x －sin x )－1，∴f ′(0)＝0，∴y ＝f (x )在(0，f (0))处的切线方程为y －1＝0·(x －0)， 即y ＝1.(2)f ′(x )＝e x (cos x －sin x )－1，令g (x )＝f ′(x )， 则g ′(x )＝－2e xsin x ≤0在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上恒成立， 且仅在x ＝0处等号成立， ∴g (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上单调递减，∴g (x )≤g (0)＝0，∴f ′(x )≤0且仅在x ＝0处等号成立， ∴f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上单调递减， ∴f (x )max ＝f (0)＝1，f (x )min ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝－π2.考点三 利用导数求解最优化问题【例3】 (2018·衡水中学质检)在某次水下科研考察活动中，需要潜水员潜入水深为60米的水底进行作业，根据以往经验，潜水员下潜的平均速度为v (米/单位时间)，每单位时间的用氧量为⎝ ⎛⎭⎪⎫v 103＋1(升)，在水底作业10个单位时间，每单位时间用氧量为0.9(升)，返回水面的平均速度为v2(米/单位时间)，每单位时间用氧量为1.5(升)，记该潜水员在此次考察活动中的总用氧量为y (升). (1)求y 关于v 的函数关系式；(2)若c ≤v ≤15(c >0)，求当下潜速度v 取什么值时，总用氧量最少.解 (1)由题意，下潜用时60v (单位时间)，用氧量为⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫v 103＋1×60v ＝3v 250＋60v (升)，水底作业时的用氧量为10×0.9＝9(升)，返回水面用时60v 2＝120v (单位时间)，用氧量为120v ×1.5＝180v (升)，因此总用氧量y ＝3v 250＋240v ＋9(v >0).(2)y ′＝6v 50－240v 2＝3（v 3－2 000）25v 2，令y ′＝0得v ＝1032，当0<v <1032时，y ′<0，函数单调递减； 当v >1032时，y ′>0，函数单调递增.若c <1032 ，函数在(c ，1032)上单调递减，在(1032，15)上单调递增，∴当v ＝1032时，总用氧量最少. 若c ≥1032，则y 在[c ，15]上单调递增， ∴当v ＝c 时，这时总用氧量最少.规律方法 1.利用导数解决生活中优化问题的一般步骤：(1)设自变量、因变量，建立函数关系式y ＝f (x )，并确定其定义域； (2)求函数的导数f ′(x )，解方程f ′(x )＝0；(3)比较函数在区间端点和f ′(x )＝0的点的函数值的大小，最大(小)者为最大(小)值；(4)回归实际问题作答.2.如果目标函数在定义域内只有一个极值点，那么根据实际意义该极值点就是最值点.三、课后练习1.(2019·郑州质检)若函数y ＝f (x )存在n －1(n ∈N *)个极值点，则称y ＝f (x )为n 折函数，例如f (x )＝x 2为2折函数.已知函数f (x )＝(x ＋1)e x －x (x ＋2)2，则f (x )为( ) A.2折函数 B.3折函数 C.4折函数D.5折函数解析 f ′(x )＝(x ＋2)e x －(x ＋2)(3x ＋2)＝(x ＋2)(e x －3x －2)，令f ′(x )＝0，得x ＝－2或e x ＝3x ＋2. 易知x ＝－2是f (x )的一个极值点，又e x ＝3x ＋2，结合函数图象，y ＝e x 与y ＝3x ＋2有两个交点.又e －2≠3(－2)＋2＝－4.∴函数y ＝f (x )有3个极值点，则f (x )为4折函数. 答案 C2.若函数f (x )＝2x 2－ln x 在其定义域的一个子区间(k －1，k ＋1)内存在最小值，则实数k 的取值范围是________.解析 因为f (x )的定义域为(0，＋∞)，又因为f ′(x )＝4x －1x ，所以由f ′(x )＝0解得x ＝12，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧k －1<12<k ＋1，k －1≥0，解得1≤k <32.答案 ⎣⎢⎡⎭⎪⎫1，323.(2019·杭州质检)传说中孙悟空的“如意金箍棒”是由“定海神针”变形得来的.这定海神针在变形时永远保持为圆柱体，其底面半径原为12 cm 且以每秒1 cm 等速率缩短，而长度以每秒20 cm 等速率增长.已知神针的底面半径只能从12 cm 缩到4 cm ，且知在这段变形过程中，当底面半径为10 cm 时其体积最大.假设孙悟空将神针体积最小时定形成金箍棒，则此时金箍棒的底面半径为________ cm. 解析 设神针原来的长度为a cm ，t 秒时神针的体积为V (t ) cm 3， 则V (t )＝π(12－t )2·(a ＋20t )，其中0≤t ≤8， 所以V ′(t )＝[－2(12－t )(a ＋20t )＋(12－t )2·20]π.因为当底面半径为10 cm 时其体积最大，所以10＝12－t ，解得t ＝2，此时V ′(2)＝0，解得a ＝60，所以V (t )＝π(12－t )2·(60＋20t )，其中0≤t ≤8.V ′(t )＝60π(12－t )(2－t )，当t ∈(0，2)时，V ′(t )>0，当t ∈(2，8)时，V ′(t )<0，从而V (t )在(0，2)上单调递增，在(2，8)上单调递减，V (0)＝8 640π，V (8)＝3 520π，所以当t ＝8时，V (t )有最小值3 520π，此时金箍棒的底面半径为4 cm.答案 44.设f (x )＝x ln x －ax 2＋(2a －1)x (常数a >0). (1)令g (x )＝f ′(x )，求g (x )的单调区间；(2)已知f (x )在x ＝1处取得极大值，求实数a 的取值范围. 解 (1)由f ′(x )＝ln x －2ax ＋2a ， 可得g (x )＝ln x －2ax ＋2a ，x ∈(0，＋∞). 所以g ′(x )＝1x －2a ＝1－2ax x . 又a >0，当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12a 时，g ′(x )>0，函数g (x )单调递增，当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12a ，＋∞时，g ′(x )<0，函数g (x )单调递减.∴函数y ＝g (x )的单调递增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12a ，单调递减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫12a ，＋∞.(2)由(1)知，f ′(1)＝0.①当0<a <12时，12a >1，由(1)知f ′(x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12a 内单调递增，可得当x ∈(0，1)时，f ′(x )<0，当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫1，12a 时，f ′(x )>0.所以f (x )在(0，1)内单调递减，在⎝ ⎛⎭⎪⎫1，12a 内单调递增. 所以f (x )在x ＝1处取得极小值，不合题意.②当a ＝12时，12a ＝1，f ′(x )在(0，1)内单调递增，在(1，＋∞)内单调递减，所以当x ∈(0，＋∞)时，f ′(x )≤0，f (x )单调递减，不合题意.③当a >12时，0<12a <1，当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12a ，1时，f ′(x )>0，f (x )单调递增，当x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )<0，f (x )单调递减.所以f (x )在x ＝1处取极大值，符合题意. 综上可知，实数a 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞.。
高中数学根据导数求函数的最值问题解题技巧总结
高中数学根据导数求函数的最值问题解题技巧总结在高中数学中，根据导数求函数的最值是一个常见的考点。
这类问题要求我们通过求函数的导数，找到函数的极大值或极小值点，从而确定函数的最值。
下面我将总结一些解题技巧，帮助高中学生和他们的父母更好地应对这类问题。
一、寻找函数的极值点在解决根据导数求函数最值问题时，首先需要找到函数的极值点。
一般来说，函数的极值点就是函数的导数等于零的点，即函数的驻点。
我们可以通过以下步骤来找到函数的极值点：1. 求函数的导数。
根据问题给出的函数，我们可以先对其求导数。
例如，对于函数f(x)，我们可以求得它的导函数f'(x)。
2. 解方程f'(x) = 0。
将求得的导函数f'(x)置零，解方程求得函数的驻点。
这些驻点就是函数的极值点。
需要注意的是，有时候函数的极值点可能还存在于函数的定义域的边界处，所以我们还需要将边界处的点也考虑进去。
二、判断极值点的性质找到函数的极值点后，我们需要进一步判断这些点的性质，即确定它们是极大值点还是极小值点。
这里有两种常见的方法：1. 使用导数的符号表。
我们可以通过绘制导数的符号表来判断极值点的性质。
具体做法是，在函数的定义域上选择几个代表性的点，代入导数f'(x)的值，然后根据导数的正负确定函数在这些点附近的增减性。
如果导数从正变负，那么这个点就是极大值点；如果导数从负变正，那么这个点就是极小值点。
2. 使用二阶导数。
二阶导数可以帮助我们更准确地判断极值点的性质。
具体做法是，求得函数的二阶导数f''(x)，然后将极值点代入二阶导数。
如果二阶导数大于零，那么这个点就是极小值点；如果二阶导数小于零，那么这个点就是极大值点。
三、举一反三根据导数求函数的最值问题不仅仅局限于求解极值点，还可以应用到其他类型的函数中。
下面举一个例子来说明。
例题：求函数f(x) = x^3 - 3x^2 + 2x的最大值和最小值。
利用导数求解函数的单调性与最值问题
利用导数求解函数的单调性与最值问题在微积分学中，导数是一个重要的概念，它被应用于许多实际问题的解决中。
本文将重点讨论如何利用导数来求解函数的单调性及最值问题。
1. 导数的定义导数描述了函数f(x)在某一点x处的变化率。
它的定义为：f'(x) = lim Δx→0 [f(x+Δx) - f(x)]/Δx其中Δx表示x的增量，f(x+Δx)-f(x)表示y的增量，f'(x)表示函数f(x)在点x处的导数。
2. 求解单调性问题当函数f(x)单调递增时，其导数f'(x)>0；当函数f(x)单调递减时，其导数f'(x)<0。
因此，我们可以利用导数的正负性来判断函数的单调性。
例如，对于函数f(x)=x^2，在x>0时它单调递增，而在x<0时它单调递减。
我们可以通过求导得到它的导数：f'(x) = 2x当x>0时，f'(x)>0；当x<0时，f'(x)<0。
因此，函数f(x)=x^2在x>0时单调递增，在x<0时单调递减。
3. 求解最值问题函数f(x)在x处取得最大值或最小值，等价于在点x处的导数为0，或者在点x处的导数不存在。
因此，求解函数f(x)的最值问题，我们需要先求出它的导数f'(x)，然后令f'(x)=0求出x的值，即可得到函数f(x)的极值点。
最后，再对这些极值点进行比较，就可以确定函数f(x)的最大值和最小值。
例如，对于函数f(x)=x^3-3x+5，我们可以先求出它的导数：f'(x) = 3x^2-3令f'(x)=0，解得x=±1。
这两个点即为函数f(x)的极值点。
我们还需要判断它们是否是函数的最值点。
当x=1时，f''(x)=6>0，说明f(x)在x=1处取得极小值；当x=-1时，f''(x)=-6<0，说明f(x)在x=-1处取得极大值。
导数的七种应用
导数的七种应用
导数是一个重要的数学概念，它表达了函数变化的方式。
由于它可以描述函数之间的关系，所以它在几乎所有的数学和科学领域中都有应用。
导数的七种应用是：
一、用于估算
导数可以用来估算函数的极值，从而使我们能够得出函数的极值点。
此外，还可以用导数来估算函数在任意点处的变化率。
二、用于求极值
使用导数，可以求出函数在某一点处的极值。
这使得可以确定某函数的最大值和最小值，以及求解它们所在的位置。
三、用于求解微分方程
导数也可以用来求解微分方程。
因为微分方程的形式是表示函数变化率的方程，所以它可以使用导数来求解。
四、用于图像的拟合
导数可以用来拟合任意函数的图像。
只需要知道函数的形式，就可以用导数来拟合图像。
五、用于求局部极大值或极小值
导数可以用来求局部极大值或极小值。
这是因为可以通过函数的导数来确定其极大值和极小值的位置。
六、用于解决线性递增/递减问题
通过导数，可以解决线性递增/递减问题。
这是由于递增/递减函数的导数表示其变化率，所以可以根据导数求解此类问题。
七、用于求微分
导数也可以用来求微分。
微分是求函数图像在某一点处的斜率，因此可以使用导数来求微分。
从上面我们可以看出，导数有着众多的应用，涵盖了数学和科学领域的众多研究领域。
运用它们，可以解决各种复杂问题，为科学和数学探索做出重要贡献。
利用导数解决最值问题
利用导数解决最值问题导数是微积分中一个非常重要的概念，它不仅可以用来求函数的斜率，还可以用来解决最值问题。
利用导数求函数的最大值和最小值是微积分中一个常见的应用。
本文将介绍如何利用导数来解决最值问题，包括求函数的极值点和边界点，以及判断最值是否存在的条件。
在解决最值问题前，我们首先需要了解什么是导数。
导数可以理解为函数在某一点的瞬时变化率，表示函数在该点的斜率。
通过求导数，我们可以知道函数的变化趋势，从而得出函数的最值。
首先，我们来看一下求函数的极值点的方法。
极值点包括最大值和最小值。
为了求函数的极值点，我们需要先求出函数的导数，然后再求得导数为零的点，即导数的零点。
这些点就是原函数的极值点。
设函数为f(x)，则其导数为f'(x)。
假设我们要求函数f(x) = x^2的极值点。
我们首先计算出它的导数f'(x) = 2x。
然后，我们令f'(x) = 0，解方程得到x = 0。
因此，函数f(x)的极值点为x = 0。
接下来，让我们来看一下如何求函数的边界点。
边界点是函数定义域的端点。
对于一个闭区间[a, b]上的函数，其边界点就是a和b。
我们需要将这些边界点与函数的极值点进行比较，找出最大值和最小值。
举一个例子，假设我们要求函数f(x) = x^2在闭区间[-1, 1]上的最值。
我们首先计算出函数的导数f'(x) = 2x。
然后，我们将闭区间的边界点a = -1和b = 1代入导数，得到f'(-1) = -2和f'(1) = 2。
因此，函数的最小值为f(-1) = (-1)^2 = 1，最大值为f(1) = 1^2 = 1。
所以在闭区间[-1, 1]上，函数f(x)的最值都是1。
除了求得导数为零的点和边界点之外，我们还需要考虑最值是否存在的条件。
最值存在的条件有两个：一是函数在这些点上有定义，二是函数在这些点的左侧和右侧的导数符号相反。
举一个例子来说明这个条件。
导数在函数极值中的应用例题和知识点总结
导数在函数极值中的应用例题和知识点总结在数学的广袤天地中，导数无疑是一座连接函数性质与实际应用的重要桥梁。
而在函数的研究中，极值问题又占据着关键地位。
通过导数来求解函数的极值，不仅能让我们更深入地理解函数的变化规律，还能为解决实际问题提供有力的工具。
接下来，我们将通过具体的例题和详细的知识点总结，来探讨导数在函数极值中的应用。
一、知识点回顾1、导数的定义函数＼（y ＝ f(x)＼）在＼（x ＝ x_0\）处的导数＼（f'（x_0)＼）定义为：＼（f'（x_0) ＝＼lim_{＼Delta x ＼to 0} ＼frac{f(x_0 ＋＼Delta x) f(x_0)｝｛＼Delta x}＼）2、导数的几何意义导数＼（f'（x_0)＼）表示函数＼（y ＝ f(x)＼）在＼（x ＝ x_0\）处的切线斜率。
3、函数的单调性与导数的关系若＼（f'（x) ＞ 0\），则函数＼（f(x)＼）在区间内单调递增；若＼（f'（x) ＜ 0\），则函数＼（f(x)＼）在区间内单调递减。
4、函数的极值设函数＼（f(x)＼）在＼（x_0\）处可导，且在＼（x_0\）处附近左增右减，则＼（x_0\）为函数的极大值点，＼（f(x_0)＼）为极大值；若在＼（x_0\）处附近左减右增，则＼（x_0\）为函数的极小值点，＼（f(x_0)＼）为极小值。
5、求函数极值的步骤（1）求导数＼（f'（x)＼）；（2）解方程＼（f'（x) ＝ 0\），求出函数的驻点；（3）分析驻点左右两侧导数的符号，确定极值点；（4）将极值点代入函数，求出极值。
二、例题讲解例 1：求函数＼（f(x) ＝ x^3 3x^2 ＋ 1\）的极值。
解：首先，对函数求导：＼（f'（x) ＝ 3x^2 6x\）令＼（f'（x) ＝ 0\），即＼（3x^2 6x ＝ 0\），解得＼（x ＝ 0\）或＼（x ＝ 2\）当＼（x ＜ 0\）时，＼（f'（x) ＞ 0\），函数单调递增；当＼（0 ＜ x ＜ 2\）时，＼（f'（x) ＜ 0\），函数单调递减；当＼（x ＞ 2\）时，＼（f'（x) ＞ 0\），函数单调递增。
利用导数研究函数的极值最值
利用导数研究函数的极值最值导数是研究函数的极值、最值的重要工具之一、通过计算函数的导数，我们可以找到函数的临界点，进而确定函数的极值和最值。
极值是函数在定义域内取得的最大值或最小值。
极大值是函数在其中一点上取得的最大值，极小值是函数在其中一点上取得的最小值。
首先，我们可以通过计算函数的导数来找到函数的临界点。
临界点是函数导数等于0的点，也包括导数不存在的点。
然后，通过进一步的分析，可以确定临界点中的极值点。
假设函数f(x)在区间[a,b]上连续且可导。
首先，我们需要计算函数f(x)的导数f'(x)。
然后，我们找出导数f'(x)等于0的点，这些点就是函数f(x)的临界点。
接下来，我们进一步分析导数f'(x)的符号。
在临界点两侧，如果导数f'(x)由正变负，则表明在该点上函数f(x)取得极大值；如果导数f'(x)由负变正，则表明在该点上函数f(x)取得极小值。
当然，也可能存在导数f'(x)不存在的点，这些点也是函数的临界点。
最值是函数在定义域内取得的最大值或最小值。
最大值是函数在定义域内所有点上取得的最大值，最小值是函数在定义域内所有点上取得的最小值。
通过求解函数的导数，我们可以找到函数的临界点。
然后，通过分析函数在临界点、定义域的边界点和导数不存在的点上的取值，可以确定函数的最值。
当函数在闭区间[a,b]上连续时，最大值和最小值一定在定义域的边界点上或者在临界点上取得。
因此，在求解函数最值时，我们需要计算函数在闭区间的端点上的取值，并将其和临界点上的取值相比较。
需要注意的是，导数仅能帮助我们找到函数的临界点，但临界点未必都是极值点。
为了判断极值点是否为极大值或极小值，我们还需要进行二阶导数测试。
如果二阶导数大于0，则表示该点为极小值；如果二阶导数小于0，则表示该点为极大值；如果二阶导数等于0，则需要进行其他方法的分析。
总之，利用导数研究函数的极值、最值是一种有效的方法。
导数在高中数学中的应用_数学教育
导数在高中数学中的应用_数学教育
导数是高中数学中非常重要的一章节，它不仅具有重要的理论
意义，而且在实际应用中也发挥着巨大的作用。
以下列举了一些导
数在高中数学中的应用：
1. 极值问题：通过求导数可得到函数的极值，即最值。
在应用
中常常需要求某个量的最大值或最小值，例如对于一个正方形，我
们需要求出其面积的最大值，就可以通过对正方形的边长求导得到。
2. 切线和法线：通过求导数我们可以得到某一点处的切线方程
及其斜率，同时又可以得到该点处的法线方程及其斜率，这对于研
究曲线的性质十分有用。
3. 曲率问题：导数还可以用来求曲线在某一点处的曲率，由此
可以得到曲线的曲率半径等重要参数，同时也可以帮助我们了解曲
线的形状。
4. 泰勒展开：泰勒展开是一种重要的数学工具，它可以利用函
数在某一点处的导数来逼近函数的值，从而在数值计算中起到非常
重要的作用。
总之，在高中数学中学习导数，不仅可以帮助我们深刻理解函
数的性质，同时也为我们今后的学习和工作打下了坚实的基础。
求极值的方法与技巧
求极值的方法与技巧求极值是数学中的重要问题，涉及到函数的最大值和最小值。
在解决求极值的问题时，有一些常用的方法和技巧可以帮助我们更好地处理。
一、导数法求极值最常用的方法之一就是导数法。
导数是函数变化率的一种测量方式，通过求函数的导数，可以找到函数的临界点，即函数取得极值的点。
1.寻找导数为零的点极值点在导函数为零的点上，因此可以通过求导数，令导数等于零并解方程，得到函数的极值点。
求导数时，需要注意函数定义域和导数存在的条件。
2.寻找导数不存在的点导数不存在的点也可能是函数的极值点，可以通过求导数，找到函数导数不存在的点。
3.寻找导数符号变化的点如果函数在其中一区间内导数的符号发生变化，那么这个区间内一定存在极值点。
可以通过列出导数符号变化的条件，找到极值点所在的区间。
二、函数图像法函数图像是函数性质的直观表达。
通过观察函数的图像特征，可以找到函数的极值点。
1.求函数的零点函数零点是函数与横轴交点的横坐标，也是函数的极值点。
可以通过求解函数的零点，得到函数的极值点。
2.寻找函数上下凹区域函数在上凹区域和下凹区域会有极值点存在。
可以通过函数的二阶导数（二阶导数大于零的区域为上凹区域，小于零的区域为下凹区域）找到函数的凹凸性，从而确定极值点所在的区域。
3.观察振荡特征如果函数在其中一区间内振荡变化，那么该区间内一定存在极值点。
可以通过观察函数的振荡特征，找到函数的极值点。
三、辅助工具法除了导数法和函数图像法外，还可以借助辅助工具来求极值。
1.使用微积分软件微积分软件可以帮助我们对函数进行求导和求积等计算，大大简化了求极值的过程。
可以通过微积分软件的计算功能，得出函数的极值点。
2.英文和图表分析有时，通过阅读相关文献或分析数据图表，我们可以发现规律，从而找到函数的极值点。
这种方法可以在应用领域中得到广泛应用。
总结起来，求取极值的方法与技巧主要包括导数法、函数图像法和辅助工具法。
其中，导数法是求解极值最常用的方法，通过求函数的导数，找到其临界点即为极值点；函数图像法通过观察函数图像特征、求函数的零点和凹凸区域来找到极值点；辅助工具法则借助于微积分软件、英文和图表分析等辅助工具来求解极值。
导数在函数中的应用
导数在函数中的应用
现代社会中，微积分在各个领域都有着广泛的应用，而其中最重要的就是导数的应用。
导数可以帮助我们研究函数的变化趋势，可以提供有关函数的关键信息，它在科学、工程、数学、物理等众多领域有着重要的作用。
首先，导数可以用来确定函数的极值，即求解函数的最大值和最小值。
函数的极值是指函数在定义域内所取得的最大值或最小值，利用导数可以轻松地求出函数的极值。
其次，导数可以用来分析函数的变化趋势，即函数图像的上升或下降速度。
函数的变化趋势是指函数在定义域内的变化状况，其中导数可以用来描述函数的变化速度，可以帮助我们更清楚地了解函数的变化趋势。
此外，导数可以用来解决最优化问题，即找出某一函数的最优解。
最优化问题是指在一定条件下，求出能够使函数取得最大值或最小值的解，用导数可以计算出函数的极值，从而可以找出函数的最优解。
最后，导数还可以用来研究函数的变化率，即求出函数在某一点的变化率。
函数的变化率是指函数在某一点的变化率，其中导数可以用来描述函数在某一点的变化率，可以帮助我们更清楚地了解函数的变化状况。
总之，导数在函数中有着重要的作用，它可以用来求解函数的极值、分析函数的变化趋势、解决最优化问题和研究函数的变化率，它在各个领域都有着重要的作用。
3.3导数在函数中的应用(极值与最值)
科 目数学 年级 高三 备课人 高三数学组 第 课时 3.3导数在函数中的应用（极值与最值）考纲定位 会利用导数求函数的极值及最值；会区分函数极值与最值之间的区别.【考点整合】1、导数与函数极值的关系：（设()f x 在x a =附近有定义，且存在导函数()f x '） 函数()f x 在x a =处有极大值 函数()f x 在x a =处有极小值 定义定义 （1）x a 在的左边时，有()f x ' 0；（1）x a 在的右边时，有()f x ' 0；（2）x a 在的左边时，有()f x ' 0； （2）x a 在的右边时，有()f x ' 0； 图象图象2、判断下列语句的真假性:(1)函数在某区间上的极大值一定是最大值；（ ）(2)函数在某区间上的极大值一定比极小值大；（ ）(3)函数()y f x =在区间(,)a b 上一定存在最值；（ ）(4)函数()y f x =在区间[,]a b 上的最大值是(),()f a f b 和全体极值中最大的一个；（ ）(5)若0()0f x '=，则函数()y f x =在0x x =处取极值.（ ）【典型例题】一、求函数的极值点1、如果()y f x =的导函数()y f x '=的图象如图所示，给出下列判断：（1）()y f x =在(,2)-∞上单调递增；（2）()y f x =在(0,2)上单调递增；（3）2x =-时，()f x 有极大值；（4）0x =时，()f x 有极大值；（5）2x =时，()f x 有极大值；则上述判断正确的是 .2、函数32()39f x x ax x =++-在3x =-处取得极值，则a =（ ）A.2B.3C.4D.5二、求函数的极值与最值3、（2012 江苏 改编）已知函数32()f x x ax bx =++在1,1x x =-=时都取得极值.（1）求,a b 的值； （2）求函数()f x 在区间[-2,2]上的最值.三、高考真题演练4、（2012 湖南）函数)sin()(ϕω+=x x f 的导函数)(x f y '=的部分图象如图所示，其中，P 为图象与y 轴的交点，C A ,为图象与x 轴的两个交点，B 为图象的最低点．若6πϕ=，点P 的坐标为)233,0(，则=ω ；5、（2012 陕西）设函数()x f x xe =，则（ ）A.1x =为()f x 的极大值点B.1x =为()f x 的极小值点C.1x =-为()f x 的极大值点D.1x =-为()f x 的极小值点6、（2012 江西）设3211()232f x x x ax =-++. （1）若()f x 在2(,)3+∞上存在单调增区间，求a 的范围；（2）当02a <<时，()f x 在[1,4]上的最小值为163-，求()f x 在该区间上的最大值.【作业】《胜券在握》P26页 第1，2题【课后反思】。
数学解决函数极值的三种方法
数学解决函数极值的三种方法函数的极值指的是函数在某个区间内取得的最大值或最小值。
求解函数的极值是数学中的重要问题之一，有着广泛的应用。
本文将介绍三种常用的数学方法来解决函数的极值问题。
一、导数法导数法是求解函数极值最常用的方法之一。
该方法基于导数的性质，通过求函数的导数来研究函数在不同点的变化情况。
假设函数f(x)在[a, b]区间内连续可导。
下面是求解函数极值的步骤：1. 求出函数f(x)的导数f'(x)。
2. 求出导数f'(x)的零点，即解方程f'(x) = 0。
3. 求出[a, b]区间内导数f'(x)的极值点，即对导数f'(x)求导，得到f''(x)，再求出f''(x) = 0的解。
4. 将[a, b]区间内得到的所有解代入原函数f(x)中，得出这些点对应的函数值。
5. 比较得出的函数值，找出最大值和最小值。
导数法求解函数极值的优点是简单易懂，只需要求导和解方程，相对较快。
但该方法的缺点是依赖函数的可导性，对于非连续或不可导的函数不适用。
二、一元二次函数法一元二次函数法是解决函数极值问题的另一种常用方法。
该方法适用于形如f(x) = ax² + bx + c的二次函数。
下面是使用一元二次函数法求解函数极值的步骤：1. 将函数f(x)化为顶点形式，即使用平方完成或配方法将函数转化为f(x) = a(x-h)² + k的形式。
2. 根据一元二次函数的性质，当a>0时，函数在顶点(h, k)处取得最小值；当a<0时，函数在顶点(h, k)处取得最大值。
3. 找出顶点的横坐标h，即x = -b/2a。
代入f(x)，求得函数的极值。
一元二次函数法的优点是适用范围广，并且可以直观地得到函数的极值点。
但对于不是二次函数的情况，该方法并不适用。
三、二阶导数法二阶导数法是一种更加精确的求解函数极值的方法。
利用导数求解函数的极值与最值
利用导数求解函数的极值与最值函数的极值与最值是高中数学中的重要概念之一。
在数学中，我们通过求函数的导数来研究函数的极值与最值。
本文将详细讨论如何利用导数求解函数的极值与最值的方法。
一、函数的极值当函数在某一点处的导数等于零或者不存在时，该点可能为函数的极值点。
具体而言，我们可根据导数的符号变化来判断函数的极值。
1. 当导数的符号从正变负时，函数在该点处取得极大值；2. 当导数的符号从负变正时，函数在该点处取得极小值；3. 当导数的符号不变，或者导数不存在时，函数在该点处可能为极值点，需通过其他方法进行判断。
二、求解函数的极值的步骤下面我们将通过一个具体的例子来介绍如何求解函数的极值。
例：求函数f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x的极值。
步骤一：求导数首先，对函数f(x)求导数，得到f'(x) = 3x^2 - 12x + 9。
步骤二：解方程f'(x) = 0，得到导数等于零的解对f'(x) = 0进行因式分解，得到(3x - 3)(x - 3) = 0。
解得x = 1或x = 3。
步骤三：求解极值将求得的解代入原函数f(x)，计算函数值。
当x = 1时，f(1) = 1^3 - 6(1)^2 + 9(1) = 4；当x = 3时，f(3) = 3^3 - 6(3)^2 + 9(3) = 0。
根据我们上文对导数符号变化的判断方法，我们可得出以下结论：当x = 1时，函数取得极小值；当x = 3时，函数取得极大值。
三、函数的最值函数的最值可以通过求解函数的极值来得到。
通常情况下，我们还需要考虑函数在定义域的端点处的取值。
例：求函数f(x) = 2x^2 - 4x + 1在区间[0, 2]上的最大值和最小值。
步骤一：求导数对函数f(x)求导数，得到f'(x) = 4x - 4。
步骤二：求解极值将导数f'(x) = 0，解得x = 1。
步骤三：求解函数在区间端点处的取值将x = 0和x = 2代入原函数f(x)，计算函数值。
3.3 导数在函数最值中的应用
令f′(x)>0，得x>1.
令f′(x)<0，得0<x<1.
∴f(x)在x＝1处取得极小值也是最小值，
f(1)＝12－ln 1＝12.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13
第二十三页，编辑于星期六：四点 六分。
3.(2016·宜昌模拟)已知y＝f(x)是奇函数，当x∈(0,2)时，f(x)＝ln x－ax(a> )，
第十九页，编辑于星期六：四点 六分。
第二十页，编辑于星期六：四点 六分。
当堂检测
第二十一页，编辑于星期六：四点 六分。
A
第二十二页，编辑于星期六：四点 六分。
2.(2017·哈尔滨调研)函数f(x)＝ x2－1ln x的最小值为 2
答案 解析
√A. 12
B.1
C.0
D.不存在
f′(x)＝x－1x＝x2－x 1且 x>0.
第二页，编辑于星期六：四点 六分。
目标锁定：
1.会判断函数在某个区间的单调性，并会用 单调性求函数的最值（其中多项式函数一般 不超过三次）；
2.会求闭区间上函数的最大值、最小值 （其中多项式一般不超过三次）.
第三页，编辑于星期六：四点 六分。
学法指导
• 1、应用导数讨论函数的单调性，会用单 调性求函数的最值；2、应用导数讨论函 数的单调性并会根据函数的性质求参数范 围；3、会用导数解决某些实际问题。
当x∈(12－2,0)时，f(x)的最小值为1，则a的值等于
答案 解析
1 A.4
1 B.3
1 C.2
√D.1
由题意知，当x∈(0,2)时，f(x)的最大值为－1.
令 f′(x)＝1x－a＝0，得 x＝1a， 当 0<x<1a时，f′(x)>0；
高中数学知识点总结导数的应用之函数的极值与最值
高中数学知识点总结导数的应用之函数的极值与最值高中数学知识点总结：导数的应用之函数的极值与最值在高中数学中，导数是一个重要的概念和工具，它被广泛应用于各个数学领域。
其中的一个应用就是求解函数的极值与最值。
本文将针对这一知识点进行总结和讨论。
I. 导数和极值函数的极值指的是函数在某个区间上的最大值或最小值。
在求解极值问题时，我们可以利用导数的性质来进行分析和计算。
下面是一些常见的求解函数极值的方法：1. 极值的必要条件若函数f(x)在x=a处取得极值，那么导数f'(a)存在，且f'(a)=0，或者导数不存在（函数在该点有间断点或者不可导）。
2. 极值的充分条件若函数f(x)在x=a点的左右两侧导数符号相反，即f'(a-)和f'(a+)异号，那么f(x)在x=a处取得极值。
- 若f'(a-)>0且f'(a+)<0，那么极值为极大值；- 若f'(a-)<0且f'(a+)>0，那么极值为极小值。
3. 临界点和拐点临界点是指导数为零或不存在的点，对于一元函数来说，临界点多对应于函数的极值点。
拐点是指在函数图像上出现凹凸性突变的点，即曲线的凸度方向改变的点。
II. 求解函数的极值步骤在应用导数求解函数极值时，一般需要按照以下步骤进行：1. 求取函数f(x)的导数f'(x)。
2. 解方程f'(x)=0，求得导数为零的临界点。
3. 利用极值的充分条件，对临界点进行分析判断。
4. 若需要，进一步计算临界点处的函数值和边界点处的函数值进行比较。
5. 得到函数的极值。
III. 求解函数的最值函数的最大值和最小值称为最值，求解最值问题需要考虑函数的定义域和导数的变化情况。
下面是一些常见的求解函数最值的方法：1. 函数在开区间内求最值若函数f(x)在开区间(a, b)内进行求最大值，我们需要进行以下步骤：- 求取函数f(x)的导数f'(x)。
函数最值的求解方法及应用
函数最值的求解方法及应用函数最值问题是数学中常见且重要的问题。
函数的最值包括最大值和最小值，通常涉及函数的图像及其性质。
本文将介绍几种常见的函数最值的求解方法，并通过实例说明其应用。
一、函数最值的求解方法1.导数法导数法是求函数最值的常用方法。
对于定义在闭区间[a,b]上的函数f(x)，其最值一定发生在函数的驻点或者区间的端点处。
-首先，求出f(x)的导数f'(x)。
-然后，求出f'(x)=0的解，即找到函数的驻点。
-最后，比较函数在驻点及端点处的取值，找到最大值和最小值。
2.二次函数的最值对于二次函数f(x)=ax^2+bx+c（a≠0），可以通过求导数的方法得到它的最值。
- 首先，求出f'(x)=2ax+b=0的解，即找到函数的驻点。
-如果a>0，则驻点为极小值点，此时f(x)的最小值为f(驻点)。
-如果a<0，则驻点为极大值点，此时f(x)的最大值为f(驻点)。
3.梯度下降法梯度下降法是一种可用于求解无约束最优化问题的迭代算法。
它的基本思想是通过迭代的方式逐步接近函数的最值。
-首先，选择任意一个起始点x_0。
-然后，根据函数的梯度(即导数的向量)，沿着梯度的反方向更新参数x。
-重复上述步骤，直到满足停止条件为止。
二、函数最值的应用1.经济学中的应用函数最值在经济学中有重要的应用。
例如，生产函数描述了产出与生产要素之间的关系，通过求函数最值可以确定生产要素的最佳配置方案，实现最大化的产出。
供求函数描述了市场上商品的供给和需求关系，通过求函数最值可以确定市场的平衡价格和数量。
2.优化问题的求解优化问题是数学中的一个重要分支，涉及到在一定约束条件下求解一些目标函数的最值。
例如，在资源有限的情况下，如何合理分配资源以最大化利润或最小化成本是一个常见的优化问题。
3.最大似然估计最大似然估计是概率统计中的一种参数估计方法，通过求解似然函数的最值来选择模型的参数。
似然函数描述了给定参数下观测数据出现的可能性，通过求似然函数的最大值可以得到最优的参数估计值。
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导数在求函数最值中的应用
摘要：导数和函数最值两个知识点是历年高考的常考内容。
本文整合了导数及函数最值的基本知识，以具体课堂教学为切入点，指出用求导方法求函数的最值问题时思路清晰、过程简单，并总结出利用导数求取函数最值的一般方法及应注意问题。
关键词：导数；函数最值；课堂教学
【中图分类号】g633.6
引言
在2012年全国高考新课标卷数学卷中：理科卷有两道题考查函数，一道题考查导数，合计22分。
文科卷有三道题考查函数，一道题考查导数合计27分。
导数、函数在高中教学过程中的重要性不言而喻。
利用导数求函数最值涉及了导数和函数两大知识点，理解能够有效指导学生备战高考。
1 概论
1.1导数基本知识
一般的，我们将导数定义为：设函数 y = f（x）在点 x0 的某个域内有定义，当自变量x 在x0 处有变化△x （ x - x0 也在该邻域内）时，相应地函数变化△y = f（x） - f（x0）；如果△y 与△x 之比当△x→0 时极限存在，则称函数 y = f（x）在点x0 处可导，并称这个极限值为函数 y = f（x）在点x0 处的导数记为 f’（x0）。
1.2 函数最值的概念
一般地，在闭区间[a，b]上函数y = f（x）的图像是一条连续不断的曲线，那么函数y = f（x）在[a，b]上必有最大值与最小值。
需要注意：一、函数区间必须是闭区间，在开区间里函数不一定有最值。
二、函数图像必须是连续不间断的。
1.3导数在求函数最值中的应用
在高中数学中，求函数最值的方法大致有七种：配方法、不等式法、换元法、数形结合法和导数法。
根据定义，在闭区间里函数最值只可能出现在极值点或端点。
比较函数极值和函数端点处函数值的大小可以求函数最值，利用导数求最值有明显优势。
2 课堂教学实例
2.1 课前准备
2.1.1教学目标
教学目标：使学生能够利用导数求取函数最值
2.1.2学情分析
经过初中阶段的历练和现阶段的培养，学生可以理解利用导数求取函数最值时所涉及的一些概念和方法。
函数最值问题和我们日常生活息息相关，学生学习兴趣较浓。
2.1.3教学思路
利用学生和清推理能力，讲解本课所涉及的重要概念，并理解利用导数求函数最值的优势。
接下来，归纳解题思路并联系社会生活以应用题为例，引导学生利用导数求取函数最值。
最后，结合该例题总结出利用导数求取函数最值的一般方法及应注意问题。
2.2 教学过程
2.2.1导入新课
在我们的学习过程中需要经常思考一些问题。
比如：什么时候看书最快、怎么做花费时间最少、怎样保证学习效率最高等。
这些问题正是数学领域的最值问题。
2.2.2讲授新课
重要概念及利用导数求函数最值的优势
首先，必须明确在闭区间[a，b]上的连续函数f（x）一定有最值，在开区间（a，b）内连续函数f（x）不一定有最大值与最小值。
其次，最值一定是整个区间里面所有函数值的最大值或最小值。
最后，函数最值是和整个定义区间的函数值相比较后得出的，而函数极值仅仅是比较极值点附近的函数值得出的。
通过求导，可以迅速得出函数在闭区间内的极值和端点处函数值，比较后即可得出最值。
可见，利用导数求函数最值具有思路清晰，运算方便。
一般解题思路
第一步：求导，得出f（x）在[a，b]内的极值。
第二步：将f（x）在[a，b]内各极值与f（a）、f（b）比较。
典型例题分析
某摩托车生产厂家有a，b两种型号的摩托车参加下乡补贴活动。
若厂家投放a，b型号摩托车的价值分别为p，q万元，农民购买两种型号的摩托车获得的补贴分别是110p，mln（q+1）（m>0）万元。
已知该厂商把总价值为10万元的a，b两种型号摩托车投放市场，且a，b两型号的摩托车投放金额都不低于1万元。
当m=25时，请你制订一个投放方案，使得在这次活动中农民得到的补贴最多，并求出其最大值；
可见，实际应用问题的解题方法为：一、找出问题中各量之间的关系，构建数学模型，根据题目要求确定定义域；二、求函数y=f（x）的导数f′（x），解方程f′（x）=0得出定义域内的实根，得出各极值点；三、比较函数在区间端点处函数值和极值点处的函数值大小，获得所求的最大（小）值。
当然完成第三步后应根据具体题目作答。
做题时应注意：一，给函数建模时要设出两个变量，一定要根据题目的要求分析变量之间的关系。
二，把变量转化成函数关系式后，必须根据题意来确定自变量的定义域。
三，运算出的结果要切合题目的实际意义
2.2.3小结
通过本课的学习，我们认识到，利用导数求函数最值思路明确，操作简单。
一般步骤是：求导，得出f（x）在[a，b]内的极值。
将f （x）在[a，b]内各极值与f（a）、f（b）比较，确定最值。
当然，遇到题目要围绕题目要求作答。
3 结束语
本文以课堂教学实例的形式，整合了导数及函数最值的基本知识，明确了导数在求函数最值时的巨大优势，总结了出利用导数求取函数最值的一般方法及应注意问题。
可以为高中学生复习函数、导数
时提供一些指导，也可以作为教师教学的参考。
也正是因为以教学实例切入，难免会有一些相关知识没有深入分析，希望各位专家、同行指正。
参考文献
[1]中华人民共和国教育部.普通高中数学课程标准（实验）[s].北京：人民教育出版社，2003
[2]李玉欣，导数的几种常见用法[j].考试周刊，2009
[3]严士健，张奠宙，王尚志.普通高中数学课程标准（实验）解读[m].南京：江苏教育出版社，2004。