泛函分析课程重点

泛函分析单元知识总结与知识应用

数学与计算科学学院 数学与应用数学 一、单元知识总结第7章、 度量空间和赋范线性空间

§1 度量空间

§1.1定义：若是一个非空集合，是满足下面条件的实值函数，对于，有（1）当且仅当；

（2）；

（3），则称为上的度量，称为度量空间。

例：1、设是一个非空集合，，当，则为离散的度量空间。

2、序列空间 ，是度量空间

3、有界函数全体 ，是度量空间

4、连续函数，是度量空间

5、空间，是度量空间

§2 度量空间中的极限，稠密集，可分空间

§2.1收敛点列：设是中点列，如果，使，则称点列是中的收敛点列。

例：1、，按欧氏距离收敛于的充要条件为各点列依分量收敛。

2、中（一致）

3、可测函数空间中点列（依测度）

§3 连续映射

§3.1对的每个领域，必有的某个领域是,其中表示在映射作用下的像。§3.2定理1 设是度量空间到度量空间中的映射，那么T在连续的充要条件为当时，必有

定理2 度量空间到中映射是上连续映射的充要条件为中任意开集的原像是中的开集。

§4 柯西点列和完备度量空间

§4.1定义：设是度量空间，是X中点列，如果对，正整数,使当时，必有，则称是X中的柯西点列，如果度量空间中每个点列都在中收敛，那么称是完备的度量空间。

例：1、是完备度量空间

2、是完备度量空间

3、是完备的度量空间

注意：1、全体按绝对值距离构成的空间不完备

2、柯西点列不一定收敛，但是度量空间中每一个收敛点列都是柯西点列

3、实系数多项式全体，作为的子空间不是完备度量空间

§4.2定理1 完备度量空间X的子空间M是完备空间的充要条件是M为X中

的闭子空间。（即完备性关于闭子空间具有可遗传性）

§5 度量空间的完备化

§5.1定理1 （度量空间的完备化定理）设是度量空间，那么一定存在一完备度量空间，使与的某个稠密子空间等距同构，并且在等距同构意义下是唯一的，即若也是一万倍度量空间，且与的某个稠密空间等距同构，则与等距同构。

定理 设是度量空间，那么存在唯一的完备空间，使为的稠密子空间。

§6 压缩映射原理及其应用

§6.1定义：设是度量空间，是到中的映射，如果，，，则称是压缩映射。

§6.2定理1（压缩映射定理）设是完备的度量空间，是上的压缩映射，那么有且只有一个不动点（就是说，方程，有且只有一个解）。

定理2（隐函数存在定理）设函数在带状域中处处连续，且处处有关于的偏导数。如果常数和，满足，则方程在区间上必有唯一的连续函数作为解：

§7 线性空间

§7.1定义：设是一非空集合，在中定义了元素的加法运算和实数（或复数）与中元素的乘法运算，满足下列条件：（一）关于加法：(1)交换律（2）结合律（3）有零元（4）有负元，（二）关于数乘：（1）分配律（2）结合律（3），均有，满足这样性质的集合称为线性空间。

例：1、按自身定义的加法和数乘成线性空间

2、按自身定义的加法和数乘成线性空间

3、空间按自身定义的加法和数乘成线性空间

§8 赋范线性空间和巴拿赫空间

§8.1定义：设是实（或复）的线性空间，如果对，都有确定的一个实数，记为与之对应，并且满足：

，且等价于；（非负性）

其中为任意实（复）数；

，（三角不等式）

则称为向量的范数，称按范数成为赋范线性空间

注意：1、任意赋范线性空间都是度量空间

2、赋范线性空间是一种特殊的度量空间

3、是的连续函数

§8.2重要结论：1、完备的赋范线性空间称为巴拿赫空间。

2、任何有限维赋范线性空间都同维数欧氏空间拓扑同构，相同维数的有限维赋范线性空间彼此拓扑同构。（即拓扑同构范

数等价）

例：1、按范数成巴拿赫空间

2、空间按范数成巴拿赫空间

§8.3定理2 按范数成巴拿赫空间

总而言之，赋范线性空间是一种特殊的度量空间，当它完备时称之为巴拿赫空间。

第八章 有界线性算子和连续线性泛函

§1 有界线性算子和线性泛函的定义

§1.1定义：设和是两个同为实（或复）的线性空间，是的线性子空间，为到中的映射，如果对及数，有，，则称为到中的线性算子，其称为的定义域，记为，称为的值域，记为，当取值于实（或复）数域时，就称为实（或复）线性泛函。

例：相似算子、微分算子、乘法算子、积分算子都是线性算子

注意：n维线性空间上线性泛函与向量相对应。

定义：为赋范线性空间的子空间到赋范线性空间中的线性算子，称为算子在上的范数。

§1.2 定理1 设是赋范线性空间到赋范线性空间中的线性算子，则为有界算子的充分必要条件是为上的连续算子。

这一定理说明，对于线性算子连续性与有界性是两个等价概念。

定理2 设是赋范线性空间，是上线性泛函，那么是上连续泛函的充要条件为的零空间是中的闭子空间。

注意：1、若有界 2、

3、若有界

§2 有界线性算子空间和共轭空间

§2.1定义：设是赋范线性空间，令表示上连续线性泛函全体所成的空间，称为的共轭空间。

§2.2定理1 当是巴拿赫空间时，也是巴拿赫空间

定理2 任何赋范线性空间的共轭空间是巴拿赫空间

例：1、的共轭空间为有界序列全体，即，但

2、且则其中连续

3、设，令，，则为线性算子

4、的共轭空间为，其中，，当时，

二、列举泛函分析中的某个知识点在其他学科中的应用

1、Banach不动点原理的应用

a.不动点原理在证明数值分析中的迭代法不动点原理的应用

迭代法不动点不动点原理：设映射