力学 第三章刚体的转动解析

四、转动惯量 J
★ 质点 J mr2
n
★ 质点系 J miri2 1
★常见均匀刚 体的转动惯量 见书P261
★ 刚体 J r2dm
转动惯量与（a）刚体的质量m有关； （b）与m的分布有关； （c）与转轴的位置有关
几种常见刚体的转动惯量：
L
细棒
L
细棒
m
m J 1 mL2
12
薄圆环 R
m
或薄圆筒
圆盘或 圆柱体
R m
薄球壳
R
J 2 mR2 球体
3 m
Rm
J 1 mL2 3 J mR2
J 1 mR2 2
J 2 mR2 5
* 平行轴定理
以 m 表示刚体的质量，Jc 表示它通过其质心 c 的轴
的转动惯量。若另一轴与此轴平行并且相距为d，则此刚
体对于后一轴的转动惯量为：J
例：
L
一质量为m=1kg的小滑块自A端从静止 开始沿槽面下滑，求：滑块由B端滑出 时，槽相对地面的速度。
o
A
B
练习（5268）解答
1
V2 (V12 V2'2 2V1V2' cos ) 2
V2x V2' cos V1x
MV1x mV2x 0
mgR c os
1 2
MV12
1 2
mV22
V1
a2对地 a2对B aB对地
a3对地 a3对B aB对地
a3对地 a3对B aB对地
a2对B a3对B
a1对地 aB对地
例7（0196）一质量为m的小球从内壁为半球形的 容器边缘无摩擦地滑下，容器质量为M，内 壁半径为R，放在光滑的水平面上，如图所 示。开始小球与容器都处于静止状态，有人
由牛顿第一定律： F i 0
类比有: M合外 0 时
v 恒量
恒量
a0
0
绕定轴转动的刚体所受的合外力矩为零时，将保 持原有的运动状态不变。
★第二转动定律：
牛顿第二定律： F ma
类比有: M J J d
dt
刚体所受的对于某一固定转轴的合外力矩等于刚体 对此转轴的转动惯量与刚体在此合外力矩的作用下所 获得的角加速度的乘积。
★ ri 同时叉乘方程两边
ri Fi ( m i ) [ait (ri ti ) ain(ri ni )]
ri Fi ( m i ) ri2
0
★ 方程两边同时求和
ri Fi [ ( m i ) ri2]
J : M合外力矩
转动惯量
M合外力矩 J
三、转动定律
★第一转动定律：
m1g
A
B
T2
aB对地
a3对B
T2
T2 m3g m3aB对地 m3a3对B a2对B a3对B a1对地 aB对地
a2对B
m2
m2 g
m3
m3 g
对m1 m1g T1 m1a1对地 对m1、m2以地为参照系
m2 g T2 m2a2对地
T2 m3g m3a3对地
a2对地 a2对B aB对地
刚体上各质点都绕同一轴作圆周运动
4．刚体定轴转动
动画
角坐标 : 角速度:
d
dt
角加速度: d
dt
v r
at r an 2r
二、刚体定轴转动
★ 在A点取质量元 mi
★ mi 的运动遵循牛顿第二定律
Fi ( mi ) ai ( mi ) (aitti ainni )
Fi ri i
oo , Awk.baidu.com
积分加初始条件
例1. 一根轻绳跨过一定滑轮（滑轮 视为圆盘），绳的两端分别 悬有质量 为 m1 和 m2 的物体，m1 < m2 ，滑轮的 质量为 m ，半径为 R，所受的摩擦阻 力矩为 Mr ，绳与滑轮间无相对滑动。 试求：物体的加速度和绳的张力。
已知： m1，m2 ，m， R ，Mr
求： a , T1 , T2
v dv vx2
vx1 x
x
v dv vy2
v y1 y
y
v dv ) vz2
vz1 z z
1 2
mv22
1 2
mv12
物理意义：合外力对质点所做的功等于质点 动能的增量
作业讲解（P109 2.3）
对m1 m1g T1 m1a1对地
对m1、m2以B为参照系
a1对地
T1 m1
m2 g T2 m2aB对地 m2a2对B
c
m
Jc
Jc 1
12
md mL2
2
L
J ( 1 mL2 ) m( L)2 1 mL2
m
12
23
*垂直轴定理
z
Jz Jx Jy
y x
五、 转动定律的应用
刚体定轴转动的两类问题：
M J d J
dt
(t ) (t ) (t ) J M 用求导的方法
M
J
(t
)
(t )
(t )
因为小球沿球形内壁滑下时，它相对于容 器作圆周运动，由于小球下滑，容器同时 在桌面上滑动，小球相对桌面作曲线运动， 轨迹不是圆周。此人列的第一式中的R应是 小球的轨迹在A点时的曲率半径，而不是圆 的半径R，此式错了。
★ 正确解法是：
选容器为参照系，小球相对容器作圆周 运动，在小球落至A处这一时刻，容器 无竖直方向（法向）加速度，竖直方向 惯性力等于零。因此
（课后练习）试就质点受变力作用而且做一般 曲线运动的情况推导质点的动能定理。并 说明定理的物理意义。
推导： 方法一：书 P181~182
方法二：
AAB
B
F dr
A
B dv m v dt
A dt
AAB
B
mv dv
A
B
A m(vxdvx v ydv y vzdvz )
m(
N mg mV1'2 / R
V1' V1 V2
mV1 MV2 0
1 2
MV22
1 2
mV12
mgR
练习（5268）如图所示，一个质量为M=4kg 表面光滑的圆弧形凹槽，半径R=0.2m， 静止放在光滑的水平地面上。槽的A端 与圆弧中心O在同一水平面上，B端和
O的连线与竖直线夹角为 60 ，有
m cos
mM
2Rg cos 1 m cos2 (m M )
V1 0.144 m / s
第五章 刚体的转动
一、基本概念
1．刚体(Rigid Body) （理想模型）
2．刚体的平动(Translation)
动画 动画
刚体上任意两点间的联线在整个运动过程中， 保持原方向不变。
3．刚体的转动(Rotation)
为了求出小球自容器边缘B滑至底部A处时， 容器对小球的作用力，列出了如下方程
N mg mV12 / R
B m o
mV1 MV2 0
1 2
MV22
1 2
mV12
mgR
AM
式中 V1和 V2分别为小球到达A处时小球和
容器对地的速度。试指出上述方程中哪个是 错的，错在何处？说明原因并改正之。
★ 第一式错。