高考数学专题3第2讲

第2讲参数法在解题中的应用

[方法精要] 在解数学题的过程中，往往会遇到一些不能直接求解或直接求解困难，或较烦琐的变数问题，这时往往要通过引入条件中原来没有的辅助变量(参数)，并以此作为媒介，使问题转化从而解决问题，这种应用参数解决问题的方法称为参数法．

应用参数法的关键在于恰当的选取参数，只有参数引入恰当，问题才能迎刃而解，收到事半功倍的效果．使用参数法的原则是引进参数后，能使问题获解．其次还要考虑引进参数的合理性，除了要考虑条件和结论的特点外，还要注意某

些量的取值范围，任何变量都有取值范围，另外还要注意原问题并非关于参数的问题，参数并不是直接研究对象，它只是起“桥梁”和转化作用，所以当求得间接解后要倒回去确定原问题的解，这就可能要消去参数而用问题中原有的变数表示结果．

参数体现了近代数学中运动与变化的思想，其观点已经渗透到中学数学的各个分支．运用参数法解题已经比较普遍．参数法解题的关键是恰到好处地引进参数，沟通已知和未知之间的内在联系，利用参数提供的信息，顺利地解答问题．

题型一参数法在函数问题中的应用

例1 定义在R上的增函数y＝f(x)对任意x，y∈R都有f(x＋y)＝f(x)＋f(y)．

(1)求f(0)；

(2)求证：f(x)为奇函数；

(3)若f(k·3x)＋f(3x－9x－2)<0对任意x∈R恒成立，求实数k的取值范围．

破题切入点(1)赋值法是解决抽象函数问题的常用方法，第(1)(2)两问可用赋值法解决．

(2)将恒成立问题转化成函数最值问题． (1)解 令x ＝y ＝0，得f (0＋0)＝f (0)＋f (0)， 即f (0)＝0.

(2)证明 令y ＝－x ，得f (x －x )＝f (x )＋f (－x )， 又f (0)＝0，则有0＝f (x )＋f (－x )， 即f (－x )＝－f (x )对任意x ∈R 成立， 所以f (x )是奇函数．

(3)解 方法一 因为f (x )在R 上是增函数， 又由(2)知f (x )是奇函数．

f (k ·3x )<－f (3x －9x －2)＝f (－3x ＋9x ＋2)，

所以k ·3x <－3x ＋9x

＋2，

32x

－(1＋k )·3x

＋2>0对任意x ∈R 成立．

令t ＝3x

>0，问题等价于t 2

－(1＋k )t ＋2>0对任意t >0恒成立． 令f (t )＝t 2

－(1＋k )t ＋2，其对称轴为x ＝1＋k 2，

当

1＋k

2

<0即k <－1时，f (0)＝2>0，符合题意； 当1＋k

2

≥0即k ≥－1时，对任意t >0，f (t )>0恒成立⇔⎩⎪⎨⎪⎧

1＋k 2

≥0，Δ＝(1＋k )2－4×2<0，解得－1

≤k <－1＋2 2.

综上所述，当k <－1＋22时，f (k ·3x )＋f (3x －9x

－2)<0对任意x ∈R 恒成立． 方法二 由k ·3x <－3x ＋9x ＋2，得k <3x

＋23

x －1.

u ＝3x ＋23

x －1≥22－1,3x ＝2时，取“＝”，即u 的最小值为22－1，

要使对x ∈R ，不等式k <3x

＋23x －1恒成立，

只要使k <22－1.

题型二 参数法在数列问题中的应用

例2 设{a n }是公差不为零的等差数列，S n 为其前n 项和，满足a 2

2＋a 2

3＝a 2

4＋a 2

5，S 7＝7. (1)求数列{a n }的通项公式及前n 项和S n ； (2)试求所有的正整数m ，使得

a m a m ＋1

a m ＋2

为数列{a n }中的项． 破题切入点 求特定量的取值，往往需要引入参数，根据题中的条件找出参数与所求量之间

的数量关系，利用条件求参数的取值或取值范围，进而求出特定量． 解 (1)设公差为d ，则a 2

2－a 2

5＝a 2

4－a 2

3， 由性质得－3d (a 4＋a 3)＝d (a 4＋a 3)， 因为d ≠0，所以a 4＋a 3＝0，即2a 1＋5d ＝0， 又由S 7＝7得7a 1＋7×6

2d ＝7，

解得a 1＝－5，d ＝2.

所以{a n }的通项公式为a n ＝2n －7， 前n 项和S n ＝n 2

－6n . (2)因为a n ＝2n －7， 所以

a m a m ＋1a m ＋2＝(2m －7)(2m －5)

(2m －3)

， 设2m －3＝t ，则

a m a m ＋1a m ＋2＝(t －4)(t －2)t ＝t ＋8

t

－6， 所以t 为8的约数．

又因为t 是奇数，所以t 可取的值为±1，

当t ＝1时，m ＝2，t ＋8

t

－6＝3,2×5－7＝3＝a 5是数列{a n }中的项；

当t ＝－1时，m ＝1，t ＋8

t

－6＝－15，

数列{a n }中的最小项是－5，故不是数列中的项． 所以满足条件的正整数m 的值是m ＝2. 题型三 参数法在不等式中的应用

例3 已知2x ＝3y ＝5z

，试比较2x 、3y 、5z 的大小．

破题切入点 本题的解决需要引入中间变量t (参数)，必须使得x ，y ，z 都能用这个参数t 表示，而后通过作差即可进行大小的比较． 解 设2x ＝3y ＝5z

＝t (t >1)， 则x ＝log 2t ，y ＝log 3t ，z ＝log 5t ， 所以2x －3y ＝2log 2t －3log 3t ＝lg t 2

lg 2－lg t 3

lg 3＝lg t (2lg 3－3lg 2lg 3×lg 2) ＝lg t (lg 9－lg 8lg 3×lg 2)，

因为lg t >0，lg 9－lg 8

lg 3×lg 2

>0，