扭转习题解答

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第7章 圆轴扭转

主要知识点：（1）圆轴扭转的概念、扭矩和扭矩图；

（2）圆轴扭转时的应力和强度计算；

（3）圆轴扭转时的变形和刚度计算。

圆轴扭转的概念、扭矩和扭矩图

1. 已知圆杆横截面上的扭矩，试画出截面上与T 对应的切应力分布图。

解：截面上与T 对应的切应力分布图如下：

2. 用截面法求下图所示各杆在1-1、2-2、3-3截面上的扭矩。

图7-2

解：a)采用截面法计算扭矩（见图7-2a ）。

取1-1截面左侧外力偶矩计算，可得m kN T ⋅-=-311。

取2-2截面左侧外力偶矩计算，由平衡方程062122=+⋅-+-T m kN ）（，可得m kN T ⋅=-322。

取3-3截面右侧外力偶矩计算，可得m kN T ⋅=-133。

b) 采用截面法计算扭矩（见图7-2b ）。

取1-1截面左侧外力偶矩计算，可得m kN T ⋅-=-511。

取2-2截面左侧外力偶矩计算，由平衡方程05522=+⋅+-T m kN ）（，可得m kN T ⋅-=-1022。

取3-3截面右侧外力偶矩计算，由平衡方程03333=+⋅+-T m kN ）（，可得m kN T ⋅-=-633。

3. 作下图各杆的扭矩图。

解：a)采用截面法计算扭矩（见图7-3a ）。取1-1截面左侧外力偶矩计算，可得

m kN T ⋅=-411。取2-2截面右侧外力偶矩计算，可得m kN T ⋅-=-222。作出扭矩图。

a) b)

图7-3

b) 由力矩平衡方程可得e A M M 2-=（负号表示与图中假设方向相反）。采用截面法计算扭矩（见图7-3b ）。取1-1截面左侧外力偶矩计算，可得e M T 211-=-。取2-2截面右侧外力偶矩计算，可得e M T -=-22。作出扭矩图。

圆轴扭转时的应力和强度计算

4. 实心圆轴和空心轴通过牙嵌离合器而连接，如图所示。已知轴的转速n =100r/min ，传递的功率P=，材料的许用应力][τ=40MP a ，试通过计算确定

（1） 采用实心轴时，直径d 1和的大小；

（2） 采用内外径比值为1/2的空心轴时，外径D 2的大小。

解：计算外力偶矩，作用在轴上的外力偶矩：

（1）采用实心轴时，直径d 1的大小应满足下式：

解得 mm m T

d 0.4510

40716

][3

6163

16

1=⨯⨯=⨯≥π

πτ （2）采用内外径比值α=1/2的空心轴时，外径D 2的大小应满足下式：

解得 mm m T

D 0.46)5.01(1040716

)1]([34616

3

4162=-⨯⨯⨯=-⨯≥π

π

ατ 5. 如图所示为皮带传动轴，轴的直径d =50mm ，轴的转速为n =180r/min ，轴上装有四个皮带轮。已知A 轮的输入功率为P A =20kW ，轮B 、C 、D 的输出功率分别为P B =3kW ，P C =10kW ，P D =7kW ，轴材料的许用切应力][τ=40MP a 。

（1）画出轴的扭矩图。 （2）校核轴的强度。

图7-5

解：（1）画扭矩图

计算外力偶矩，作用在各轮上的外力偶矩：

用截面法求得1-1截面上的扭矩为m N M T B ⋅-=-=1591；2-2截面的扭矩为

m N M M T B A ⋅=-=9022；3-3截面的扭矩为m N M T D ⋅==3713。绘出的扭矩图如图7-5所示。

（2）强度校核

由图可见AC 段扭矩最大，由于是等截面圆轴，故危险截面在AC 段内。

由于a a a P W T MP =

-40][7.36105016

9023

32max τπτ）（，所以轴满足强度条件。 圆轴扭转时的变形和刚度计算

6． 图示圆轴长l=500mm ，直径d =60mm ，受到外力偶矩M 1=4kN ·m 和M 2＝7kN ·m 作用，材料的剪切弹性模量G=80GP a

（1）画出轴的扭矩图；

（2）求轴的最大切应力；

（3）求轴的最大单位长度扭转角。

解：（1）绘扭矩图

用截面法求得1-1截面上的扭矩为m kN M M T ⋅=-=3121，

2-2截面的扭矩为m kN M T ⋅-=-=412。绘出扭矩图如右图。

（2）由扭矩图可见BC 段扭矩最大，由于是等截面圆轴，故危险截面在BC 段内。得其最大切应力为

（3）BC 段扭矩最大，BC 段内最大单位长度扭转角即轴的最大单位长度扭转角。

7．如图示，在一直径为75mm 的等截面轴上，作用着外力偶矩：M 1=1000N ·m ，M 2=600N ·m ，M 3=M 4=200N ·m ，材料的剪切弹性模量G=80GP a 。要求：

图7-7

（1）画出轴的扭矩图；

（2）求出轴的最大切应力；

（3）求出轴的总扭转角。

解：（1）画扭矩图

用截面法求得1-1截面上的扭矩为m N M T ⋅==100011；2-2截面的扭矩为

m N M M T ⋅=-=400212；3-3截面的扭矩为m N M T ⋅==20043。绘出的扭矩图如图7-7所示。

（2）由图7-7可见AB 段扭矩最大，由于是等截面圆轴，故危险截面在AB 段内。轴的最大切应力

（3）求轴的总扭转角：

D 截面相对A 截面的相对扭转角即为轴的总扭转角

8. 一钢轴的转速n=240r/min ，传递的功率为P=44kW 。已知][τ=40MP a ，][θ=1/m ，G=80GP a ，试按强度和刚度条件确定轴的直径。

解：钢轴的扭矩

（1）按强度条件确定轴的直径

直径d 1的大小应满足圆轴扭转时的强度条件：

解得 mm m T

d 6.60104016

1751

]

[16

3

6

3

1=⨯⨯=

⨯≥

πτπ